<< Предыдущая

стр. 146
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

--
пакеты (xj?, wj?) характеризуются следующими свойствами:
¦ Работник выбирает (из всех пакетов всех нанимателей) пакет (wj?, xj?), дающий ему
-
максимальную полезность:
wj? – c?(xj?) > wi? – c?(xi?), ??, ? ? ?, ?i = 1, 2.
- - - -
При использовании обратной индукции в этом месте возникает неоднозначность в случае,
когда работнику безразлично, пакет какого нанимателя выбрать. Сделаем предположение
(аналогичное предположению модели Бертрана), что в этом случае работник использует
смешанную стратегию, выбирая нанимателей с одинаковой вероятностью.
621
622
¦ Наниматель j предлагает набор пакетов (wj?, xj?), дающий ему максимальную ожидае-
--
мую прибыль при данном наборе пакетов конкурента.
Для того чтобы упростить анализ, будем предполагать, что функции издержек строго вы-
пуклы.
Прежде, чем рассмотреть модель с ненаблюдаемыми типами, проанализируем ситуацию,
когда тип работника известен работодателю. Покажем, что в этом случае решение игры
--
(равновесные пакеты (wj?, xj?)) имеет вид:
- -^
xj? = x? = x?,
- --
wj? = w? = x?,
где
^
x? = argmax{x – c?(x)},
Доказательство этого факта проведем в 2 этапа. Во-первых, покажем, что прибыль каждо-
го нанимателя от найма работника любого типа равна нулю. Пусть это не так, и существу-
ет наниматель (например, j = 1) и тип работника, такие что от сделки с этим работником
этот наниматель получает положительную прибыль (?1 > 0). Здесь может быть два случая:
(1) 2-й наниматель предлагает невыгодный работнику контракт и, следовательно, получа-
ет нулевую прибыль и (2) работник безразличен между предлагаемыми двумя контракта-
ми. Во втором случае оба нанимателя получают одинаковую положительную прибыль
(?1 = ?2 > 0).
Тогда 2-й наниматель мог бы предложить этому работнику пакет с тем же уровнем уси-
лий, но несколько более высокой оплатой. Работник тогда выбрал бы пакет, предлагаемый
2-м нанимателем, который получил бы при этом прирост прибыли. В случае (1) в первом
приближении прибыль станет равной ?1, а в случае (2) — 2?1 = 2?2.
Таким образом, в исследуемом равновесии прибыль каждого нанимателя от найма работ-
ника любого типа равна нулю, и, следовательно, оплата усилий равна производимому ра-
ботником доходу:
- -
wj? = xj?.
Во-вторых, покажем, что наниматели предлагают работнику типа ? пакет, обуславли-
вающий уровень усилий
- -^
xj? = x? = x?.
--
Действительно, если это не так и, например, первый наниматель предлагает пакет (wj?, xj?)
такой, что
? = (x? – c?(x?)) – xj? – c?(xj?) > 0.
^ ^ - -
Но тогда пакет (x? – ?/2, x?) предпочитается работником типа ? и дает предложившему
^ ^
--
ему нанимателю более высокую прибыль, чем (wj?, xj?). Но такая ситуация не может воз-
никнуть при равновесии.
Поскольку каждая из рассматриваемых задач имеет единственное решение при строгой
выпуклости издержек, то в равновесии все фирмы предлагают работнику каждого из ти-
пов ? одинаковые контракты: xj? = x? ?j.
- ^




622
623
- -
c3(x)+x3–c3(x3)

- -
c2(x)+x2–c2(x2)
-^
w3=x1
-^
w2=x2

-^
w1=x3

- -
c1(x)+x1–c1(x1)
x
-^-^
-^ x2=x2 x3=x3
x1=x1

?enoiie 148. ?aaiiaaniua iaeaou i?e iaae?aaaiinoe oeiia, 3 oeia ?aaioieeia
Сравнивая это решение с монопольным случаем, отметим, что равновесные пакеты в дан-
ном случае характеризуются тем же объемом усилий, но более высокими уровнями опла-
ты. Мы предполагаем здесь, что рассматривается случай, когда оптимальный «монополь-
ный» пакет дает нанимателю положительную прибыль.
Равновесие оказывается оптимальным по Парето, поскольку благосостояние

W = ¤ µ?(x? – c?(x?))
???

в нем достигает максимума.
^^
Покажем, что эти же пакеты (x?, x?) составляют единственное равновесие при ненаблю-
даемости типов. Докажем, что это равновесие. Во-первых, для этих контрактов выполне-
ны условия совместимости стимулов, т.е.
w? – c?(x?) > w? – c?(x?), ??, ? ? ?,
- - - -
поскольку в данном случае они имеют вид
x? – c?(x?) > x? – c?(x?), ??, ? ? ?.
^ ^ ^ ^
^
Справедливость неравенства следует из определения x?.
Во-вторых, ни одна из фирм не может предложить систему пакетов, которая дала бы ей
положительную ожидаемую прибыль. Пусть это не так. Тогда эта альтернативная система
пакетов содержит пакет, для которого прибыль положительна, и работник одного из ти-
пов, например ?, получает от этого пакета более высокую полезность, чем от пакета (x?, x
^^
?). Этого быть не может, поскольку сумма прибыли фирмы и полезности работника этого
^ ^
типа от любого пакета (w, x) составляет величину x – c?(x), не превышающую x? – c?(x?)
^
по определению x?.
Осталось показать, что других равновесий нет.
Ограничимся анализом ситуации с двумя типами работников и двумя нанимателями.
Как и в ситуации с единственным нанимателем, мыслимы два типа равновесий: разде-
ляющие равновесия и объединяющие равновесия. Таким образом, мы должны показать,
что в данной ситуации объединяющих равновесий не существует, а любое разделяющее
равновесие совпадает с описанным равновесием (равновесием при наблюдаемости типов).
Установим сначала ряд свойств равновесий в ситуации с ненаблюдаемыми типами.


623
624
¦ Если пакеты (wj?, xj?) являются равновесными, то ожидаемая прибыль каждого нанима-
--
теля равна нулю.
Во-первых, в равновесии ожидаемая прибыль каждого нанимателя неотрицательна, по-
скольку он всегда может предложить непривлекательные пакеты и получить по крайней
мере нулевую прибыль.
Во-вторых, все выбираемые любым типом работников ? пакеты равнопривлекательны как
для этих работников, так и для предложивших их нанимателей. То, что они равнопривле-
кательны для работников очевидно. Равнопривлекательность для нанимателей следует из
того, что если один из нанимателей получает более низкую прибыль от сделок с работни-
ками типа ?, чем другой, то он мог бы предложить работникам этого типа пакеты своего
конкурента. При этом условия самовыявления не нарушаются, поскольку для работников
других типов предпочтительны другие пакеты.
Пусть один из нанимателей, например первый, получает положительную прибыль ?1,
причем ?1 > ?2. Обозначим через (w?, x?) — пакет (один из пакетов, если их несколько),
--
который выбирают работники типа ?. Тогда 2-й наниматель может предложить пакеты (w -
? + ?, x?), где ? > 0. Каждый из них более привлекателен для работника соответствующего
-
типа ?, чем (w?, x?), причем ограничения самовыявления не нарушаются. Этот набор паке-
--
тов при достаточно малом ? дает нанимателю 2 типа более высокую прибыль (близкую к
?1 + ?2). Следовательно, такие пакеты не могут быть равновесными.
¦ В равновесии прибыль каждого нанимателя от сделки с каждым работником равна ну-
--
лю, т.е. для любого пакета, который выбирается работниками выполнено wj?= xj?. Предпо-
ложим, что это не выполнено для одного из нанимателей. Тогда существует хотя бы один
пакет, дающий этому нанимателю положительную прибыль. В этом случае этот нанима-
тель мог бы заменить все пакеты на этот и получить положительную прибыль.
Используя полученные свойства равновесия докажем сформулированное выше утвержде-
ние о единственности равновесия. Пусть это не так и существует равновесие, такое что
xj? ? x?.
- ^
где, как и в случае наблюдаемости типов,
^
x? = argmax{x – c?(x)}.
Обозначим
? = x? – c?(x?) – (xj? – c?(xj?)).
^ ^ - -
Тогда ? > 0 и пакет (x? – ?/2, x?) более предпочтителен для работника типа ?, и дает нани-
^ ^
мателю j положительную прибыль. При этом прибыль от сделок с любыми другими ра-
ботниками не может уменьшиться, поскольку в равновесии прибыль от любого пакета
равна нулю.
^^
Таким образом, равновесные пакеты имеют вид (x?, x?), ненаблюдаемость типов в этом
простом случае не влияет на структуру равновесия. Это равновесие будет Парето-
оптимальным.
Отметим близкую аналогию данной модели и свойств равновесия с моделью олигополи-
стической конкуренции Бертрана.
Заметим также, что фактически наниматели в данном случае используют линейный кон-
тракт вида w(x) = x, т.е. работник получает полностью доход, который он производит.


624
625
Задачи
40. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется два нанимателя и n типов
работников с функциями издержек c?(x) = ?x2. Вычислите равновесные пакеты.


41. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется более двух нанимателей.
Охарактеризуйте все равновесия.


42. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется два нанимателя и два типа
работников с функциями издержек c?(x) = ?x2 и производительностями y(x) = x/?.
(1) Покажите, что в равновесии любого типа прибыль от сделки любого нанимателя с ра-
ботником любого типа равна нулю.
(2) Покажите, что не существует объединяющих равновесий.
(3) Покажите, что если существует разделяющее равновесие, то пакет для работников ? = 2
совпадает с его пакетом при наблюдаемости типов, а для ? = 1 определяется условием са-
мовыявления и равенством нулю прибыли от сделки с ними.
(4) При каких условиях на доли работников разных типов равновесие существует. Вычис-
лите равновесные пакеты, когда эти условия выполнены.
(5) При каких условиях равновесие будет Парето-оптимальным?




625
626


Приложение: Элементы теории некооперативных
игр
Введение
Теория игр анализирует принятие решений экономическими субъектами (называемыми, в
соответствии с установившейся традицией, игроками) в ситуациях, когда на результат
этих решений оказывают влияние действия, предпринимаемые другими экономическими
субъектами. Такие ситуации принято называть играми.
В настоящее время теория игр проникла практически во все области экономической тео-
рии — в экономику общественного сектора, экономику труда, в теорию отраслевых рын-
ков, международную экономику, макроэкономику и т.д. Как оказалось, исследователи,
занимавшиеся моделированием экономических и социальных явлений, предлагали реше-
ния, которые совпадают с теми или иными концепциями равновесия современной теории
игр, еще до того, как эти концепции были сформулированы в явном виде и вошли в инст-
рументарий теории игр. Приведем лишь несколько примеров: модели олигополии (А.
Курно, Ж. Бертран, Г. Штакельберг), модель рынка «лимонов» (Дж. Акерлов), модель
сигнализирования на рынке труда (М. Спенс), анализ аукционов в условиях неполной ин-
формации (У. Викри). Это совпадение не является чем-то случайным. Фактически предла-
гаемые решения оказывались естественным обобщением лежащих в основе современной
неоклассической теории понятия рационального поведения.
Неоклассическая экономическая теория опирается на логику, которой руководствуются
люди, осуществляя выбор в самых разных ситуациях повседневной жизни. Покупая те или
иные товары, поступая учиться в университет, голосуя за ту или иную партию, решая
вступить в брак и даже совершая преступления люди выбирают из двух или более альтер-
натив исходя из своих предпочтений. Другими словами, в основе неоклассической эконо-
мической теории лежит убеждение,227 что любой феномен общественной жизни следует
рассматривать как итог взаимодействия рациональных индивидуумов, выбирающих наи-
лучшие (с их точки зрения) альтернативы из тех, которые для них доступны в данной си-
туации.
Как правило, последствия решений, принимаемых одним экономическим субъектом, за-
висят от того, какие решения приняли, принимают или будут принимать другие. В ситуа-
циях, когда эти решения (влияющие на положение экономического субъекта) ему неиз-
вестны,228 естественно считать, что он делает предположения (формирует ожидания) от-
носительно того, какими эти решения могут быть. Тогда естественное обобщение рацио-
нального поведения — это оптимальные выборы экономических субъектов при данных
ожиданиях.
Однако предположений о рациональности в общем случае оказывается недостаточным
для того, чтобы предсказать, какие действия будут выбраны. Необходимо, таким образом,
сделать какие-то предположения относительно ожиданий. Следуя сложившейся в эконо-
мической теории практике, мы будем здесь анализировать равновесные ситуации — си-
туации, при которых ожидания экономических субъектов оказываются оправдавшимися,
т.е. ожидаемые ими действия других экономических субъектов совпадают с фактически
выбранными. Такой подход позволяет существенным образом сузить область возможных
решений.


227
так называемый методологический индивидуализм
228
например, решения остальных олигополистов в моделях Курно и Бертрана

626
627
Мы не стремились представить здесь сколько-нибудь развернутое изложение теории игр,

<< Предыдущая

стр. 146
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>