<< Предыдущая

стр. 143
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

откуда
w? – c?(x?) > w?+k+1 – c?(x?+k) + c?+k(x?+k) – c?+k(x?+k+1).
Поскольку, как мы только что доказали, x?+k > x?+k+1, а функция c?+k(x) – c?(x) возрастает, то
c?+k(x?+k) – c?(x?+k) > c?+k(x?+k+1) – c?(x?+k+1),
и, следовательно,
w? – c?(x?) > w?+k+1 – c?(x?+k+1)
Мы показали, что часть ограничений самовыявления избыточна. Покажем теперь, что из
ограничения самовыявления для ? и ? + 1 и ограничения участия для ? = n следуют огра-
ничения участия для ? < n, поэтому они также избыточны. Действительно, из
w? – c?(x?) > w?+1 – c?(x?+1),
и
w?+1 – c?+1(x?+1) > 0,
при выполнении предположения об упорядоченности издержек следует
w? – c?(x?) > 0.
3) В решении задачи (<) строгое неравенство
w? – c?(x?) > w?+1 – c?(x?+1), ?? < n,
невозможно. Если бы выполнялось такое неравенство, то, как следует из только что дока-
занного, мы могли бы уменьшить все w?, ? > ?, на величину соответствующей невязки, не
нарушая ни одного ограничения задачи (все ограничения, которые могли бы быть нару-
шены при таком сдвиге, являются избыточными, то есть выполняются автоматически). Но
тем самым, мы увеличили бы прибыль, что невозможно.
Аналогично, если бы
wn – cn(xn) > 0,
то возможно было бы уменьшить wn до cn(xn), не нарушая ни одного ограничения задачи.
Таким образом, оптимальное решение задачи (<) удовлетворяет всем ограничениям зада-
чи (=).
4) Для доказательства теоремы осталось показать, что если пакеты {w?, x?} удовлетворяет
ограничениям задачи (=), то они удовлетворяют всем ограничениям задачи (<).
Достаточно проверить ограничения самовыявления для ?, ? при ? > ? и ограничение уча-
стия для n, поскольку, как мы уже показали, остальные ограничения избыточны. Ограни-
чение участия для работника типа n в задаче (=) выполнено.
Докажем выполнение указанных ограничений самовыявления по индукции. Зафиксируем
?. При ? = ? ограничение выполнено. Пусть оно выполнено при некотором заданном ?
(? > ??). Докажем, что оно выполнено и при ? – 1.
Из предположения индукции
w? – c?(x?) > w? – c?(x?)
и ограничения задачи (=)

608
609
w?–1 – c?–1(x?–1) = w? – c?–1(x?)
следует, что
w? – c?(x?) > w?–1 – c?–1(x?–1) + c?–1(x?) – c?(x?).
Поскольку из ограничения задачи (=) x?–1 > x?, а функция c?(x) – c?–1(x) возрастает, то
c?(x?–1) – c?–1(x?–1) > c?(x?) – c?–1(x?),
откуда
w? – c?(x?) > w?–1 – c?(x?–1).
*


Данная теорема (цепное правило) позволяет получить ряд свойств системы оптимальных
пакетов. В частности, из ограничений задачи (=)
- - - -
w? – c?(x?) = w?+1 – c?(x?+1)
и монотонности усилий
x? > x?+1.
--
следует, что w? < w?+1, то есть плата монотонна (не убывает по типу).
--
Напомним, что излишек, получаемый работником, называют информационной рентой.
Для работника типа ? она равна
- -
w? – c?(x?) (> 0).
Эта рента не возрастает по ?, поскольку
w? – c?(x?) = w?+1 – c?(x?+1) > w?+1 – c?+1(x?+1).
- - - - - -
Если для какого-то из типов информационная рента положительна, то для всех предыду-
щих типов она тоже положительна. Для работника n-го типа информационная рента равна
нулю. Рента нужна, чтобы работник не стал «притворяться», что его тип более высокий,
чем на самом деле (в обратную сторону претворяться не имеет смысла).
- -
Можем выразить {w?} через {x?} следующим образом:
- -
wn = cn(xn),
- - - - - - -
wn–1 = wn – cn–1(xn) + cn–1(xn–1) = cn(xn) – cn–1(xn) + cn–1(xn–1),
- -- -
и т.д. Получим зависимость w? = w?(x?, ..., xn). Общая формула имеет следующий вид
n

w?(x?, ..., xn) = ¤ (ck(xk) – ck–1(xk)) + c?(x?).
-
k=?+1

Таким образом, задача (=) сводится к следующей:

¤ µ?(x? – w?(x?, ..., xn)) > max {x }
- ?
???

x? > x?+1, ?? < n.
Объединяя слагаемые, являющиеся функциями от x?, получим эквивалентную запись этой
задачи:

609
610

¤ [µ?(x? – c?(x?)) – ??–1(c?(x?) – c?–1(x?))] > max {x } ?
???

x? > x?+1, ?? < n.
где мы ввели обозначение
?? = µ1 + ... + µ?.
Поскольку целевая функция задачи сепарабельна по {x?}, то в ситуации, когда ограниче-
ния монотонности усилий по типу x? > x?+1 несущественны, ее решение распадается на n
независимых друг от друга задач:
??–1
(c?(x) – c?–1(x)) > max x?X.
x – c?(x) –
µ?
--
Как мы видели, для случая 2 типов решения соответствующих задач x1, x2 всегда удовле-
творяют условию x1 > x2, однако в общем случае такого распадения задачи может не быть.
--
Следующий пример показывает, что в случае 3 типов работников ограничение x? > x?+1
может стать активным.


Пример 4.
Пусть на рынке труда, в дополнение к 2 типам работников, рассмотренным в Примере 3, с
функциями издержек
c1(x) = 0,5 x2, c2(x) = x2,
имеются также работники 3-го типа с функцией издержек
c3(x) = 1,5 x2.
Решение задачи
µ1 + µ2
(c3(x) – c2(x)) > max
x – c3(x) –
µ3
имеет вид:
1
- .
x3 =
3 + (µ1 + µ2)/µ3
Если доля работников 2-го типа, µ2, мала, то решение аналогичной задачи для работника
2-го типа может оказаться ниже:
1 1
,
<
2 + µ1/µ2 3 + (µ1 + µ2)/µ3
то есть разделяющий контракт не будет оптимальным. Это происходит при µ2 < µ1µ3. На-
пример, при µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x2 = 1/5 и x3 = 1/4.
- -
Чтобы получить уровни усилий, которые определяют оптимальный контракт в этом слу-
чае, следует решить задачу
µ2(x – c2(x)) – µ1(c2(x) – c1(x)) +
+ µ3(x – c3(x)) – (µ1 + µ2)(c3(x) – c2(x)) > max
или
x2
(µ2 + µ3) x – (2 + µ2 + µ3) 2 > max

610
611
откуда получаем следующие параметры объединяющего контракта:
µ2 + µ3
-- ,
x2 = x3 =
2 + µ2 + µ3
? µ + µ ?2
w2 = w3 = c3(x3) = 1,5 ? 2 3 ?
-- - .
? ?
?2 + µ2 + µ3?

-
Как и в Примере 3 x1 = 1, однако оплата будет другая:
? µ + µ ?2
? 3?
-- - -
2
w1 = w2 + c1(x1) – c1(x2) = 0,5 + .
? ?
?2 + µ2 + µ3?

При µ1 = 3/8, µ2 = 1/8, µ3 = 1/2 получим x2 = x3 = 5/21.
--
Записав для полной задачи, включающей ограничение x2 > x3, функцию Лагранжа и при-
равняв к нулю ее производные в найденном решении, можно убедится, что множитель
Лагранжа для данного ограничения равен
µ3µ1 – µ2
.
2 + µ2 + µ3
Таким образом, ограничение активно при µ2 < µ1µ3.
c3(x) c1(x)

c2(x)
-
w1




--
w2=w3 x
-
x1

?enoiie 143. Iaeaou, niioaaonoao?uea iauaaeiy?uaio eiio?aeoo aey 3 oeiia
?aaioieeia
?


Оптимальные контракты можно разделить на два класса:
x? > x?+1 ?? — все типы себя выявляют.
--
Разделяющие контракты:

??: x? = x?+1, w? = w?+1 — существуют кластеры (эффект группи-
-- - -
Объединяющие контракты:
рования типов (bunching) ). Работники нескольких разных типов делают одинаковые уси-
лия и получают одинаковую зарплату. Таким образом, рассмотренный пример описывает
случай группирования второго и третьего типа, т.е. случай (частично) объединяющего
контракта.
При дополнительных предположениях о поведении функций издержек в зависимости от
типа и усилий работника, а также формы функции распределения типов можно гаранти-
ровать, что оптимальный контракт является разделяющим.
Обозначим, как и выше,
d?(x) = c?+1(x) – c?(x).


611
612
Мы предположили, что d?(x) — возрастающие функции. Предположим дополнительно,
что d?+1(x) – d?(x) — тоже возрастающие функции.
В этом случае задача (=) эквивалентна следующей (получаемой из нее удалением огра-
ничений монотонности усилий x? > x?+1):

¤ µ?(x? – w?) > max {w , x }? ?
???
w? – c?(x?) = w?+1 – c?(x?+1), ?? < n, (;)
wn – cn(xn) = 0.
Таким образом, в этом случае задача составления оптимальных пакетов сводится к реше-
нию последовательности n независимых задач.


Теорема 4.
??–1
Предположим, что d?(x) и d?+1(x) – d?(x) возрастают по x ?? и возрастает по ?. То-
µ?
гда задачи (;) и (=) эквивалентны.
Доказательство.
-
Для доказательства утверждения достаточно показать, что решения {x?} задач
??–1
??(x) = x – c?(x) – d (x) > max x?X.
µ? ?–1
удовлетворяют опущенным ограничениям (монотонности).
Поскольку x? максимизирует ??(x), а x?+1 максимизирует ??+1(x), то выполняются нера-
- -
венства
??(x?) >??(x?+1)
- -
и
??+1(x?+1) >??+1(x?).
- -
Сложив эти неравенства, после преобразований получим:
??–1 ? ??–1
[d?(x?) – d?–1(x?)] + (1 + ? – )d?(x?) >
- - -
µ? µ?+1 µ?
??–1 ? ??–1
[d?(x?+1) – d?–1(x?+1)] + (1 + ? –
> - - -
)d?(x?+1).
µ? µ?+1 µ?
Поскольку в предположениях теоремы функция
??–1 ? ??–1
[d?(x) – d?–1(x)] + (1 + ? – )d?(x)
µ? µ?+1 µ?

<< Предыдущая

стр. 143
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>