<< Предыдущая

стр. 14
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
Устремляя ? к 0 имеем: ?u(x)(x**–x)>0. Так как ?u(x)x = 0, то ?u(x)x**>0 для каждого
^ ^ ^^ ^
^
потребительского набора, строго предпочитаемого набору x. Очевидно, что такие потре-
бительские наборы найдутся в силу свойства локальной ненасыщаемости. С другой сто-
роны из условия 1) имеем, что ?u(x)x**<0. Таким образом, ?u(x)x**= 0. Рассмотрим раз-
^ ^
^
ложение функции u(.) в окрестности точки x:
u(x + z) = u(x) + ?u(x)z? + zHz? +||z|| o(||z|| ),
2 2
^ ^ ^
где H – матрица вторых частных производных функции u(.), а o – бесконечно малая ве-
^ ^
личина при z стремящемся к нулю. Для любого z = x**– x, где u(x**) > u(x), имеем
2z z
2 2 2
^ ^
u(x**) = u(x) + zHz? +||z|| o(||z|| ) = u(x) + ||z|| ( H( )? +o(||z|| )).
||z|| ||z||
Непрерывная функция yHy? достигает своего максимума (M) и минимума (m) на сфере
2
||y|| = 1. В случае отрицательной определенности матрицы H справедливо, что m<M< 0. В
силу этого, найдется такая величина ?>0, что при ||y|| < ? будет |o(||y||2)| < | M | и, тем са-
мым, yHy?+o < 0. В силу локальной ненасыщаемости функции u(.) в любой ?-
^
окрестности точки x найдется строго лучшая точка x**, и, кроме того, в силу квазивогну-
тости матрица Гессе будет отрицательно полуопределена на векторах таких, что ?u(x ^
^ ^
)y=0. В качестве y возьмем вектор (x – x). Таким образом, имеем u(x ) < u(x), что
** **

противоречит выбору точки x**.
Таким образом, вышеприведенные гипотезы гарантируют нам положительность множите-
ля Лагранжа ?, и существование такого товара для которого ui?(x) > 0 и, значит, выполне-
^
но условие 2 сформулированной выше теоремы.
Рассмотрим теперь необходимые условия оптимальности в задаче потребителя. По теоре-
ме Куна-Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном случае экви-
валентны тому, что не все цены равны нулю и доход строго положителен) существует
множитель Лагранжа ? > 0 такой, что в оптимуме
?L(x, ?) ?L(x, ?)
- -
< 0и = 0, если xk > 0
?xk ?xk
или
?u(x) ?u(x)
- -
< ?pk и =?pk, если xk > 0.
?xk ?xk
Как показано выше, при сделанных нами предположениях множитель Лагранжа строго
положителен. Кроме того, мы получили существование хотя бы одного блага с положи-
тельным объемом потребления. Для этого блага k и любого блага s исключая множитель
Лагранжа из условий Куна-Таккера имеем:
ps ?u(x)/?xs
-
>
pk ?u(x)/?xk.
-
В случае если благо s таково, что xs > 0 то это неравенство выполняется как равенство

63
64

ps ?u(x)/?xs
-
pk ?u(x)/?xk.
=
-
Это свойство известно читателю из вводного курса микроэкономики и означает, что ре-
шение задачи потребителя характеризуется равенством предельной нормы замещения лю-
бых двух благ отношению цен этих благ. Так как ? > 0, то по условию дополняющей не-
жесткости теоремы Куна-Таккера получаем, что бюджетное ограничение должно выхо-
дить на равенство: px = R. Это второе условие первого порядка, которому должен удовле-
творять оптимум рассматриваемой задачи.
Проиллюстрируем теперь применение достаточных условий оптимальности для нахожде-
ния функции спроса на примере.
Пример 9.
K
Пусть множество допустимых альтернатив X= + и предпочтения потребителя предста-
вимы функцией полезности u(x)= x1 +a x2 , где a > 0 . Непосредственными вычисления-
ми проверяем, что матрица Гессе для данной функции полезности равна:
1
? 4x1 0?
– 3/2
H= ?
– 3/2 ?
.
a
? 4x2 ?
0

Очевидно, что матрица H отрицательно определена. Таким образом, функция полезности
u(x) является вогнутой. Также отметим, что u(x) – монотонна. Тем самым, мы подпадаем
под условия теоремы Куна-Таккера и условия дополняющей нежесткости являются доста-
точными условиями оптимальности.
Функция Лагранжа для задачи потребителя с функцией полезности u(x)= x1 +a x2 име-
ет вид:
L(x, ?) = x1 +a x2 + ?(R – p1x1 – p2x2).
Условия Куна-Таккера (условия дополняющей нежесткости)
?L(x, ?) ?L(x, ?)
1 x
– ?p1<0 ; x1 = 2 1 – ?p1x1=0;
1) = 2)
?x1 ?x1
2 x1
?L(x, ?) ?L(x, ?)
a ax
– ?p2<0; x2 = 2 2 – ?p2x2=0;
3) = 4)
?x2 ?x2
2 x2
?L(x, ?) ?L(x, ?)
=R – p1x1 – p2x2>0; ?=(R – p1x1 – p2x2)?=0.
5) 6)
?? ??
Данные условия выполнены только если x1>0, x2>0. Таким образом
1 a
– ?p1=0; – ?p2=0; p1x1 + p2x2=R.
2 x1 2 x2
Из первых двух уравнений имеем
x2 p p
= p1, или x2=(ap1)2x1.
a x1 2 2

Подставляя полученное выражение для x2 в бюджетное ограничение, получим
2
p1 2 2(p1) Rp
p1x1 + p2(ap ) x1=R ? (p1 + a p )x1=R ? x1=p p + a2(p )2.
2
2 2 12 1

a2Rp1
Отсюда x2=(p )2 + a2p p .
2 12


64
65

Rp
Таким образом, мы нашли функцию маршаллианского спроса: x(p, R)=(p p + a2(p )2;
2
12 1
2
a Rp1
(p2)2 + a2p1p2).
Легко видеть, что полученная нами функция спроса удовлетворяет всем свойствам функ-
ции спроса установленными в теореме 14. (Проверьте это самостоятельно!)
?
Перейдем теперь к рассмотрению другого важного понятия в теории потребительского
выбора, а именно понятия непрямой функции полезности.

Определение 16.
Функция ?(p, R) = u(x(p, R)), где x(p, R) –решение задачи потребителя (отображение
спроса) при ценах p и доходе R, называется непрямой функцией полезности.39


Естественно, область определения непрямой функции полезности это такие пары цен и
доходов (p, R) при которых существует решение задачи потребителя. В нашем случае это
K
такие пары (p, R), что выполнено p? ++ и R >infx?Xpx.
Следующая теорема устанавливает основные свойства задачи потребителя в модели по-
требителя с фиксированным доходом.

Теорема 16. (Свойства непрямой функции полезности)
Пусть выполнены предположения Теоремы 14. Тогда
(1) функция ?(p, R) однородна нулевой степени по (p, R): ?(? p, ?R) = ?(p, R);
(2) функция ?(p, R) не убывает по доходу (?(p,R ?) > ?(p,R) при R ?>R), причем строго
возрастает по доходу, если предпочтения локально ненасыщаемы;
(3) функция ?(p, R) не возрастает по ценам (?(p, R) < ?(p?, R) при p >p?), причем стро-
го убывает по ценам, если предпочтения локально ненасыщаемы;
(4) функция ?(p, R) квазивыпукла по (p, R);
(5) если предпочтения потребителя выпуклы, то функция ?(p, R) непрерывна на множе-
стве определения.


Доказательство:
(1) Однородность нулевой степени следует из определения непрямой функции полезности
и однородности нулевой степени функции спроса x(p, R) (см. Теорему 14).
(2) Покажем, что ?(p, R) не убывает по R. Рассмотрим непрямую функцию полезности
при двух разных уровнях дохода R? и R, таких, что R?>R. Поскольку при R?> R бюджет-
ное множество B(p, R?) содержит бюджетное множество B(p, R) (отметим, что случай
B(p, R?)=B(p, R) не исключен), то по определению непрямой функции полезности имеем
?(p, R?)>?(p, R).(Почему?) Предположим теперь, что предпочтения локально ненасы-
щаемы. Если бы при R?>R мы имели ?(p, R?)=?(p, R), то наборы из x(p, R) принадлежа-
ли бы x(p, R?), но для них не выполнялся бы закон Вальраса, чего быть не может, значит
должно выполняться строгое неравенство ?(p, R?) >?(p, R).


39
Непрямая функция полезности впервые рассматривалась в работе Antonelli, G.B., Sulla Teoria Matematica
della Economia Politica, Pisa, 1886.

65
66

(3) Доказательство данного пункта в целом повторяет доказательство предыдущего и ос-
тавляется читателю в качестве упражнения.
(4) Напомним, что функция f(x) называется квазивыпуклой, если функция –f(x) является
квазивогнутой. Мы хотим показать квазивогнутость функции ?(p, R), т.е. что для любого
0<?<1 выполнено
?(?p1 + (1 – ?)p2, ?R1 + (1 – ?)R2) < max {?(p1, R1), ?( p2, R2)}.
Пусть x — решение задачи потребителя при ценах p?= ?p1 + (1 – ?)p2 и доходе R? = ?R1
+ (1 – ?)R2, т.е. x?x(p?, R?). Очевидно, что x является допустимым либо при ценах p1
доходе R1, либо при ценах p2 и доходе R2. Действительно, если бы это было не верно, то-
гда выполнялось бы p1x >R1 и p2x >R2. Взяв первое неравенство с весом ?, а второе не-
равенство с весом (1 – ?) и сложив, получаем p?x >R?. Противоречие с тем, что x?x(p?,
R?). Таким образом, выполнено либо p1x < R1, либо p2x<R2. Без потери общности пред-
положим, что p1x < R1. Из того, что ?(p1, R1) есть по определению значение целевой
функции на оптимальном решении задачи потребителя при ценах p1 и доходе R1, следует
что ?(p1, R1)>u(x), так как x — допустимое решение этой задачи. Тем более, должно вы-
полняться и требуемое соотношение
u(x) =?(p?, R?) < max{?(p1, R1), ?( p2, R2)}.
(5) В предположении строгой выпуклости предпочтений непрерывность непрямой функ-
ции полезности следует из определения и непрерывности функции x(p, R), которую мы
доказали в Теореме 14. Доказательство в общем случае читатель может найти в книге В.
Гильденбранд, Ядро и равновесие в большой экономике, М.: Наука, 1986, стр. 31.
*
Проиллюстрируем понятие непрямой функции полезности на примере гомотетичных
предпочтений.
Пример 7. (Продолжение)
Выше мы показали, что функция маршаллианского спроса однородна первой степени по
доходу, т.е. x(p, R)=Rx(p, 1). Таким образом, ?(p, R)= u(x(p, R)) = u(Rx(p, 1)) = u(x(p,
1))R = a(p)R, где в качестве a(p) выступает u(x(p, 1)).
?
Пример 9. (Продолжение)
Непрямая функция полезности будет иметь вид:
a2Rp1 a2Rp1
Rp2 Rp2
?(p, R) = p1p2 + a2(p1)2 + a (p2)2 + a2p1p2 = p1(p2 + a2p1) + a p2(p2 + a2p1) =
p2 + a2p1 R(p2 + a2p1)
R p2 2 p1 R
p2 + a2p1 ( p1 +a p2 ) = p2 + a2p1 ( p1p2 ) = .
p2p1
Проверим теперь выполнение свойств непрямой функции полезности полученных нами в
теореме 16.
Возрастание непрямой функции полезности по доходу очевидно в силу возрастания функ-
ции x.
1
Убывание непрямой функции полезности по ценам следует из того факта, что функции p
1

1a
2 2
a
и p убывают по ценам и ?(p, R) = R( p + p ) .
2 1 2



66
67

Проверка квазивогнутости непрямой функции полезности достаточно громоздка, и мы ее
проводить не будем. Желающие могут проделать ее самостоятельно.
?
Помимо введенных выше понятий отображения спроса и непрямой функции полезности
важное место в микроэкономической теории занимает понятие хиксианского спроса.

Определение 17.
Пусть на X задана система неоклассических предпочтений, L+(x)={y?X| y}x}– верхнее
_
K
лебеговское множество, отвечающее набору x. Тогда отображение h:  + ?X>2X, опре-
деляемое формулой h(p, x)={ y?L+(x)| py<pz ?z?L+(x)}, называется спросом по Хик-
су (хиксианским спросом)40. В случае если h(p, x) – одноэлементное множество, то h(p,
x) называется функцией спроса по Хиксу.41

<< Предыдущая

стр. 14
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>