<< Предыдущая

стр. 148
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Слабое доминирование можно проиллюстрировать на
u1
графике, аналогичном тому, который мы использовали
u1(x1, x2)
для иллюстрации строгого доминирования. Стратегия
x1 первого игрока слабо, но не строго доминирует его
стратегию y1 (см. Рис. 150), поскольку график функции
полезности для x1 не везде строго выше, чем для y1.
u1(y1, x2)
x2


Определение 4.
?enoiie 150. No?aoaaey x1
(neaai) aiieie?oao no?aoaae?
Стратегия xi ? Xi игрока i является его (слабо) до-
y1.
минирующей стратегией, если при любых страте-
гиях, выбранных остальными игроками, x–i ? X–i,
она доминирует любую другую его стратегию, yi ? Xi, либо эквивалентна ей, т.е.
ui(xi, x–i) > ui(yi, x–i) ?x–i?X–i ?yi ? Xi.


Из определения следует, что если стратегия xi строго доминирует стратегию yi, то стра-
тегия xi доминирует стратегию yi. Кроме того, если стратегия является строго домини-
рующей, то она является доминирующей.


Определение 5.
Исход игры x* ? X является равновесием в доминирующих стратегиях, если стратегия
каждого игрока в этом исходе является его доминирующей стратегией.

Естественно ожидать, что если в игре существует равновесие в доминирующих стратеги-
ях, то именно оно будет реализовавшимся исходом игры. Следующая игра иллюстрирует
равновесие в доминирующих стратегиях.


Игра 3. «o=!e=ia…2“*%a a%e%“%"=…,a»
Парламент разделен на 3 фракции: «белые», «зеленые» и «красные». В каждой фракции
одинаковое количество членов. Проходит голосование по некоторому законопроекту. Ка-
ждая из фракций может проголосовать «за» или «против». Решение принимается боль-
шинством голосов. Зеленым и красным нравится законопроект, белым — нет. Если зако-
нопроект пройдет, то зеленые и красные получат выигрыш 1, а белые — –1, в противном
случае все получат 0. (




632
633
Oaaeeoa 8
Красные
За против
(A) Белые: за
–1 1 –1 1
за 1 1
Зеленые
–1 10 0
против 1 0

Красные
За против
(B) Белые: против
–1 10 0
за 1 0
Зеленые
0 00 0
против 0 0


Удобно представить исходы игры в виде двух таблиц А и Б (см. Таблицу 8). Белые выби-
рают между таблицей А и таблицей Б. Их выигрыши записаны в левом верхнем углу этих
таблиц.
Если зеленые проголосуют за, то вектор их выигрышей будет
(1 (за, за), 1 (за, против), 1 (против, за), 0 (против, против)).
В скобках указано, как голосуют другие фракции. Если же они проголосуют против, то
вектор выигрышей будет
(1 (за, за), 0 (за, против), 0 (против, за), 0 (против, против)).
Очевидно, что голосовать за законопроект является доминирующей стратегией зеленых.
То же самое можно сказать и о красных.
Белые имеют следующие выигрыши (при аналогичных предположениях о том как голо-
суют другие фракции):
за (–1, –1, –1, 0),
против (–1, 0, 0, 0).
Таким образом, голосовать против законопроекта является доминирующей стратегией
белых (хотя, заметим, эта стратегия не сможет им помочь выиграть).
Тем самым, в этой игре существует равновесие в доминирующих стратегиях. В нем зеле-
ные и красные голосуют «за», а белые — «против».


Приведем теперь пример игры с непрерывными стратегиями, в который есть равновесие в
доминирующих стратегиях.


Игра 4. «`3*o,%… b,*!,».237
?

Некий предмет продается с аукциона по следующим правилам. Каждый из участников
аукциона (i = 1, ..., n) подает в тайне от других свою заявку — предлагаемую им цену pi.
Побеждает участник, предложивший самую высокую цену, но платит он следующую по
порядку убывания цену. Если самую высокую цену предложат сразу несколько участни-
ков, то победитель определяется жребием. Если i-й участник окажется победителем, то

237
W. Vickrey (1961), "Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders", Journal of Finance, 16, 8-
37. Уильям Викри стал Нобелевским лауреатом по экономике за 1996г.

633
634
его выигрыш составит vi – p, где vi — ценность для него данного предмета, p — цена, ко-
торую он должен заплатить; выигрыш всех остальных участников будет равен нулю. (


Особенность аукциона Викри состоит в том, что «правдивая» стратегия является домини-
рующей стратегией для каждого участника. Под «правдивой» стратегией понимается
стратегия, заключающаяся в том, что участник называет цену, совпадающую с ценностью
для него данного предмета, (pi = vi). Проверим это. Проанализируем данную игру при
n = 2. (При большем количестве участников рассуждения будут аналогичными). Посколь-
ку участники входят в данную игру симметрично, то достаточно рассмотреть мотивацию
только одного из них, например, 1-го.
Вычислим сначала выигрыши 1-го игрока при разных исходах. Если 1-й участник назовет
более высокую цену, чем 2-й (p1 > p2), то он выиграет аукцион и заплатит p2. При этом его
выигрыш составит v1 – p2. Если 1-й участник назовет более низкую цену, чем 2-й (p1 < p2),
то он проиграет аукцион и получит выигрыш 0. Если цены совпадут (p1 = p2), то с вероят-
ностью 1/2 1-й участник выиграет и получит выигрыш v1 – p2, а с вероятностью 1/2 он
проиграет и получит выигрыш 0. Таким образом, его ожидаемый выигрыш составит (v1 –
p2)/2. Окончательно запишем функцию выигрыша 1-го участника:

?v –p, если p1 > p2
v 1 2
–p
u (p , p ) = ? 2 , если p1 = p2
1 2
1 1 2

? 0, если p1 < p2 .
Чтобы показать, что «правдивая» стратегия, p1 = v1, является доминирующей, нужно пока-
зать, что она дает не меньший выигрыш, чем любая другая стратегия. Следует рассмот-
реть 3 случая: p2 > v1, p2 = v1 и p2 < v1.
[p2 > v1] Если 2-й участник назовет цену, превышающую vi, то 1-му участнику не выгодно
выигрывать аукцион; его выигрыш (полезность) в этом случае был бы отрицательный, а в
случае проигрыша он получит 0. Поскольку в рассматриваемом случае при выборе «прав-
дивой» стратегии 1-й участник проиграет аукцион, то «правдивая» стратегия является од-
ной из оптимальных.
[p2 = v1] Если 2-й участник назовет цену, совпадающую с vi, то 1-й участник при любом
выборе получит 0. Значит, «правдивая» стратегия даст ему выигрыш не меньший, чем лю-
бая другая.
[p2 < v1] Если 2-й участник назовет цену, меньшую vi, то для 1-го участника выгодно вы-
играть аукцион, поскольку в этом случае его выигрыш будет положительным. «Правди-
вая» стратегия обеспечивает ему победу на аукционе, и приносит максимальный выиг-
рыш, v1 – p2.
Мы видим, что «правдивая» стратегия в самом деле является доминирующей для 1-го уча-
стника. Более того, как несложно увидеть, это единственная доминирующая стратегия.
Если он назовет цену ниже или выше своей оценки v1, то можно подобрать такую цену 2-
го участника, что 1-й участник потеряет по сравнению с p1 = v1.
Проведя аналогичные рассуждения для 2-го участника, мы сделаем вывод, что в этой игре
существует (единственное) равновесие в доминирующих стратегиях:
p1 = v1, p2 = v2.




634
635
Последовательное отбрасывание строго доминируемых стратегий
К сожалению, довольно часто бывает, что по крайней мере у одного из игроков нет строго
доминирующей стратегии или даже просто доминирующей стратегии. Иногда в таких иг-
рах исход можно предсказать однозначно, если дополнительно к рациональности предпо-
ложить, что каждый игрок знает цели партнеров и способен достаточно глубоко «просчи-
тать» их умозаключения.
Рассмотрим в Игре 1 случай, когда a < c < b. Пусть, к примеру, a = 1, c = 2, b = 3.
Если 2-й игрок выберет IBM, то 1-му игроку тоже выгодно выбрать IBM. Если же 2-й иг-
рок выберет Макинтош, то 1-му игроку будет выгодно выбрать Макинтош. Эти оптималь-
ные решения выделены в Таблице 9 подчеркиванием соответствующих выигрышей. Здесь
оптимальное для 1-го игрока решение будет зависеть от того, какое решение примет 2-й
игрок.
Oaaeeoa 9
Игрок 2
IBM Mac
2 3
IBM
3 1
Игрок 1
0 5
Mac
0 2
В этом и ему подобных случаях нельзя рассматривать мотивацию одного игрока, не рас-
сматривая мотивацию других игроков. Игрок, у которого нет доминирующей стратегии,
должен делать какие-то предположения о том, какие стратегии могут выбрать другие иг-
роки. Не специфицируя механизма формирования ожиданий, мы можем исходить из того,
что все такие механизмы не противоречат рациональности игроков. Наиболее очевидное
требование можно сформулировать следующим образом:
«Рациональный игрок не станет выбирать строго доминируемую стратегию».


Определение 6.
Стратегия yi ? Xi игрока i называется строго доминируемой, если существует стратегия
xi ? Xi, которая ее строго доминирует, т.е.
ui(yi, x–i) < ui(xi, x–i) ?x–i?X–i.

Проанализируем ситуацию, в которой структура игры (множества стратегий и функции
выигрышей), а также то, что все игроки рациональны, известно каждому игроку. Более
того, мы рассмотрим ситуацию, в которой все это общеизвестно,238 то есть не только каж-
дый игрок знает это, но он знает, что все другие игроки знают это, и так далее до беско-
нечности.
В этом случае игрок должен не только сам исходить из того, что ни один из игроков не
выберет доминируемую стратегию, но и учитывать, что другие игроки исходят из того,
что ни один из игроков не выберет доминируемую стратегию. Эту цепочку предположе-
ний следует продолжить до бесконечности.
На этой основе строится метод получения решения игры путем отбрасывания строго до-
минируемых стратегий. Если в результате последовательности шагов, состоящих в вычер-
кивании строго доминируемых стратегий получился «остаток», в котором у каждого иг-


238
англ. common knowledge

635
636
рока только одна стратегия, то при сделанных нами предположениях о рациональности
представляется естественным, что игроки должны выбрать именно эти не отброшенные
стратегии.
Можно отметить, что в данном случае предполагается не только рациональность игроков,
но и их способность провести соответствующие рассуждения, ведь цепочка рассуждений
может быть достаточно длинной (я знаю, что он знает, что я знаю…).
Oaaeeoa 10
A B C
3 0 1
I 2 3 2
4 6 2
II 1 2 4
7 2 8
III 0 1 3


В Таблице 10 и таблицах на Рис. 151 показан пример процесса отбрасывания строго до-
минируемых стратегий. В исходной игре 3?3 (Таблица 10) стратегия II строго доминирует
стратегию III, поэтому стратегию III следует вычеркнуть (игрок выбирающий строки, не
станет выбирать эту стратегию). Отбрасываемая стратегия обведена двойной волнистой
рамкой. Остается игра 2?3 (Рис. 151 а) ), в которой стратегия A строго доминирует страте-
гию C. Стратегию C вычеркиваем (поскольку игрок, выбирающий столбцы, прогнозируя
действия игрока, выбирающего строки, не станет ее выбирать). В получившейся игре 2?2
(Рис. 151 б) ) стратегия I строго доминирует стратегию II. В получившейся после отбрасы-
вания стратегии II игре (Рис. 151 в) ) у игрока, выбирающего строки, осталась только одна
стратегия. Для игрока, выбирающего столбцы, стратегия A строго лучше стратегии B, по-
этому стратегия B вычеркивается. Остается игра (Рис. 151 г) ), в которой каждый игрок
имеет только по одной стратегии: (I, A). На основании этого можно сделать вывод, что в
исходной игре 3?3 должен реализоваться исход (I, A).
A B C A B
а) б)
3 0 1 3 0
I I
2 3 2 2 3
4 6 2 4 6
II II
1 2 4 1 2



в) г) A
A B
3
3 0
I
I 2
2 3


?enoiie 151.
Если общеизвестно, что игроки рациональны, и после последовательного вычеркивания

<< Предыдущая

стр. 148
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>