<< Предыдущая

стр. 145
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

щих заданиям «их» пакета). Простейший способ сделать это — реализовать данный набор
пакетов как пакетный контракт, т.е. контракт следующего вида:
- -
? w, x < xn,
?
w(x) = ? w?, x ? [x?, x?–1), ? > 1,
- --
? w1, x > x1.
?- -
-
где w — достаточно малое число.
Заметим, что работнику типа ? при таком контракте выгодно выбрать усилия x?, гаранти-
-
рующие оплату w?: любому x ? (x?, x?–1) он предпочитает x = x?, а x? для него не хуже x?.
- -- - - -



-
w1
c3(x)

-
w2
-
w3
x
-
w
- -
- x2 x1
x3

?enoiie 146. Iioeiaeuiue iaeaoiue eiio?aeo aey 3 oeiia ?aaioieeia
Покажем, что этот контракт оптимален. Пусть это не так, то есть существует другой до-
˜
пустимый контракт w(?), который обеспечивает нанимателю более высокую прибыль.
Пусть при этом контракте работник типа ? выбирает усилия x?. Тогда пакеты {w?, x?}, где
˜ ˜˜
˜ ˜˜
w? = w(x?), являются допустимыми в задаче нахождения оптимальных пакетов (<). Это
--
противоречит оптимальности пакетов {w?, x?}.
Наоборот, любой оптимальный контракт w(?) и соответствующие ему уровни усилий
x? ? argmax{w(x) – c?(x)}
*


* *
определяют набор оптимальных пакетов {w(x?), x?}. Действительно, если эти пакеты не-
оптимальны, то существуют другие допустимые в задаче (<) пакеты, обеспечивающие
нанимателю большую прибыль. Однако эти альтернативные пакеты можно реализовать
как пакетный контракт.
Вообще говоря, по данному набору оптимальных пакетов оптимальный контракт w(?)
можно построить бесконечным числом способов. Требуется, чтобы функция w(?) прохо-
дила через точки (x?, w?), но не пересекала бы соответствующие кривые безразличия ра-
ботников (лежала выше их).
Заметим, что функция w(?) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функ-
ции издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде ли-
нейного контракта w(x) = a + bx: точки (x?, w?) могут не лежать на одной прямой, кроме
того, при строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать
прямую, проходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной пря-
мой. Более того, как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией.


617
618
Задачи
26. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неиз-
вестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной
другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работ-
ник какого из типов выбирает уровень усилий более низкий, чем в случае, когда типы на-
блюдаемы?


27. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неиз-
вестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной
другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работ-
ник какого из типов получит излишек полезности по сравнению с резервной полезностью?


28. Рассматривается стандартная задача выбора оптимального контракта с двумя неиз-
вестными типами работников (производная издержек одного всюду выше производной
другого); предлагается два объема работы и два соответствующих уровня оплаты. Работ-
ник какого из типов выбирает уровень усилий такой же, как и в случае, когда типы на-
блюдаемы?


29. В модели найма со скрытой информацией предположим, что издержки усилий работ-
ника типа t равны ct(x) = tx2, где t = 1, 2, и ?1 = ?2, где ?t — доля работников типа t.
Определите характеристики контракта по найму этих двух типов работников (оптималь-
ный уровень усилий, обусловленное контрактом вознаграждение для каждого типа работ-
ников).


30. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2, работника 2-го типа —
c1(x) = ?x2, причем доли работников обоих типов одинаковы.
Определите характеристики оптимального контракта.


31. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2, работника 2-го типа —
c1(x) = 2x2.
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников
первого типа.


32. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = x2, работника 2-го типа —
c1(x) = 2x2, причем доли работников обоих типов одинаковы.
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от резервной полез-
ности работников 1-го типа, в предположении, что резервная полезность работников 2-го
типа равна нулю.


33. Заказчик нанимает подрядчика для производства некоторого блага. Ценность каждой
единицы этого блага для заказчика равна 8. Подрядчик с вероятностью 1/3 может оказать-
618
619
ся имеющим функцию полезности u1 = 12 + w – Q, и с вероятностью 2/3 — имеющим
функцию полезности u2 = 5 + w – Q, где w — величина денежного дохода подрядчика, а Q
— это стоимость произведенных благ. Резервный уровень полезности подрядчика любого
типа равен u0 = 1.
Найдите оптимальный контракт вида {(Q1, w1), (Q2, w2)} в условиях асимметричной ин-
формации (заказчик не различает подрядчиков).


34. В модели найма со скрытой информацией с n типами работников (? = 1, ..., n) покажи-
1
те, что если µ? = n, и c?(x) = ?c(x), где c(x) — возрастающая выпуклая функция, то ограни-
чение монотонности усилий несущественно, т.е. задача определения оптимального кон-
тракта распадается на n независимых задач.


35. Пусть в модели найма со скрытой информацией c?(x) = ?x, функция дохода y(x) тако-
ва, что предельный доход положителен и убывает. Предположим, что решение задачи по-
--
иска оптимальных пакетов (x?, w?) является внутренним, причем все типы работников
подписывают контракт.
(A) Покажите, что если имеется два типа работников, ?1 и ?2, причем ?1 < ?2, то уровни
усилий удовлетворяют соотношениям
µ1
? ??
y?(x2) = ? 2 + (? – ? ),
-
µ2 1 2
а
?
y?(x2) = ? 1.
-
(B) Покажите, что если имеется три типа работников, ?1, ?2 и ?3, причем ?2 – ?1 = ?3 – ?2 > 0,
то ограничение монотонности усилий является существенным тогда и только тогда, когда
µ2 < µ1µ3. Вычислите оптимальные пакеты для случая, когда µ2 < µ1µ3 и µ2 > µ1µ3.
(С) Покажите, что если имеются n типов работников, причем
?i – ?i–1 = ?i+1 – ?i > 0,
то достаточным условием несущественности ограничения монотонности усилий является
неубывание отношения
µ1 + ... + µi–1
.
µi
Покажите, что это достаточное условие, вообще говоря, не является необходимым.


36. Пусть в модели найма со скрытой информацией допустимые усилия задаются услови-
ем x > 0, функция дохода y(x) обладает следующими свойствами:
(1) y?(x) > ? при x > 0;
(2) y?(x)x > 0 при x > 0,
и существуют работники двух типов, издержки усилий которых линейны (c?(x) = ?x). До-
кажите, что наниматель наймет работников обоих типов, т.е. x? > 0 ??.
-


619
620
37. Рассмотрим ситуацию ценовой дискриминации следующего типа Единственный про-
изводитель и продавец частного блага, производство которого характеризуется постоян-
ными издержками. сталкивается с двумя типами покупателей этого блага, оценками кото-
рых имеют вид
v?(x) = ? x , ? = 1, 2.
Покупатели двух типов встречаются с вероятностями µ и 1 – µ соответственно. Проинтер-
претируйте эту модель как модель найма и найдите оптимальный контракт. Проделайте то
же самое для трех типов покупателей.


38. В модели найма со скрытой информацией с двумя типами работников предположим,
что издержки усилий работника 1-го типа равны c1(x) = 0,5 x2, работника 2-го типа —
c1(x) = x2. Пусть контракт ищется среди линейных по усилиям схем (базовая заработная
плата плюс премия за усилия, пропорциональная величине усилий).
Определите характеристики оптимального контракта в зависимости от доли работников
первого типа. Сравните с оптимальным пакетным контрактом.


39. На рынке страховых услуг имеются два типа страхователей — с низкой или высокой
вероятностью µ? наступления страхового случая — потери актива ценностью K рублей.
Во всех других аспектах они одинаковы — каждый обладает каждый богатством W
(включая рассматриваемый актив) и его предпочтения характеризуются функцией ожи-
даемой полезности с элементарной функцией v(w) = ln(w).
На рынке страховых услуг имеется только одна страховая компания
(А) Сформулируйте задачу страховой компании и проинтерпретируйте ее как модели
найма со скрытыми типами.
(Б) Каким окажется выбранный страховой контракт, в случае симметричной информации,
т.е. в условиях, когда страховая знает тип страхователя?
(В) Каким окажется выбранный страховой контракт, в случае асимметричной информа-
ции, т.е. в условиях, когда страховая знает только распределение вероятностей типов
страхователя?
(Г) Предположим, что на рынке существует несколько страховых компаний. Какие стра-
ховые контракты предложат в этом случае страховые фирмы?

Модель найма со скрытой информацией: конкуренция среди
нанимателей
В этом параграфе мы откажется от сделанного ранее предположения о монопольном по-
ложении нанимателя и будем считать, что существует по крайней мере два нанимателя,
предлагающие контракты работникам, тип которых они не наблюдают.
Будем считать, что другие характеристики ситуации найма остаются без изменения. В
частности, как и раньше, будем предполагать, что результат усилий работника не зависит
от его типа. Это предположение позволяет рассматривать контракты, обуславливаемые
только уровнем усилий (но не результата).
В этой случае игра имеет вид:
0. «Природа» выбирает тип работника.


620
621
1. Наниматель j, не зная типа, предлагает ему контракт wj(?), причем все наниматели вы-
бирают контракт одновременно.
2. Работник (зная свой тип) решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подпи-
сывать, то какой из двух.
3. Если работник подписывает j-й контракт, то он (зная свой тип) выбирает уровень уси-
лий x.
Природа
???


Наниматель 1 w1(?)

Наниматель 2 w2(?)
Работник

?0?
?0?
?0? x2?
x1?

? x2? – w2(x2?) ?
? x1? – w1(x1?) ?
? w2(x2?) – c?(x2?) ?
? ?
0
? ?
? w1(x1?) – c?(x1?) ? 0


?enoiie 147. I?aanoaaeaiea iiaaee iaeia ni ne?uoie eioi?iaoeae i?e
eiieo?aioee iaieiaoaeae a aeaa aa?aaa
Охарактеризуем возможные равновесия данной игры — равновесные контракты модели
найма при конкуренции нанимателей, — ограничившись характеристикой равновесных
пакетов.
Полную игру для целей анализа заменим следующей упрощенной игрой:
0. «Природа» выбирает тип работника.
1. Наниматели одновременно предлагают работнику пакеты (wj?, xj?).
2. Работник решает, подписывать ли ему контракт или нет, и если подписывать, то какой
из пакетов выбрать.
Мы опускаем формальное доказательство того, что описанные игры в определенном
смысле эквивалентны. Такое доказательство можно построить, пользуясь идеями преды-
дущего параграфа.
Будем предполагать в дальнейшем, что равновесие в игре таково, что в нем работник обя-
зательно подписывает один из предложенных контрактов (ограничение участия выполне-
но).
Анализируя такую игру с использованием обратной индукции, получим, что равновесные

<< Предыдущая

стр. 145
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>