<< Предыдущая

стр. 138
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y1 = ym

µa1 = µam
Здесь µas > 0 — вероятность s-го результата в случае, когда работник выбрал усилия a. По
определению вероятностей ¤s µas = 1. Мы будем предполагать, что все ys различны и воз-
583
584
растают по s. По предположению, распределение сдвигается вправо при росте усилий (ве-
роятность более высоких результатов возрастает с ростом усилий), т.е.
- -
s s

¤ µas > ¤ µbs, ?s = 1, ..., m – 1, ?a < b.
-
s=1 s=1

Исходные данные для дискретной модели (возможные уровни усилий, уровни результатов
и вероятности) можно представить в виде следующей таблицы:
=
y1 ym

=
µ11 µ1m
a=1 c1
| | | |
{µas}
=
µk1 µkm
a=k ck
Ниже мы будем предполагать, что элементарная функция полезности имеет вид225:
u(a, w) = v(w) – ca.
Контракт задается величинами ws = w(ys) — каждому возможному результату ys контракт
сопоставляет уровень оплаты ws. Таким образом, контракт представляет собой вектор
˜
w = {ws}. С другой стороны, это дискретная случайная величина w.
При этом ожидаемая полезность (как функция от a) равна
U(a, w) = Ea[v(w) – ca] = ¤s µasv(ws) – ca,
а ожидаемая прибыль —
? (a, w) = Ea? = Ea(y – w) = ¤s µas(ys – ws).
e
˜˜
Задача нанимателя имеет вид:
? (a*, w) > max a , w
e
*




U(a*, w) > U(a, w), ?a =1, ..., k,
(ограничение совместимости стимулов),
U(a*, w) > u0
(ограничение участия).
Поскольку число возможных усилий конечно, то эту задачу вообще говоря, можно решать
перебором. Для этого, задавшись конкретным a*, следует найти контракт w = w(a*), ми-
нимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник
предпочтет (выберет) уровень усилий a*. Обозначим ожидаемый уровень оплаты
w (a, w) = Eaw = ¤s µasws.
e
˜
Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий вид:
w (a*, w) > min w
e



U(a*, w) > U(a, w), ?a =1, ..., k,
U(a*, w) > u0.



225
Некоторые альтернативные модели найма представлены в задачах

584
585
В этой задаче искомыми переменными являются только уровни оплаты для различных
результатов, т.е. величины ws. Соответствующее максимальное значение ожидаемой при-
были равно ? (a*, w(a*)). Вычислив для каждого возможного уровня усилий a*=1, ..., k
e

соответствующие значения прибыли, можно найти такое усилие, при котором ожидаемая
e
прибыль (? (a*, w(a*)) достигает максимума. Если вспомогательная задача не имеет до-
пустимых решений, то не существует контрактов, обеспечивающих такой уровень усилий,
т.е. усилия оказываются нереализуемыми. Поэтому оптимум ищется только по реализуе-
мым усилиям, множество которых всегда не пусто (усилия с минимальными издержками
всегда реализуемы).
Поскольку элементарная функция полезности имеет специальный вид
u(a, w) = v(w) – ca,
то эту задачу можно свести к задаче выпуклого программирования (минимизация выпук-
лой функции на выпуклом многогранном множестве) путем замены переменных vs = v(ws).
Как ограничение участия, так и ограничение совместимости стимулов будут в новых пе-
ременных линейными, а ожидаемая прибыль — вогнутой функцией переменных vs:
? (a, v) = ¤s µas(ys – f(vs)),
e



где через f(?) мы обозначили v–1(?). (Так как v(?) вогнута, то f(?) выпукла, а –f(?) вогну-
та). Область определения переменных vs совпадает с областью значений функции v(?) и ее
описание должно в явном виде присутствовать в формулировке соответствующей задачи.
В дальнейшем мы будем предполагать, что решения рассматриваемых задач являются
внутренними.

ДИСКРЕТНЫЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ НАЙМА С ДВУМЯ ВОЗМОЖНЫМИ УРОВНЯМИ УСИЛИЙ
Предположим, что работнику доступны только два действия (два уровня усилий). Обозна-
чим их через H и L (высокий и низкий уровень усилий соответственно). По предположе-
нию о том, что распределение сдвигается вправо при росте усилий, имеем:
- -
s s

¤ µLs > ¤ µHs, ?s = 1, ..., m – 1.
-
s=1 s=1

Напомним, что при конструировании оптимального контракта предварительно определят-
ся величины ? (L, w(L)), ? (H, w(H)). Далее выбирается усилие (и соответствующий
e e


ему контракт), при котором величина ? (a, w(a)), a = L, H является максимальной.
e


Охарактеризуем оптимальный контракт a (a = L, H), обеспечивающий нанимателю ожи-
даемую прибыль ? (a, w(a)) (решение вспомогательной задачи с уровнем усилий a).
e


Если работник совершает действия a, то ожидаемая прибыль нанимателя равна
¤s µas(ys – ws).
Будем предполагать, что работник является рискофобом, а наниматель нейтрален к риску.
Ожидаемая полезность работника в случае, когда он выбирает действие a, будет равна
¤s µasv(ws) – cL,
Тогда, в случае, если a = L, условие совместимости стимулов имеет следующий вид:
¤s µLsv(ws) – cL > ¤s µHsv(ws) – cH,
а условие участия:
¤s µLsv(ws) – cL > u0,

585
586
Соответствующая вспомогательная задача — минимизировать ожидаемую оплату по кон-
тракту (максимизировать ожидаемую прибыль)

¤s µLs ws > min w

(соответственно, ¤s µLs(ys – ws) > max w) при указанных условиях совместимости стимулов
и участия.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда возможны всего два результата (исхода):
y1, y2. Мы предполагаем, что для вероятностей выполнено µH1 < µL1, и, следовательно,
µH2 > µL2 (более высокие усилия способствуют более высокому результату).
Пусть наниматель хочет побудить работника выбрать низкие усилия L. Тогда условие со-
вместимости стимулов имеет вид
µL1v1 + µL2v2 – cL > µH1v1 + µH2v2 – cH.
Учитывая, что µH2 > µL2:
µL1 – µH1 c –c
v2 < v1 + H L .
µH2 – µL2 µH2 – µL2
Поскольку сумма вероятностей равна единице (µL1 + µL2 = 1, µH1 + µH2 = 1), то
cH – cL
v2 < v1 + .
µH2 – µL2
Второе слагаемое здесь положительно при cL < cH. Таким образом, линия совместимости
стимулов в координатах (v1, v2) — это прямая, параллельная биссектрисе и проходящая
выше нее. Допустимые точки лежат ниже этой линии.
Ограничение участия
µL1v1 + µL2v2 – cL > u0,
можно записать в виде
u0 + cL – µL1v1
v2 > .
µL2
Оно задается прямой, наклон которой равен –µL1/µL2. Допустимые точки лежат выше этой
прямой. Это одна из линий безразличия работника. (Все линии безразличия работника
имеют одинаковый наклон –µL1/µL2).
Чтобы записать задачу нанимателя в терминах полезности обозначим через f(?) функцию,
обратную к v(?), то есть f(vs) = ws:
˜
EL? = µL1(y1 – f(v1)) + µL2(y2 – f(v2)).
Соответствующие кривые безразличия выпуклы вправо вверх, множество лучших точек
лежит под кривой безразличия.
Наклон кривой безразличия нанимателя определяется следующим образом:
˜
?(EL?)/?v1 µL1f?(v1) µL1v?(w2)
.
=– =–
µL2f?(v2) µL2v?(w1)
˜
?(EL?)/?v2
Кривая безразличия нанимателя касается прямой, определяемой условием участия, в точ-
ке, где


586
587
µL1v?(w2) µL1
=– .

µL2v?(w1) µL2
Т.е. v?(w1) = v?(w2), что при убывании v?(?), означает, что точка касания соответствует фик-
сированной оплате w1 = w2, то есть лежит на биссектрисе.
Поскольку в случае, когда a = L, линия, соответствующая ограничению совместимости
стимулов, лежит выше биссектрисы, то ограничение совместимости стимулов неактивно.
Следовательно, на диаграмме в координатах (v1, v2) оптимальное решение лежит на бис-
сектрисе v1 = v2.
-
Таким образом, при a = L оплата по контракту должна быть фиксированной: w1 = w2 = w
(контракт с полным страхованием работника).
v2



решение

v1

линии уровня
нанимателя
?enoiie 136
-
Аналогичным образом можно показать, что w1 = w2 = w и в случае, когда cL = cH. Обратно,
если оплата по контракту не зависит от результатов, из условия совместимости стимулов
следует, что
- – cL > - – cH,
v v
или
cH > cL,
Из этого можно сделать вывод, что оплата по контракту, принуждающему к действиям L,
будет фиксированной в тех и только в тех случаях, когда действия типа L требуют от ра-
ботника меньших затрат, чем действия типа H, то есть являются для него выгодными
сами по себе.
Таким образом, для низких усилий линия совместимости стимулов лежит выше биссек-
трисы, контракт должен изображаться точкой на биссектрисе, и активным является только
ограничение участия.
Проанализируем теперь случай, когда наниматель хочет побудить работника выбрать вы-
сокий уровень усилий H. Условие совместимости стимулов в этом случае записывается в
виде
µH1v1 + µH2v2 – cH > µL1v1 + µL2v2 – cL.
Множество допустимых по этому условию контрактов имеет ту же границу, что и при L
(она параллельна биссектрисе и лежит выше ее), но допустимые точки лежат выше грани-
цы:
c –c
v2 > v1 + H L .
µH2 – µL2
Ограничение участия
587
588
µH1v1 + µH2v2 – cH > u0,
задается прямой
u0 + cH – µH1v1
.
v2 =
µH2
Ее наклон равен –µH1/µH2. Поскольку точка касания соответствующих кривых безразли-
чия работника и нанимателя лежит на биссектрисе и поэтому в данном случае не принад-
лежит множеству допустимых контрактов, ограничение совместимости стимулов оказы-
вается активным.
В предположении, что активным является и ограничение участия, решение представляет-
ся точкой пересечения двух соответствующих прямых (см. Рис.???). Линии уровня нани-
мателя в точке пересечения с биссектрисой имеют тот же наклон –µH1/µH2, что и линия
участия (это проверяется так же, как для L).


v2



решение

v1

<< Предыдущая

стр. 138
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>