<< Предыдущая

стр. 147
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

какой она сложилась к настоящему моменту.229 Цель раздела скорее в том, чтобы дать
понятие об идеях и продемонстрировать возможности теории игр в моделировании ситуа-
ций, включающих стратегическое взаимодействие экономических субъектов.

Статические игры с полной информацией
Под статической игрой понимают такую игру, в которой все ее участники принимают ре-
шения не зная, какие именно решения принимают другие. Обычно в этом случае говорят,
что участники принимают решения одновременно, хотя сама по себе одновременность
принятия решений в данном случае не важна. Под играми с полной информацией понима-
ются такие игры, в которых каждый из игроков точно знает характеристики других игро-
ков.230

Нормальная форма игры
Альтернативные действия, которые может предпринять игрок, в контексте статических
игр с полной информацией, совпадают с тем, что в теории игр называется стратегиями, по
причинам, которые станут ясны из дальнейшего.
Приведем пример статической игры с полной информацией.


Игра 1.231 «b/K%! *%iCu?2a!=»
Двое знакомых одновременно выбирают, компьютеры какого типа им купить. Первый
предпочитает IBM PC, второй — Макинтош. Обладание компьютером любимого типа
первый оценивает в a (a > 0) некоторых условных единиц, а второй — в b (b > 0) условных
единиц. Полезность компьютера другого типа для обоих равна нулю. Каждый получает
дополнительную выгоду (c > 0), если они выберут одинаковые компьютеры, поскольку в
таком случае используемое ими программное обеспечение будет совместимым. (
Oaaeeoa 5
Игрок 2
? IBM Mac
c b
IBM a +c a
Игрок 1
0 b+c
Mac 0 c


В этом примере каждый из игроков (мы будем их называть «Игрок 1» и «Игрок 2») имеет
две стратегии, которые можно условно назвать «IBM» и «Mac». Описанную игру удобно
представить в виде таблицы (матрицы) 2?2. В игре имеется четыре исхода: (IBM, IBM),
(IBM, Mac) (Mac, IBM) и (Mac, Mac). Каждому исходу соответствует своя клетка табли-
цы; в этой клетке помещаются соответствующие выигрыши участников.232 Игры такого

229
В частности, мы не касаемся тем, относящимся к кооперативной теории игр.
230
Точный смысл терминов статическая игра и игра с полной информацией станет ясен из дальнейшего,
когда мы рассмотрим динамические игры и игры с неполной информацией (байесовские игры) соответст-
венно.
231
Игра представляет собой вариант известной игры «Battle of sexes» — «Борьба полов».
232
Мы будем использовать следующее соглашение при изображении матричных игр двух лиц. Игрок, чье
имя стоит слева, выбирает строки таблицы и его выигрыши записываются в левом нижнем углу каждой
клетки таблицы. Игрок, чье имя стоит сверху, выбирает столбцы таблицы и его выигрыши записываются в
627
628
рода, то есть игры с двумя участниками, каждый из которых имеет конечное число страте-
гий, принято называть матричными233 играми двух лиц.


В рассмотренном примере можно выделить три элемента:
@ множество игроков,
@ множество стратегий, которые могут выбрать игроки,
@ выигрыши игроков.
И в общем случае, чтобы задать статическую игру с полной информацией, требуется ука-
зать перечисленные элементы. Описание игры в виде такого набора называется нормаль-
234
ной формой игры. Можно сказать, предваряя дальнейшее, что это тот минимум, который
необходим для описания любой игры. В более сложных типах игр становятся важными и
другие аспекты анализируемой ситуации, такие как очередность ходов, информирован-
ность игроков, и т.д.
В дальнейшем, описывая общую статическую игру m лиц с полной информацией, будем
использовать следующие формальные обозначения для указанных элементов.
Множество игроков (множество участников) будем обозначать I:
I = {1,...,m}.
Множество возможных стратегий i-го игрока — или просто множество стратегий i-го иг-
рока — будем обозначать через Xi. Отдельную стратегию i-го игрока будем, как правило,
обозначать через xi. Совокупность стратегий всех игроков будем называть исходом игры.
Т.е. исход игры — это набор
x = (x1, ..., xm), где x ? X1 ? ??? ? Xm = X.
Будем предполагать, что у каждого из игроков есть своя целевая функция (в экономиче-
ской теории ее называют функцией полезности). Обозначим целевую функцию i-го игрока
через ui(?). Каждому исходу игры она сопоставляет некоторое действительное число —
выигрыш. Таким образом, в описании игры следует задать для каждого игрока i?I функ-
цию вида
ui : X &  .
Нормальная форма игры, в соответствии со сказанным выше, представляет собой набор
G = ?I, {Xi}I , {ui}I ?.




правом верхнем углу. При таком расположении проще понять где чья стратегия и где чей выигрыш. Свой
выигрыш всегда расположен ближе к игроку, чем выигрыш партнера.
233
точнее биматричными
234
Ее также называют стратегической формой игры. Впервые явная формулировка нормальной формы игры
была дана в основополагающей статье Джона фон Неймана (Von Neumann, J. (1928), "Zur Theorie der
Gesellschaftsspiele," Mathematische Annalen, 100, 295-320. Рус. пер. Дж. фон Нейман, К теории стратегиче-
ских игр, в сборн. "Матричные игры", под ред. Н. Н. Воробьева, М.: Физматгиз, 1961, 173-204. См. также
von Neumann, J., and O. Morgenstern (1944), Theory of Games and Economic Behavior. Princeton. Princeton Uni-
versity Press. Рус. пер. Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн, "Теория игр и экономическое поведение", М.:
Наука, 1970.)

628
629
В некоторых играх есть элемент случайности. Если на вероятности случайных событий не
влияют выборы, сделанные игроками, то принято говорить о случайных ходах природы.
Рассмотрим в качестве примера следующую игру.


Игра 2.
В игре участвуют пешеход и автомобилист. Каждый из игроков имеет две стратегии: про-
являть осторожность (A) и не проявлять осторожности (B). От выбранных стратегий зави-
сит вероятность дорожно-транспортного происшествия (автомобилист собьет пешехода).
Если оба ведут себя неосторожно, то вероятность происшествия равна 1/2, если только
один ведет себя неосторожно, то вероятность равна 1/10, а если оба осторожны, то веро-
ятность равна 1/100.
В случае, если произойдет столкновение, то ущерб пешехода составит 1000 у.е.,235 а
ущерб автомобилиста — 200 у.е. Кроме того, осторожное поведение на дороге связано для
обоих игроков с издержками в 100 у.е. (
Oaaeeoa 6
Автомобилист
A B
–102 –20
A –110 –200
Пешеход
–120 –100
B –100 –500


На примере Игры 2 рассмотрим, каким образом представить в нормальной форме игру,
включающую случайность. Для этого нам необходимо задать способ вычисления выиг-
рышей (все остальные элементы нормальной формы здесь уже указаны).
Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш — случайная
величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидае-
236
Предполагается, что в описании игры случайные выигрыши даны в таком
мый выигрыш.
виде, что можно рассчитать их математическое ожидание и использовать в качестве выиг-
рышей в нормальной форме игры. Таким образом, выигрыши выражены в некоторых ус-
ловных единицах (вовсе не обязательно денежных) и представляют некоторый абстракт-
ный уровень полезности для игрока при данном сочетании стратегий.
Пусть оба участника игры проявляют осторожность, то есть реализовался исход (A, A).
Если произойдет столкновение, то выигрыш пешехода составит (–1100), а выигрыш води-
теля — (–300). В противном случае выигрыш пешехода составит (–100), а выигрыш води-
теля — (–100). Ожидаемые выигрыши равны в этом случае:
1 99
? (–1100) + 100 ? (–100) = –110 — для пешехода,
100
1 99
? (–300) + 100 ? (–100) = –102 — для автомобилиста.
100


235
условных единиц
236
Здесь, как это обычно делается в экономической теории, предполагается, что определенные на лотереях
предпочтения каждого игрока удовлетворяют условиям, которые гарантируют существование представ-
ляющей их линейной функции полезности (имеется в виду линейность по вероятностям). См. Дж. фон Ней-
ман, О. Моргенштерн, "Теория игр и экономическое поведение", М.: Наука, 1970, П. Фишберн, "Теория игр
для принятия решений". М.: Наука, 1978.

629
630
Аналогичные вычисления нужно провести для трех других исходов. Рассчитанные выиг-
рыши представлены в Таблице 6.
Заметьте, что полученная нормальная форма игры не содержит информацию о случайных
ходах природы, их вероятностях и соответствующих случайных выигрышах.

Концепция доминирования
Задача теории игр — по данному описанию игры, предсказать, какие стратегии выберут
игроки и каким при этом будет исход игры, или, по крайней мере, сузить множество про-
гнозируемых исходов. В некоторых случаях предсказать исход игры можно однозначно,
если исходить из предположения о том, что каждый игрок рационален.
Пусть в Игре 1 (стр. 627) выгода от совместимости программного обеспечения сравни-
тельно мала, например, a = 2, b = 3, c = 1 (Таблица 7).
Oaaeeoa 7
Игрок 2
IBM Mac
1 3
IBM
3 2
Игрок 1
0 4
Mac
0 1
Тогда вне зависимости от того, какой компьютер выберет 2-й игрок, 1-му игроку выгодно
выбрать компьютер IBM PC, поскольку 3 > 0 и 2 > 1. Аналогично, 2-й игрок предпочтет
Макинтош, поскольку 3 > 1 и 4 > 0. В обоих случаях имеет место так называемое строгое
доминирование двух указанных стратегий: если стратегия A при любых действиях других
игроков дает больший выигрыш, чем стратегия B, то принято говорить, что стратегия A
строго доминирует стратегию B.

Дадим формальное определение строгого доминирования. Здесь и в дальнейшем мы бу-
дем применять обозначение x–i, что означает «все элементы вектора x, кроме i-го», т.е.
x–i = (x1, ..., xi–1, xi+1, xn).
При этом будем считать, что (xi, x–i).— это то же самое, что x.


Определение 1.
Стратегия xi ? Xi игрока i строго доминирует стратегию yi ? Xi, если при любых страте-
гиях, выбранных остальными игроками, x–i?X–i, выполнено
ui(xi, x–i) > ui(yi, x–i),

? Xj .
где X–i =
j?i




630
631

u1
Определение строгого доминирования можно наглядно
u1(x1, x2)
проиллюстрировать в случае двух игроков, множества
стратегий одного из которых — действительная прямая
(см. Рис 149). На рисунке стратегия x1 первого игрока
строго доминирует стратегию y1. Это выражается в том,
u1(y1, x2)
что график функции полезности этого игрока по стра-
x2
тегии x2 второго, соответствующий x1, лежит ниже
графика, соответствующего y1.
?enoiie 149. No?aoaaey x1
no?iai aiieie?oao no?aoaae?
y1.
Стратегия называется строго доминирующей, если она
строго доминирует любую другую стратегию.


Определение 2.
Стратегия xi ? Xi игрока i является его строго доминирующей стратегией, если при лю-
бых стратегиях, выбранных остальными игроками, x–i ? X–i, она дает игроку i больший
выигрыш, чем любая другая его стратегия yi ? Xi, т.е.
ui(xi, x–i) > ui(yi, x–i) ?x–i?X–i ?yi ? Xi: yi ? xi.


В соответствие с данным определением не может существовать более одной строго доми-
нирующей стратегии. Естественно ожидать, что рациональный игрок выберет именно та-
кую стратегию. Поэтому при наличии у каждого игрока строго доминирующей стратегии
исход игры может быть предсказан однозначно.


Предсказание исхода игры не столь однозначно, когда у каждого игрока имеется лишь так
называемая (слабо) доминирующая стратегия, обеспечивающая этому игроку не меньший
выигрыш, чем любая другая его стратегия при любых стратегиях других игроков. Приве-
дем определения (слабого) доминирования.


Определение 3.
Стратегия xi ? Xi игрока i (слабо) доминирует стратегию yi ? Xi (или, другими словами,
стратегия yi доминируется стратегией xi), если при любых стратегиях, выбранных ос-
тальными игроками, x–i?X–i, выполнено
ui(xi, x–i) > ui(yi, x–i),
?
и существует хотя бы один набор стратегий других игроков, x–i ? X–i, такой что
? ?
ui(xi, x–i) > ui(yi, x–i).




631
632

<< Предыдущая

стр. 147
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>