<< Предыдущая

стр. 144
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

является возрастающей, то x? > x?+1.
--
*




612
613
Если к сделанным предположением добавить предположение о дифференцируемости
--
функций, то можно доказать, что x? > x?+1 для внутренних решений. По условиям первого
порядка
??–1
?- ?- d? –1(x?) = 0.
??(x?) = 1 – c?(x?) – -
µ? ?
??
?- ?- ?-
??+1(x?+1) = 1 – c?+1(x?+1) – d?(x?+1) = 0.
µ?+1
-- -
Пусть x? = x?+1 = x. Тогда
??–1
??
?- ?- ?- ?- ?- d? –1(x) = 0
??+1(x) – ??(x) = c?+1(x) – c?(x) + -
d?(x) –
µ? ?
µ?+1
или
? ?? ??–1? ??–1
?- ?- ?-
?1 + ?d?(x) +
– (d?(x) – d?–1(x)) = 0.
µ?+1 µ? ? µ?
?
?? ??–1
?- ?- ?-
, d?(x) > 0, и d?(x) – d?–1(x) > 0, то левая часть положительна. Получили
Поскольку >
µ?+1 µ?
противоречие, т.е. x? ? x?+1.
--

Модель найма с асимметричной информацией при монопольном положении
нанимателя: общий случай
˜
Предположим, что результат усилий x?X работника — доход y(x), представляющий со-
бой случайную величину, распределение которой (Fx) зависит от x, но не зависит от типа
(Fx? = Fx ??). Будем считать, что ожидаемый доход y(x) = Ex y(x) — монотонно возрас-
˜
тающая вогнутая функция уровня усилий, причем y(0) = 0.
Предположение о независимости распределения дохода от типа существенно упрощает
анализ, поскольку в этом случае величина дохода не дает нанимателю информации о типе
работника. При этом предположении естественно считать, что контракт — это функция
˜
только от усилий, но не от y: w = w(x).
Наниматель имеет право претендовать на весь доход (за вычетом оплаты по контракту).
Поэтому при данном уровне усилий x нейтральный к риску наниматель максимизирует
ожидаемую прибыль
˜
Ex(y(x) – w(x)) = y(x) – w(x),
где w(x) — оплата уровня усилий x работника.
Пусть задано распределение вероятностей для типов работников. Например, в дискретном
случае, описанном выше, оно определяется указанием вероятности µ? для работника каж-
дого типа ?. Если работник типа ? осуществляет усилия x?, то с точки зрения нанимателя
усилия — это случайная величина. (В дискретном случае — это дискретная случайная
величина, принимающая значение x? с вероятностью µ?). Таким образом, выигрыш нани-
мателя равен следующей величине:
˜
E?[Ex (y(x?) – w(x?))]
?



или, учитывая предположение независимости функции распределения дохода от типа ра-
ботника,

613
614
E?[y(x?) – w(x?)].
Предполагаем, что функция полезности работника любого типа сепарабельна по деньгам
и усилиям:
u?(x, w) = v?(w) – c?(x),
где, как и выше, v?(w) — полезность оплаты w, а c?(x) — тягость усилий x для работника
типа ?. Мы будем предполагать, что v?(w) — возрастающая вогнутая функция, а c?(x) —
возрастающая выпуклая функция.
Разные типы работников характеризуются разной формой функций v?(w) и c?(x). Каждый
тип работников характеризуется уровнем резервной полезности u0?, заданной экзогенно.
Модель найма со скрытой информацией можно представить как динамическую игру с не-
полной информацией. Последовательность ходов в этой игре следующая:
0. «Природа» выбирает тип работника.
1. Наниматель, не зная типа, предлагает контракт w(?).
2. Работник (зная свой тип) решает, подписывать контракт или нет.
3. Если работник подписывает контракт, то он (зная свой тип) выбирает уровень усилий x.
˜
4. «Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом «генерирует» y(x).


Природа
???


Наниматель w(?)
Работник


?0 ? x?
? u0 ?
Природа
[Fx] ˜
y
? y(x?) – w(x?) ?
˜
? v?(w(x?)) – c?(x?) ?

?enoiie 144. I?aanoaaeaiea iiaaee iaeia ni ne?uoie eioi?iaoeae a aeaa aa?aaa
Будем анализировать эту игру, используя обратную индукцию.
Уровень усилий x?, выбираемый работником типа ?, является решением задачи
*



v?(w(x)) – c?(x) > max x?X .
В дальнейшем мы будем предполагать, что наниматель может выбирать только такие кон-
тракты, для которых эта задача имеет решение.




614
615

v(w(x))


c2(x)
c1(x)


x
* *
x2 x1

?enoiie 145. Auai? iioeiaeuiuo aaenoaee ?aaioieeaie aaoo ?aciuo oeiia
Далее работник типа ? сравнивает значение этой задачи — уровень полезности, которую
ему обеспечивает данный контракт, своей резервной полезностью и решает, подписывать
ли ему контракт. Работник подписывает контракт, если

max x?Xv?(w(x)) – c?(x) > u0?.
Предположим, что v?(w) = w226.
Это условие позволяют записать задачу работника в более простом виде:

w(x) – c?(x) > max x?X ,
где c?(x) теперь обозначает величину c?(x) + u0?.
Поскольку ожидаемый доход y(x) — монотонная функция усилий, то можно измерять
уровень усилий непосредственно величиной ожидаемого дохода. Таким образом, без ог-
раничения общности будем считать, что уровень усилий измеряется величиной ожидаемо-
го дохода, т.е. y(x) = x.
Обозначим через I?(?) индикаторную функцию, которая принимает значение 1, если усло-
вие в скобках выполнено, и 0 в противном случае.
В этих обозначениях задача нанимателя по выбору оптимального контракта имеет сле-
дующий вид:

E? = E[I(w(x) – c?(x) > 0)(x? – w(x?))] > max w(?)
* *



w(x?) – c?(x?) > w(x) – c?(x), ?x ? X, ?? ? ?,
* *


В случае, если существует конечное число типов работников, можно решать эту задачу
перебором. При этом выделяется подмножество типов работников, для которых выполне-
но ограничение участия. Для каждого такого подмножества решается эта задача, допол-
ненная соответствующими ограничениями участия/неучастия и находится значение ожи-
даемой прибыли в максимуме. Затем находится то подмножество, для которого такая
ожидаемая прибыль максимальна.
Если для рассматриваемых работников выполнено условие возрастания издержек по ?, —
c?(x) >c?(x) (?x ? X) ? ? > ?, —
то перебор можно сократить, поскольку условия найма, выгодные для работников типа ?,
окажутся таковыми и для работника типа ? при ? < ?, т.е.

226
Анализ в общем случае мы предлагаем читателю проделать самостоятельно.
Его можно провести двумя способами: несколько модифицировать анализ, проведенный в тексте или про-
извести соответствующую замену переменных.

615
616
w(x) – c?(x) > 0 ? w(x) – c?(x) > 0.
Кроме того, из того, что работнику типа ? безразлично, подписывать контракт или нет,
следует, что выполняется ограничение неучастия для работника типа ? при ? > ?, т.е.
w(x) – c?(x) = 0 и ? > ? ? w(x) – c?(x) < 0.
Из этих рассуждений следует, что можно рассматривать задачи, в которых подписывают
контракт только работники с ? меньше некоторого порогового значения, причем ограни-
чения неучастия для остальных типов работников можно не учитывать. Это позволяет без
потери общности ограничится анализом случая, когда наниматель предлагает контракт,
который выгодно подписать работнику любого типа, т.е. когда подмножество типов ра-
ботников, для которых выполнено ограничение участия, совпадает со всем множеством ?.
Проанализируем такой случай. Ему соответствует следующая задача:

E? = E(x? – w(x?)) > max w(?)
* *



w(x?) – c?(x?) > w(x) – c?(x), ?x ? X, ?? ? ?,
* *


w(x?) – c?(x?) > 0 , ?? ? ?.
* *


Как и в модели с наблюдаемыми действиями, мы предполагаем, что работник выбирает те
действия, которые выгодны нанимателю, поэтому можно считать, что наниматель сам
*
выбирает усилия x?:

E? = E(x? – w(x?)) > max w(?), {x }
* *
*
?



w(x?) – c?(x?) > w(x) – c?(x), ?x ? X, ?? ? ?,
* *
(>)
w(x?) – c?(x?) > 0, ?? ? ?.
* *


Эта задача имеет бесконечно много решений. Для того чтобы охарактеризовать все ее ре-
шения, мы воспользуемся вспомогательной задачей, в которой рассматриваются только
*
точки {x?}? и значения функции w(?) в этих точках. При этом в ограничении совместимо-
*
сти стимулов множество всех возможных действий X заменяется на множество {x?}?.
Упростим обозначения: пусть x? — усилия, которые, как планирует наниматель, должен
осуществлять работник типа ?, а w? — соответствующая зарплата. Пары (x?, w?) будем
называть, как и выше, пакетами. Получаем следующую вспомогательную задачу поиска
оптимальных пакетов:

E? = E(x? – w?) > max {w , x }
? ?



w? – c?(x?) > w? – c?(x?), ??, ? ? ?,
w? – c?(x?) > 0, ?? ? ?.
Выше мы проанализировали данную задачу.
Если издержки от усилий c?(?) ведут себя неким регулярным образом в зависимости от ?,
то рассматривая эту упрощенную задачу мы не теряем существенную информацию отно-
сительно оптимальных контрактов. На основе любого ее решение можно построить функ-
цию w(?) так, что w? = w(x?) , ?? ? ?, причем w(?), {x?}? составляют оптимальный кон-
тракт (обеспечивают максимум в задаче (>) ). И наоборот, если w(?), {x?}? — оптималь-
ный контракт (решение задачи (>) ), то соответствующие пары (w(x?), x?) являются ре-
шениями вспомогательной задачи.



616
617
--
Покажем, что любой набор оптимальных пакетов {w?, x?} можно реализовать как кон-
тракт (обуславливающий выбор работниками всех типов уровней усилий, соответствую-

<< Предыдущая

стр. 144
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>