<< Предыдущая

стр. 140
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



8. Хозяин нанимает работника. Результат работы (то есть доход хозяина) зависит от нена-
блюдаемой хозяином величины усилий работника, x, а также от ненаблюдаемых случай-
ных событий (состояний мира). Эта зависимость описывается таблицей:
Событие Событие Событие
«не везет» «как всегда» «везет»
1/3 1/3 1/3
x=1 60 60 120
x=3 60 120 120
Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна с
элементарной функцией полезности u(x, w) = 3 w – x. Резервный уровень полезности ра-
ботника равен u0 = 0. Найдите оптимальный контракт, где денежные выплаты w обуслов-
лены величиной дохода, полученного хозяином.




593
594
9. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также
от состояний мира (? = 1, 2, 3). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице
?=1 ?=2 ?=3
Вероятность 1/3 1/3 1/3
0 100 200
x=1
100 200 300
x=2
Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна с
элементарной функцией полезности
u(x, w) = –120/w – x.
Резервная полезность работника равна u0 = – 4. Найдите оптимальный контракт. Покажите,
что результат будет таким же, как и при наблюдаемости действий.


10. В модели найма с ненаблюдаемыми усилиями доход, помимо усилий x, зависит также
от состояний мира (? = 1, 2, 3, 4). Вероятности состояний мира и доходы указаны в таблице
?=1 ?=2 ?=3 ?=4
Вероятность 1/4 1/4 1/4 1/4
0 100 100 200
x=1
100 100 100 200
x=2
100 200 200 200
x=4
Предпочтения работника заданы функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна с
элементарной функцией полезности
u(x, w) = w – x.
Резервная полезность работника равна u0 = 8. Найдите оптимальный контракт.


11. Рассмотрите дискретную модель найма со скрытыми действиями работника. При уси-
лии a (a = 1, ..., k) вероятность получения результата ys (s = 1, ..., m) равна µas. Резервная
полезность для работника равна u0, а его элементарная функция полезности имеет вид
v(w) – ca, где w — оплата усилий работника, а ca — издержки, которые для работника со-
пряжены с усилиями a.
(1) Покажите, что если оплата, обусловленная контрактом, не зависит от результатов
(w(y) = const), то работник выбирает усилие, минимизирующее его издержки.
(2) Предположим, что работник — рискофоб, т.е. v?(w) убывает. Покажите, что если из-
держки не зависят от усилий (ca = const), то оплата по (оптимальному) контракту не зави-
сит от результатов.
(3) Предположим, что возможны всего два результата и два уровня усилий, причем y2 > y1
и µb2 > µa2 ?a, b. Опишите оптимальный контракт, если (а) ca > cb, (b) ca < cb.


12. Страхователь с элементарной функцией полезности u(x) = ln x может вероятностью µ
потерять актив ценностью K рублей, и обладает богатством ? (включая актив). Пусть
своими усилиями x по обереганию актива страхователь может оказать влияние на вероят-
594
595
ность страхового случая. Функция µ(x) убывает, а тягость усилий для страхователя равна
c(x) = x2. Возможны два действия x = 0 или x = 1.
Каким окажется выбранный страховой контракт, если ...
1) на рынке страховых услуг условия совершенной конкуренции;
2) на рынке только одна страховая компания.
3) При каких условиях страховой контракт гарантирует полное возмещение убытков?


13. Отметьте такие условия, каждое из которых, независимо от прочих, гарантирует, что
оптимальный для нанимателя контракт в модели найма со скрытыми действиями Парето-
оптимален:
а) работник — рискофил, а оплата его труда зависит от результата;
б) работник (как и наниматель) нейтрален к риску;
в) действия не оказывают влияния на распределение результата;
г) действия могут быть однозначно вычислены по наблюдаемому результату;
д) резервная полезность для работника равна нулю;
е) действия не сопряжены с издержками для работника;
ё) работник — рикофоб, а оплата его труда зависит от результата;
ж) ожидаемый доход не зависит от усилий;
з) действия, дающие наибольший ожидаемый доход, сопряжены с наименьшими издерж-
ками для работника;
и) действия дающие наибольшую прибыль (не обязательно наибольший доход) не могут
давать доход, равный доходу от прочих действий;
й) резервная ожидаемая полезность для работника отрицательна и меньше по модулю
максимального ожидаемого дохода.
По возможности объясните свой ответ.


14. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Утверждение: если
плата работника не зависит от результатов деятельности работника, то работник выберет
такие действия (усилия) x, при которых его издержки усилий c(x) минимальны. Сформу-
лируйте модель и гипотезы утверждения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой.


15. Модель найма со скрытыми действиями. Утверждение: если работник нейтрален к
риску, то выбранный начальником контракт окажется Парето-оптимальным. Сформули-
руйте модель и предположения, докажите и проиллюстрируйте диаграммой.


16. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Верно ли утвержде-
ние: если схема выплаты работнику, ws, (контракт) зависит от результатов (ws ? wt ?s ? t),
то работник выберет такие действия (усилия) b, что c(b) > min x?X c(x)? Если верно, то
обоснуйте его, если неверно, то приведите соответствующий контрпример.



595
596
17. Модель найма со скрытыми действиями, работник — рискофоб. Верно ли утвержде-
ние: пусть издержки работника не зависят от действий (усилий), тогда выбранный началь-
ником контракт окажется Парето-оптимальным? Если верно, то обоснуйте его, если не-
верно, то приведите соответствующий контрпример.


18. Рассмотрим модель найма с тремя уровнями усилий и двумя результатами. Резервная
полезность равна 1. Вероятности результатов, доходы и издержки задаются следующей
таблицей.
y1 = 0 y2 = 50
3/4 1/4
a=L cL = 1
1/2 1/2
a=M cM = 3
1/4 3/4
a=H cH = 4
(A) Покажите, что один из уровней усилий нереализуем в случае, когда усилия ненаблю-
даемы (не существует контракта, при котором он выгоден работнику).
(B) Найдите оптимальный контракт при наблюдаемых и ненаблюдаемых усилиях.


19. Предположим, что в модели найма при наблюдаемых усилиях нанимателю оказывает-
ся выгодным минимальный уровень усилий. Может ли при ненаблюдаемых усилиях быть
выгоден другой уровень усилий?


20. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами. Опишите
все возможные оптимальные контракты в предположении, что усилия ненаблюдаемы, и
работник является нейтральным к риску. Продемонстрируйте, что все они являются опти-
мальными по Парето, и наниматель получает такую же ожидаемую прибыль, как и при
наблюдаемых усилиях.


21. Рассмотрим модель найма с двумя уровнями усилий и с двумя результатами, в которой
усилия ненаблюдаемы, работник является нейтральным к риску, и допустимые контракты
ограничены условием ограниченной ответственности ws > w. Покажите, что существует
граница w*, такая что для контракта, обеспечивающего высокий уровень усилий, рента,
связанная с ограниченной ответственностью, положительна в том и только в том случае,
если w > w*.


22. Рассмотрите в модели найма с ненаблюдаемыми действиями с двумя уровнями уси-
лий и с двумя результатами контракты типа издольщины, когда нейтральный к риску ра-
ботник получает плату в виде фиксированной доли от создаваемого им дохода. Найдите
оптимальные контракты и сравните с оптимальными контрактами при наблюдаемых дей-
ствиях.


23. Объясните, почему контракт типа издольщины не может быть эффективным по Паре-
то.




596
597
24. [Tirole] Работник может выбрать два уровня усилий: высокий (H) и низкий (L). Полез-
ность работника в случае низких усилий равна v(w), а в случае высоких — v(w – c), где
w — заработная плата, c — издержки, связанные с высокими усилиями. Функция v(?) воз-
растающая и строго вогнутая (работник — рискофоб). Резервная заработная плата работ-
ника равна w0 (так что резервная полезность равна v(w0)).
Пусть доход нанимателя может принимать два значения, y1 и y2, причем y1 < y2. Если ра-
ботник выберет высокий уровень усилий, то доход будет равен y2 с вероятностью µH и y1 с
вероятностью 1 – µH. Если же он выберет низкий уровень усилий, то доход будет равен y2 с
вероятностью µL и y1 с вероятностью 1 – µL, причем µL < µH.
(A) Рассмотрите сначала случай, когда усилия работника наблюдаемы. Объясните, поче-
му, если наниматель требует от работника выбрать низкий уровень усилий, то он должен
назначить оплату w1 = w2 = w0, а если высокий, то w1 = w2 = w0 + c.
(B) Покажите, что в ситуации пункта (A) нанимателю выгодно требовать от работника
высокого уровня усилий в том и только в том случае, если (µH – µL)(y2 – y1) > 0.
(C) Рассмотрите теперь случай, когда усилия работника ненаблюдаемы, и наниматель хо-
чет побудить работника выбрать высокий уровень усилий. Запишите условие совместимо-
сти стимулов и условие участия.
(D) Покажите, что из условия совместимости стимулов следует, что w2 > w1.
(E) Объясните, почему нанимателю выгодно назначить такую оплату, что оба ограничения
выходят на равенство.
(F) Пользуясь тем, что работник — рискофоб, покажите, что ожидаемая зарплата работ-
ника выше, а ожидаемая прибыль нанимателя ниже, чем при наблюдаемости усилий
(предполагаем, что в обоих случаях нанимателю выгодно побуждать работника выбрать
высокий уровень усилий).
(G) Найдите оплату при нейтральности работника к риску.
(H) Найдите оплату в случае, когда нанимателю выгодно побуждать работника выбрать
низкий уровень усилий.


25. [Tirole] Акционеры решают, какое жалование w назначить менеджеру компании. При-
быль без учета этого жалования y зависит от усилий менеджера x и случайного фактора
(«возмущения») ?: y = x + ? . Предполагаем, что ? — случайная величина, распределение
которой не зависит от x, с носителем (–?,+?), имеющая нулевое математическое ожида-
ние: E(?) = 0. Акционеры нейтральны к риску и максимизируют ожидаемую прибыль
E(x + ? – w). Менеджер имеет целевую функцию типа Неймана—Моргенштерна с элемен-
тарной функцией полезности вида u(x, w) = v(w – ?x2), где ? — постоянный коэффициент,
функция v(?) имеет положительную невозрастающую производную. Менеджер может
найти себе работу преподавателя в бизнес-школе, где практически без усилий и риска ему
гарантирована заработная плата w0.
(i) Если акционеры наблюдают уровень усилий менеджера, то они могут найти такую
схему оплаты, что менеджер выберет именно тот уровень усилий, какой им требуется.
Предложите вариант такого контракта. Найдите оптимальный уровень усилий, то есть
такой, который дает максимум ожидаемой прибыли, и при этом менеджер не откажется от
контракта.
(ii) Пусть акционеры не могут наблюдать уровень усилий, им известна только величина
прибыли y. Предположим, что используется линейная схема оплаты w(y) = a + by. Покажи-

597
598
те, что уровень усилий, который выберет менеджер не зависит от вида функции v(?). Най-
дите его как функцию коэффициентов a и b. (Поскольку носитель распределения ошибки
не зависит от усилий менеджера, то производная математического ожидания равна мате-
матическому ожиданию производной). Покажите, что если менеджеру остается вся при-
быль за исключением некоторой постоянной величины, то есть b = 1, то он выберет тот
уровень усилий, который оптимален в ситуации (i).
(iii) Запишите функцию Лагранжа и найдите условия первого порядка для задачи выбора
оптимального линейного контракта. Покажите, что если менеджер нейтрален к риску, то
акционеры выберут b = 1. Докажите, что если производная функции v(?) убывает (т.е. ме-
неджер является рискофобом), то в оптимальном контракте 0 < b < 1, то есть это нечто
среднее между ситуацией, когда весь риск берут на себя акционеры (b = 0) и ситуацией,
когда весь риск берет на себя менеджер (b = 1). (Подсказка: Воспользуйтесь тем, что если
f(?) — возрастающая функция ?, то ковариация Cov(f(?), ?) = E(f(?) ?) неотрицательна, и
наоборот, если f(?) — убывающая функция ? , то эта ковариация неположительна).

Модель найма со скрытой информацией
В этом параграфе мы будем предполагать, что уровень усилий является наблюдаемой ве-
личиной. То есть мы будем рассматривать ситуации найма, когда возможные проблемы в
определении контракта связаны с тем, что нанимателю могут быть неизвестны некоторые
характеристики работника (полезность оплаты по контракту, продуктивность усилий, из-
держки разных усилий, резервная полезность и т.д.). Поскольку усилия наблюдаемы, оп-
лата по контракту w(?) может быть обусловлена уровнем усилий, что и предполагается в
дальнейшем в этом параграфе.
Будем предполагать, что на рынке труда представлены работники нескольких типов ? ? ?,
причем наниматель не может их различить. При этом на множестве ? задано (тем или
иным способом) распределение вероятностей, известного потенциальным нанимателям. В
случае, если множество ? конечно, это распределение можно характеризовать перечисле-
нием вероятностей µ? встретить работника типа ?. В дальнейшем будем считать, что при
этом µ? > 0 ??.
Предположим, что результат усилий x?X работника — доход y(x), монотонно возрас-
тающая вогнутая функция уровня усилий. Наниматель максимизирует свою прибыль
y(x) – w(x),
где w(x) — оплата уровня усилий x работника. Поскольку доход y(x) — монотонная
функция усилий, то можно измерять уровень усилий непосредственно величиной ожидае-
мого дохода. Таким образом, без ограничения общности будем считать, что уровень уси-
лий измеряется величиной ожидаемого дохода, т.е. y(x) = x.
Если работник типа ? осуществляет усилия x?, то с точки зрения нанимателя усилия —
это случайная величина, принимающая значение x? с вероятностью µ?. Таким образом,
ожидаемая прибыль нанимателя равна:
E(x? – w(x?)),
где ожидание берется по распределению типов. В частном случае конечного числа (n)
типов она считается по формуле
n
¤(x? – w(x?)),
? =1


<< Предыдущая

стр. 140
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>