<< Предыдущая

стр. 139
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



?enoiie 137
Оптимальное для нанимателя решение не является оптимальным по Парето. Оптимальное
решение находится в точке A, которая лежит на пересечении линии совместимости сти-
мулов h, и линии участия i. Оно не оптимально по Парето, так как точка B лежит на той
же кривой безразличия нанимателя, а для работника она дает большую ожидаемую полез-
ность, чем A (лежит на более высокой линии безразличия работника i?). Точка B является
Парето-оптимальной (кривые безразличия касаются), но ее нельзя реализовать как равно-
весие из-за условия совместимости стимулов. Если же наниматель изменит контракт так,
что работнику станет доступна точка B, то работнику будет выгодно изменить свои дей-
ствия с H на L. Действительно, на диагонали выполняется неравенство
µL1v + µL2v – cL > µH1v + µH2v – cH.
При переходе от H к L карта кривых безразличия работника в координатах (v1, v2) меняет-
ся, так как меняются вероятности. Соответствующей точке B линией безразличия будет
i??. В то же время
˜ ˜
EL? = µL1(y1 – f(v)) + µL2(y2 – f(v))EH? = µL1(y1 – f(v)) + µL2(y2 – f(v)).
Наниматель должен ограничивать полезность работника, чтобы тот не выбрал еще боль-
шую в ущерб интересам нанимателя.




588
589
v2
h

A
B
i?
i??
i v1


?enoiie 138
Проведем теперь анализ задачи в общем случае m исходов при двух уровнях усилий, L и
H. Поскольку решение вспомогательной задачи минимизации ожидаемой платы при
уровне усилий L нам известно (оно такое же, как при наблюдаемых действиях), то про-
анализируем вспомогательную задачу, соответствующую уровню усилий H: требуется
минимизировать ожидаемую оплату при ограничениях участия и совместимости стимулов
для уровня усилий H. Лагранжиан этой задачи имеет вид
L = – ¤s µHsws + ? (¤s µHsv(ws) – cH – ¤s µLsv(ws) + cL) +
+ ?(¤s µHsv(ws) – cH – u0).
Дифференцируя по плате, соответствующей s-му результату:
?L
= – µHs + ? (µHs – µLs) v?(ws) + ?µHsv?(ws),
?ws
получим следующее условие первого порядка:
? µ?
1
= ? + ? ?1 – Ls ?.
? µHs?
v?(ws)
Из него следует, что если ограничение совместимости стимулов несущественно, т.е. мно-
житель Лагранжа ? равен нулю 0, то v?(ws) = 1/?, ?s, то есть плата не зависит от результа-
та:
ws = w = const, ?s.
-
Это может быть только при низком уровне усилий, L. Поэтому ? >0 и ограничение совмес-
тимости стимулов выполняется как равенство.
Покажем, что условие участия также существенно, т.е. множитель Лагранжа ? тоже поло-
жителен. Умножим условия первого порядка на соответствующие µHs:
µHs
= ?µHs + ? (µHs – µLs).
v?(ws)
и сложим для всех значений s:
µHs
= ?¤sµHs + ? ¤s(µHs – µLs) = ?.
¤s
v?(ws)
Поскольку µHs > 0 ?s и v?(w) > 0 ?w, то ? > 0.
Обозначим через w0 уровень заработной платы, являющийся решением уравнения
1
= ?,
v?(w0)

589
590
где множитель Лагранжа ?, соответствует решению вспомогательной задачи. Используя
это обозначение, оплату по контракту можно охарактеризовать следующим образом. Если
вероятность получения результата s при высоком уровне усилий выше, чем при низком
(µHs > µLs), то работник получает надбавку к базовой плате w0, т.е. ws – w0 > 0, причем эта
надбавка тем выше, чем выше отношение µHs/µLs, т.е. чем выше относительная вероят-
ность получения результата s при уровне усилий H. Это отношение в статистике называ-
ют отношением правдоподобия.
В том случае, если вероятность получения результата s при высоком уровне усилий ниже,
чем при низком, контракт предусматривает вычет из базовой платы w0, т.е. ws – w0 < 0.
Если отношение правдоподобия µHs/µLs монотонно возрастает, то оплата по контракту
оказывается возрастающей функцией результата. В частном случае двух результатов это
свойство эквивалентно предположению о стохастическом доминировании: µH1 < µ L1. В
случае трех и более возможных результатов монотонность отношения правдоподобия —
более сильное свойство. Хотя из монотонности отношения правдоподобия следует стохас-
тическое доминирование, но обратное, вообще говоря, неверно.
Приведем пример оптимального контракта с немонотонной оплатой.
Пример 1.
Пусть v(w) = w, u0 = 0. Возможны два уровня усилий и три результата с вероятностями,
доходами и издержками, заданными таблицей:
y1 = 0 y2 = 10 y3 = 20
a=L 0,2 0,7 0,1 cL = 1
a=H 0,1 0,1 0,8 cH = 2
Найдем оптимальный контракт.
Если наниматель стремиться обеспечить высокий уровень усилий, то условия совмести-
мости стимулов и участия выполняются как равенства, поэтому, используя обозначение
vs = ws, можно записать
0,1v1 + 0,1v2 + 0,8v3 – 2 = 0,2v1 + 0,7v2 + 0,1v3 – 1 = 0.
Выражая отсюда v1 через v2 и v3, получим
12 – 3v1 26 – v
, v3 = 11 1.
v2 = 11
Ожидаемая плата равна
˜
EHw = 0,1v12 + 0,1v22 + 0,8v32 =
0,1
= 121(121v12 +(12 – 3v1)2 + 8(23 – v1)2).

Минимизируя по v1, получим
122
v1 = 69 ,

откуда
42 152
v2 = 69, v3 = 69 .

Ожидаемая плата равна примерно 4,23.


590
591
Если наниматель стремиться обеспечить уровень низкий усилий, то плата не зависит от
результата и находится из условия v(w) – cL = u0. Следовательно, эта фиксированная плата
равна 1.
Ожидаемый доход равен 9 при низких усилиях и 17 при высоких. Таким образом, ожи-
даемая прибыль выше при стимулировании высоких усилий.
Видим, что плата по оптимальному контракту немонотонна. Это связано с тем, что отно-
шение правдоподобия µHs/µLs немонотонно (1/2 > 1/7 < 8).
?

РЕНТА, СВЯЗАННАЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ
Как известно, водитель дорогого грузовика получает зарплату заметно большую, чем дру-
гие водители той же квалификации, но на менее дорогой технике. Как объяснить этот фе-
номен?
Одно из возможных объяснений состоит в том, что более высокая заработная плата воз-
мещает большую тягость усилий. Альтернативное объяснение состоит в том, что возмож-
ные контракты должны удовлетворять дополнительным ограничениям. Так, в описывае-
мом случае хозяин грузовика — наниматель данного водителя — не может в случае по-
ломки грузовика возложить полную материальную ответственность на водителя (условие
ограниченной ответственности).

Таким образом, для анализа таких ситуаций следует включить в модель найма дополни-
тельные ограничения.
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 2.
Предположим, что работник нейтрален по отношению к риску, т.е. v(w) = w, и его резерв-
ная полезность u0 равна 1. Остальные параметры модели приводятся в таблице.


y1 = 0 y2 = 10
3/4 1/4
a=L cL = 0
1/4 3/4
a=H cH = 10
Контракт должен удовлетворять ограничению участия
1/4w1 + 3/4w2 – 10 > 1
и совместимости стимулов
1/4w1 + 3/4w2 – 10 > 3/4w1 + 1/4w2.
В оптимуме при стимулировании высоких усилий оба ограничения выполняются как ра-
венства. Отсюда, решая систему уравнений, получим
w2 = w1 + 20,
1/4w1+3/4(w1 + 20) – 10 = 1,
т.е. w1 = –4 и w2 = 16.
Модифицируем задачу найма, включив в нее дополнительное ограничение положительно-
сти выплат (условие ограниченной ответственности), т.е.
ws > 0 ?s.

591
592
Решением модифицированной задачи является контракт w1 = 0 и w2 = 20. При этом работ-
ник получает ожидаемую полезность
˜
EHw – cH = 5,
которая выше его резервной полезности.
Таким образом, здесь можно говорить о ренте (точнее, квазиренте), связанной с ограни-
ченной ответственностью, подразумевая под ней превышение ожидаемой полезности ра-
ботника от контракта над его резервной полезностью.
С формальной тоски зрения причина этого эффекта в том, что в рассмотренной выше за-
даче выбора оптимального контракта ограничение участия не активно. Вместо него (в
комбинации с ограничением совместимости стимулов) оказывается активным ограниче-
ние положительности выплат (или, в других постановках, положительности полезности
при любом состоянии мира).

Задачи
3. Количество производимой работником продукции (y) зависит от его усилий (x) и слу-
чайного фактора (?), принимающего значения 0 и 100 с равной вероятностью, причем
y = x + ?. Произведенная продукция дает предприятию прибыль в размере 2y – w, где w —
плата работнику. Работник имеет элементарную функцию полезности u(w, x) = w – x2/100,
а его резервная полезность равна 0. Предприятие назначает плату пропорционально уси-
лиям (w(x) = ?x), либо пропорционально произведенной продукции (w(y) = ?y) (если уси-
лия ненаблюдаемы).
(A) Сравните эти два вида контрактов.
(B) Будут ли они Парето-оптимальными?
(C)* Каким будет оптимальный контракт в каждой из ситуаций, если на вид функции w(y)
нет ограничений?


4. Предположим, что число возможных результатов в дискретном варианте модели найма
со скрытыми действиями больше двух (m > 2). Покажите, что из монотонности отношения
правдоподобия µHs/µLs следует стохастическое доминирование.


5. Предположим, что в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция
полезности работника имеет вид u(a, w) = w – a2 где, где w — плата, a — усилия (a = 1 или
2). Доход, приносимый работником, зависит от усилий a и случайного фактора (состояния
мира) ?: y = y(a, ?). Случайный фактор ? может принимать три значения, (1, 0, –1), с веро-
˜
ятностями, указанными в таблице. В таблице также указана прибыль в каждом возможном
случае.
? Вероятность
a=1 a=2

(1 – µ)/2
1 100 100

µ
0 100 1

(1 – µ)/2
–1 1 1

Пусть резервная полезность работника u0 = 2,5, вероятность µ = 0,5. Известно, что нанима-
тель установил оплату за прибыль 100 равной w(100) = 64. При какой плате w(1) выполня-
ется условие участия?
592
593


6. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности ра-
ботника имеет вид u(R, x) = R – x, где R = R(s) — это плата, зависящая от уровня выруч-
ки s. Усилия x могут принимать значения 1 или 4. Функция выручки s(x,?) зависит от
усилий x и случайного фактора ?, который может принимать три значения, (?1, ?2, ?3), с
вероятностями (1/3, 1/3, 1/3). Результат действий работника (выручка s) задается табли-
цей
? Вероятность
x=1 x=4

?1 120 120 1/3

?2 1 120 1/3

?3 1 1 1/3
Пусть резервная полезность работника u0 = 0,2. Найдите оптимальный контракт: пару вы-
плат R1, R120 > 0 соответственно за наблюдаемую выручку s = 1 или 120.


7. Пусть в модели найма со скрытыми действиями элементарная функция полезности ра-
ботника имеет вид u(r, a) = r – a, где r = r(h) — это плата, зависящая от уровня выручки
h. Усилия a могут принимать значения 1 или 4. Функция выручки h(a, ?) зависит от уси-
лий a и случайного фактора ?, который может принимать три значения, (?1, ?2, ?3), с веро-
ятностями (1/6, 2/3, 1/6). Результат действий работника (выручка h) задается таблицей
? Вероятность
a=1 a=4

?1 60 60 1/6

?2 1 60 2/3

?3 1 1 1/6
Пусть резервная полезность работникаu0 = 0,3. Найдите оптимальный контракт: пару вы-
плат r1, r60 > 0 соответственно за наблюдаемую выручку h = 1 или 60.

<< Предыдущая

стр. 139
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>