<< Предыдущая

стр. 141
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



598
599
Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам
и усилиям:
u?(x, w) = v?(w) – c?(x),
где, как и ранее, v?(w) — полезность оплаты w, а c?(x) — тягость усилий x для работника
типа ?. Мы будем предполагать, что v?(w) — возрастающая вогнутая функция, а c?(x) —
возрастающая выпуклая функция. Разные типы работников характеризуются разной фор-
мой функций v?(w) и c?(x).
Предположим, что v?(w) = w.
Пусть x? — усилия, которые, как планирует наниматель, должен осуществлять работник
типа ?, а w? — соответствующая зарплата. Пары (x?, w?) будем называть пакетами. Удобно
начать изучение модели найма со скрытой информацией с задачи поиска оптимальных
пакетов, по одному на каждый тип работника, а не с анализа нахождения оптимального
контракта w(x), который бы специфицировал плату при каждом возможном уровне уси-
лий работника. Оказывается, и мы это покажем в дальнейшем, что при таком упрощении
модели мы, фактически, ничего не теряем.

Модель найма со скрытой информацией при монопольном положении
нанимателя: характеристики оптимальных пакетных контрактов
Рассмотрим сначала случай найма с единственным нанимателем. При этом предположим,
что каждый тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0?, заданной
экзогенно. (Если предложенный ему контракт обеспечивает полезность ниже величины u0?
, работник отказывается его подписывать). Нормируя функции издержек (добавляя к "пер-
воначальным" функциям величины u0?), будем считать, что все u0? равны нулю.
Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с не-
полной информацией. Опишем последовательность ходов в этой игре:
0. «Природа» выбирает тип работника ? ? ?.
1. Наниматель, не зная типа, предлагает контракты — пакеты (x?, w?), ? ? ?.
2. Работник (зная свой тип) выбирает одну из возможных альтернатив: либо не подписы-
вать контракт, либо подписать контракт, выбрав какой-то из предложенных пакетов вы-
брать.
Мы, как обычно, будем предполагать благожелательное поведение работника по отноше-
нию к хозяину. Будем предполагать также, что пакеты правильно маркированы: (x?, w?) —
пакет, который добровольно выбирает работник типа ?. Это позволяет описать выбор оп-
тимальных пакетов задачей максимизации ожидаемой прибыли нанимателя при ограниче-
ниях двух типов, следующих из предположения о рациональном поведении работников:
(1) работнику каждого из типов должно быть выгодно подписать контракт (условия уча-
стия), (2) работнику типа ? должно быть выгодно выбрать предназначенный для него па-
кет (условия совместимости стимулов). Условия совместимости стимулов, называют в
данном случае также условиями самовыявления(, поскольку они фактически требуют, что-
бы пакеты были выбраны так, чтобы происходило добровольное выявление типа работни-
ка.
Таким образом, следует рассмотреть следующую задачу:

E? = E(x? – w?) > max {w , x }
? ?



w? – c?(x?) > w? – c?(x?), ??, ? ? ?,

599
600
w? – c?(x?) > 0, ?? ? ?.
Поскольку в оптимальном решении некоторые из типов работников могут не подписать
контракт, то работников таких типов следует исключить из рассмотрения, дополнив ука-
занную задачу ограничениями неучастия. Следует провести перебор по подмножествам
множества типов работников, разделяя их на тех, кто подписывает контракт, и тех, кто его
не подписывает, и выбрать тот вариант, который дает наибольшую ожидаемую прибыль.

МОДЕЛЬ НАЙМА СО СКРЫТОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПРИ ДВУХ ТИПАХ РАБОТНИКОВ
Прежде, чем анализировать более общие случаи, проведем анализ простого частного слу-
чая, когда встречаются только работники двух типов: ? = 1, 2. Вероятность появления ра-
ботника 1-го типа на рынке труда равна µ1, а 2-го — µ2. Будем предполагать, что работник
первого типа более способный, т.е. один и тот же объем работ он выполняет с меньшими
усилиями и, кроме того, производство дополнительной единицы продукции требует от
него меньших издержек:
c2(x) > c1(x)
и
? ?
c2(x) > c1(x) ?x.
Последнее неравенство означает, что разность d(x) = c2(x) – c1(x) возрастает по x. Заметим,
что для справедливости приведенных ниже результатов достаточно выполнения этого ус-
ловия (а не условия на производные этих функций).
Для каждой из категорий работников ? ? {1, 2} предназначается своя пара усилия — зар-
плата, т.е. пакет (x?, w?).
Если бы наниматель мог различать работников, тогда он выбрал бы «идеальные» пакеты
^^
(x?, w?), которые рассматривались выше для случая полной информации.
^
«Идеальные» уровни усилий x? находились бы из условия максимизации прибыли, соот-
ветствующей сделке с работником каждого типа. При этом единственным ограничением
для нанимателя было бы условие участия. В оптимуме это ограничение должно выпол-
няться как равенство: w? = c?(x?). Подставим это равенство в функцию прибыли:
x – c?(x) > max x?X
Сделанные выше предположения относительно функций издержек гарантируют, что x1 > x^^
^ ^
2. Покажем это. Из того, что x1 и x2 являются решениями соответствующих задач, следует,
что
x1 – c1(x1) > x2 – c1(x2)
^ ^ ^ ^
и
x2 – c2(x2) > x1 – c2(x1).
^ ^ ^ ^
Складывая эти неравенства, получаем
c2(x1) – c1(x1) >c2(x2) – c1(x2),
^ ^ ^ ^
и
d(x1) >d(x2).
^ ^




600
601
Неравенство x1 > x2 следует из возрастания функции d(x). Выполнение строгого неравен-
^^
ства можно гарантировать при дифференцируемости функций издержек в предположении,
? ?
что c2(x) > c1(x) ?x.
Если функции издержек дифференцируемы, то условие первого порядка внутреннего мак-
симума выглядит следующим образом (см. Рис. 139):
?^
c?(x?) = 1.
^
Оплата wi выбирается так, чтобы в точности компенсировать работнику издержки его
усилий, т.е.
^ ^
w? = c?(x?).
^
Сказанное иллюстрирует Рис. 139. Оплата w1 работника 1-го типа равна сумме площадей
^
фигур A и B и величины c1(0), а оплата w2 работника 2-го типа — A + C + c2(0).


?
c2(x)

?
c1(x)
1

B
C
A x
^ ^
x2 x1
7
?enoiie 139. Eaaaeuiay iieaoa i?e iieiie eioi?iaoee
Поскольку наниматель не может отличать тип работников, то требуется, чтобы произошло
их самовыявление, то есть, чтобы работник каждого типа выбрал именно тот пакет, кото-
рый для него предназначен. Таким образом, задача нанимателя имеет следующий вид:
E? = E(x? – w?) = µ1(x1 – w1) + µ2(x2 – w2) > max w , x , w , x
1 1 2 2



w1 – c1(x1) > w2 – c1(x2)
(условие самовыявления работника 1-го типа),
w2 – c2(x2) > w1 – c2(x1)
(условие самовыявления работника 2-го типа),
w? – c?(x?) > 0, ?? = 1, 2
(условия участия).
Заметим, что для любых допустимых в этой задаче пакетов (а значит и для оптимальных)
выполнены условия монотонности (упорядоченности) усилий и соответствующих уровней
оплат. Действительно, сложив два условия самовыявления, получим
c2(x1) – c1(x1) > c2(x2) – c1(x2),
или
d(x1) > d(x2),
откуда при возрастании функции d(x) следует, что x1 > x2. Из условия самовыявления ра-
ботника 1-го типа при возрастании функции c1(x) следует, что
601
602
w1 – w2 > c1(x1) – c1(x2) > 0,
т.е. w1 > w2.
Рассматриваемую задачу можно существенно упростить, используя сделанные выше
предположения относительно функций издержек.
Покажем, что два из четырех условий выполняются в решении задачи как равенство. Ана-
лиз проведем в несколько шагов.
1. Покажем сначала, что условие участия для работника первого типа является следстви-
ем указанных двух условий, т.е. избыточно. Действительно, из условия самовыявления
работника 1-го типа и условия участия работника 2-го типа, учитывая, что c2(x) > c1(x)
?x, получим, что выполняется и условие участия для работника первого типа:
w1 – c1(x1) > w2 – c1(x2) > w2 – c2(x2) > 0.
2. Далее, условие самовыявления для работника 1-го типа в решении обращается в равен-
ство (для него оба пакета должны оказаться эквивалентными). Действительно, если это не
так, то возможно уменьшить величину w1, не нарушая ограничения задачи, что противо-
речит оптимальности рассматриваемых пакетов. (Ограничение участия для работника 1-го
типа не нарушается, коль скоро не нарушается ограничение самовыявления работника 1-
го типа, а ограничение участия для работника 2-го типа остается без изменений).
3. Наконец, условие участия для работника второго типа в решении обращается в равенст-
во. Действительно, если это не так, то оба условия участия выполняются как строгие не-
равенства. Но тогда можно уменьшить оплату работников обоих типов на одну и ту же
величину, не нарушив эти условия. При этом по прежнему выполняются ограничения са-
мовыявления, а прибыль нанимателя увеличивается (на величину уменьшения оплаты),
что противоречит предположению об оптимальности пакетов.
----
Мы показали, что в оптимальном решении w1, w2, x1, x2 выполнены равенства
- - - -
w1 – c1(x1) = w2 – c1(x2)
- -
w2 – c2(x2) = 0,
- -- - - -
откуда w2 = c2(x2), w1 = c1(x1) + c2(x2)– c1(x2),
Подставляя эти значения в ограничение участия для работника второго типа, получим
c2(x2) – c2(x2) > c2(x2) – c1(x2) + c1(x1) – c2(x1),
- - - - - -
или
d(x1) > d(x2).
- -
Выполнение последнего неравенства гарантируют предположения относительно функций
издержек (d(x) — возрастающая функция) и установленное выше соотношение x1 > x2.
Таким образом, в оптимальном решении задачи выполнение условия участия работников
2-го типа является следствием двух полученных выше равенств.
- - -
Подставив w1 и w2 в целевую функцию задачи, получим следующую задачу для выбора x
-
1 и x2:


µ1(x1 – c2(x2) + c1(x2) – c1(x1)) + µ2(x2 – c2(x2)) > max x , x ?X
1 2



x1 > x2.



602
603
Сначала мы найдем решение соответствующей задачи безусловной оптимизации (не учи-
тывая ограничения x1 > x2), а затем покажем, что это ограничение выполняется в получен-
ном решении, и поэтому несущественно.
Поскольку µ1 > 0 и µ2 > 0, то без ограничения монотонности уровней усилий, x1 > x2, задача,
- -
фактически, распадается на две задачи, одна — для выбора x1, другая — для выбора x2

x1 – c1(x1) > max x ?X.
1



µ
x2 – c2(x2) – 1(c2(x2) – c1(x2)) > max x ?X.
µ2 2




^
Первая задача имеет тот же вид, что и задача определения оптимального уровня усилий (x
1) в условиях, когда типы работников наблюдаемы. Следовательно, множества решений
^
этих двух задач совпадают. Для 2-го типа задача отличается от задачи поиска x2 тем, что к
µ
функции издержек добавляется неотрицательная возрастающая функция 1(c2(x2) – c1(x2)).
µ2
^ -
Поэтому решения двух задач, вообще говоря, различны, причем если x2 и x2 — решения
этих задач, то x2 > x2. Действительно, по определению x2
^- ^
x2 – c2(x2) > x2 – c2(x2),
^ ^ - -
-
а по определению x2
µ µ
x2 – c2(x2) – 1(c2(x2) – c1(x2)) > x2 – c2(x2) – 1(c2(x2) – c1(x2)).
- - - - ^ ^ ^ ^
µ2 µ2
Сложив эти неравенства, получим
c2(x2) – c1(x2) > c2(x2) – c1(x2)
^ ^ - -
или
d(x2) > d(x2),
^ -

<< Предыдущая

стр. 141
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>