<< Предыдущая

стр. 142
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

откуда следует требуемое неравенство.
--^
Таким образом, если x1, x2, x2 — решения соответствующих задач, то имеет место нера-
венство x1 > x2 > x2. Таким образом, ограничение x1 > x2 выполняется для любого решения
-^-
задачи и поэтому несущественно.
Заметим, что при дифференцируемости функций для любой пары внутренних оптималь-
? ?
ных пакетов выполнено строгое неравенство x1 > x2 при условии, что c2(x) > c1(x) ?x. Мы
--
покажем это ниже.
--
Условия первого порядка для внутренних решений x1, x2 при дифференцируемости функ-
ций издержек имеют вид:
?-
c1(x1) = 1,
µ
?- ?- ?-
c2(x2) = 1 – 1[c2(x2) – c1(x2)].
µ2
? ? ?-
Поскольку c2(x) >c1(x), то c2(x2) < 1. Это означает, что x2 ? x2, где x2 — оптимальный уро-
-^ ^
вень усилий для работника 2-го типа. Поскольку x2 < x2, то это означает, что усилия, осу-
-^
-^
ществляемые работником 2-го типа, неоптимально низки (x2 < x2).


603
604
- -^
Поскольку x1 — оптимальный уровень усилий для работника 1-го типа, то x1 > x2, где если
^
x2 — оптимальный уровень усилий для работника 2-го типа. Получаем цепочку нера-
-^-
венств x1 > x2 > x2.
Заметим, что строгая выпуклость функций издержек c?(?) гарантирует единственность
^ ^
решений задач определения оптимальных уровней усилий x1 и x2 в ситуации симметрич-
ной информированности и достаточность условий первого порядка. То же самое справед-
-
ливо и для задачи определения величины оптимального уровня усилий x1 для случая
асимметричной информированности. Аналогичные свойства задачи определения уровня
-
усилий x2 можно гарантировать лишь при дополнительных условиях, например, при вы-
? ?
пуклости функции c2(x) – c1(x) (монотонности функции c2(x) – c1(x)). При этом
^-^-
x1 = x1 > x2 > x2.
Таким образом, для работника 2-го типа приходится планировать меньшую величину уси-
лий, чтобы понизить оплату работника 1-го типа.
Рис. 140 иллюстрирует сделанные нами выводы.


?
c2(x)

?
c1(x)
1



x
^
- -^
x2
x2 x1 = x1

?enoiie 140.
- -
Поскольку, как мы предполагаем, решение внутреннее, то c2(x2) > c1(x2), откуда
- - - - - -
w1 – c1(x1) = w2 – c1(x2) > w2 – c2(x2) = 0
Таким образом, работник 2-го типа при этом всегда получает лишь резервную полезность
(его излишек равен нулю), а первый — несколько больше своей резервной полезности. То
есть наличие на рынке менее производительных работников и невозможность их отличить
приводит к тому, что более производительный работник при условии, что выгодно нани-
мать работников 2-го типа, получает так называемую информационную ренту (квазиренту).
Т.е. здесь имеет место отрицательная экстерналия.
Проиллюстрируем это графически (Рис. 141). На рисунке OA — прибыль от контракта с
работником 2-го типа, OB — прибыль от идеального контракта с работником 2-го типа,
OC — прибыль от контракта с работником 1-го типа, OD — прибыль от идеального кон-
тракта с работником 1-го типа.
Заштрихованная область соответствует пакетам (x2, w2), обеспечивающим Парето-улучше-
ние. Пакеты в этой области не могут быть реализованы из-за необходимости обеспечить
выполнение условия самовыявления для работников 1-го типа.




604
605
c2(x)

-
w1
^
w1
^
w2

-
w2
c1(x) x
- ^ -^
O x2 x2 x1 = x1
A
- -
c1(x1) + c2(x2)– c1(x2)
B




C
D


?enoiie 141
Пример 3.
Для функций издержек
c1(x) = 0,5 x2, c2(x) = x2,
и множества возможных усилий X =  + решая задачу

µ1(x1 – x 2 + 0,5 x 2 – 0,5 x 1 ) + µ2(x2 – x 2 ) > max x , x .
2 2 2 2
1 2



получим
1
- - .
x1 = 1, x2 =
2 + µ1/µ2
При этом уровни оплаты будут равны:
1
- - -
2 2
w1 = 0,5 x 2 + 0,5 x 1 = + 0,5,
2(2 + µ1/µ2)2
1
--
2
.
w2 = x 2 =
(2 + µ1/µ2)2
^
Работник второго типа будет производить меньше эффективного уровня x2 = 0,5. Совпаде-
ние возможно только если µ1 = 0, µ2 = 1.
Информационная рента работника 1-го типа равна
1
- -
w1 – 0,5 x12 = > 0.
2(2 + µ1/µ2)2
?
Проделанный анализ характеризует оптимальные с точки зрения нанимателя условия
найма работников обоих типов. Как было указано выше, это решение следует сравнить с
решением, полученным при условии, что нанимаются только работники первого типа.
Напоминаем, что, как и прежде, мы предполагаем, что если два варианта поведения при-
носят работнику одинаковую полезность, то он выбирает поведение, выгодное нанимате-
лю. Поэтому условия неучастия запишем в виде нестрогого неравенства. Выбор опти-
мального пакета для случая, когда нанимаются только работники 1-го типа, характеризу-
ется следующей задачей:
x – w > max w, x
605
606
w – c1(x) > 0
(условия участия работника 1-го типа).
w – c2(x) < 0
(условия неучастия работника 2-го типа).
-- - -
Для решения (x, w) этой задачи выполнено w = c1(x), т.е. ограничение участия работника
1-го типа выходит на равенство. При этом ограничение неучастия работника 2-го типа
является несущественным, поскольку c1(x) < c2(x). Таким образом, задача совпадает с за-
^^
дачей выбора оптимального пакета (x1, w1) для работника 1-го типа в условиях полной
информации.
В этом простом случае, разрабатывая стратегию найма, наниматель сравнивает мини-
мальное значение ожидаемой информационной ренты с максимальным значением ожи-
даемого дохода от занятости работника второго типа. В случае, когда первая величина
превышает вторую, предлагаются пакеты для работников обоих типов. В случае, когда
доход от занятости работников второго типа относительно низкий, предлагается только
^^
один пакет (x1, w1).

МОДЕЛЬ НАЙМА СО СКРЫТОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПРИ КОНЕЧНОМ КОЛИЧЕСТВЕ ТИПОВ РАБОТНИКОВ. ЦЕПНОЕ
ПРАВИЛО

Пусть теперь на рынке труда присутствуют n различных типов работников, т.е.
? = {1, ..., n}.
Предположим, относительно функций издержек что
c?(x) >c?(x) (?x ? X) ? ? > ?,
и разности c?(x) – c?(x) возрастают по x при ? > ?.

cn–1(x)
cn(x)
c2(x)

c1(x)
??
?



x

?enoiie 142
Напомним, что составление оптимального контракта сводится к решению следующей за-
дачи

¤ µ?(x? – w?) > max {w , x } ? ?
???
w? – c?(x?) > w? – c?(x?), ??, ? ? ?, (<)
w? – c?(x?) > 0, ?? ? ?.
Если указанные условия упорядоченности издержек выполнены, то можно доказать важ-
ный результат: цепное правило. Он состоит в том, что можно заменить задачу (<) эквива-
лентной задачей:

606
607

¤ µ?(x? – w?) > max {w , x }
? ?
???

w? – c?(x?) = w?+1 – c?(x?+1), ?? < n, (=)
wn – cn(xn) = 0,
x? > x?+1, ?? < n.
Это означает, что наниматель выберет контракт, обладающий следующими свойствами:
1) Чем большей производительностью отличается работник, тем большие он осуществляет
усилия (условие упорядоченности уровней усилий x?).
2) Не требуется следить, чтобы работник типа ? (? < n) не выбирал пакет, предназначен-
ный для работника типа ? + k при k > 1, достаточно гарантировать, чтобы это было выпол-
нено для k = 1. Ограничение участия достаточно обеспечить для работника типа ? = n.
3) При максимизации прибыли указанные ограничения следует вывести на равенство. А
именно, работник типа ? (? < n) должен быть безразличен при выборе между пакетом
(w?, x?) и пакетом (w?+1, x?+1), а работник типа ? = n должен быть безразличен при решении
о подписании контракта.
В следующей теореме мы последовательно покажем, что оптимальные пакеты характери-
зуются этими свойствами, и, тем самым, покажем эквивалентность двух задач.


Теорема 3.
Если выполнено условие упорядоченности издержек, то задача (<) эквивалентна задаче
(=).
Доказательство.
1) Пусть пакеты {w?, x?} удовлетворяют ограничениям задачи (<). Покажем, что уровни
усилий упорядочены.
Рассмотрим два произвольных типа ?, ? ? ?, таких что ? > ?. Для этих типов выполнены
условия самовыявления:
w? – c?(x?) > w? – c?(x?),
w? – c?(x?) > w? – c?(x?).
Сложив два неравенства, получим
c?(x?) – c?(x?) > c?(x?) – c?(x?).
Поскольку c?(x) – c?(x) возрастает, то отсюда следует, что x? > x?.
2) Докажем, что если для работника любого типа ? < n пакет (w?, x?) не хуже, чем пакет
(w?+1, x?+1), то, как следствие, для работника любого типа ? < n пакет (w?, x?) не хуже, чем
любой пакет (w?+k, x?+k), k > 1 (k < n – ?).
Докажем это утверждение по индукции. При k = 1 оно верно по предположению. Предпо-
ложим теперь, что оно верно для некоторого фиксированного k и покажем, что оно также
верно и для k + 1.
Поскольку
w? – c?(x?) > w?+k – c?(x?+k),
и
607
608
w?+k – c?+k(x?+k) > w?+k+1 – c?+k(x?+k+1),

<< Предыдущая

стр. 142
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>