<< Предыдущая

стр. 149
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

строго доминируемых стратегий у каждого игрока останется единственная стратегия (как
в приведенной выше игре), то, как и в случае существования строго доминирующих стра-
тегий у каждого игрока, исход игры может быть предсказан однозначно.239



239
Остаток при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий всегда один и тот же, вне
зависимости от того, в каком порядке происходит отбрасывание стратегий. Можно рассмотреть также про-
цедуру последовательного отбрасывания (слабо) доминируемых стратегий (правда она кажется менее обос-
нованной с точки зрения рациональности). В этой последней процедуре порядок уже существенен.

636
637
Даже если рассматриваемая процедура даст неоднозначный результат, то по крайней ме-
ре можно быть уверенным, что решение должно принадлежать полученному «остатку».


Ситуации, когда в игре существует равновесие в доминирующих стратегиях, достаточно
редки. И далеко не во всех играх можно найти решение, отбрасывая строго доминируемые
стратегии. Соответствующий пример игры представлен в Таблице 11.


Второй игрок выберет стратегию A, если предполагает, что пер- Oaaeeoa 11
вый выберет стратегию Z; в то же время стратегия B для него A B C
предпочтительнее в случае, если первый выберет Y. 3 0 1
X 2 2 3
Естественно предположить, что при отсутствии у всех игроков 4 6 2
Y
доминирующих стратегий, выбор каждого игрока зависит от 1 4 2
ожиданий того, какими будут выборы других. Далее мы рас- 7 2 8
Z
смотрим концепцию решения, основанную на этой идее. 3 1 3


Равновесие по Нэшу
Кроме ситуаций, рассмотренных в предыдущем разделе, бывают ситуации,240 которые
естественно моделировать, исходя из следующих предположений:
- игроки при принятии решений ориентируются на предполагаемые действия партне-
ров;
- ожидания являются равновесными (совпадают с фактически выбранными партнера-
ми действиями).
Если считать, что все игроки рациональны, так что каждый выбирает стратегию, дающую
ему наибольший выигрыш при данных ожиданиях, то эти предположения приводят к кон-
цепции решения, называемой равновесием Нэша. В равновесии у каждого игрока нет осно-
ваний пересматривать свои ожидания.
Формально равновесие Нэша определяется следующим образом.


Определение 7.
Набор стратегий x* ? X является равновесием Нэша,241 если:
1) стратегия x* каждого игрока является наилучшим для него откликом на ожидаемые им
i
e
стратегии других игроков x–i:




240
Можно представить себе популяцию игроков типа А (скажем, кошки) и игроков типа Б (скажем, мышки).
Игрок типа А при встрече с игроком типа Б имеет оправданные своим или чужим опытом ожидания относи-
тельно поведения партнера типа Б, и заранее на них ориентируется (и наоборот). Однако это не единствен-
ный тип ситуаций, в которых рассматриваемый подход является адекватным.
241
Американский математик Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике в 1994 г. вместе с Дж.
Харшаньи и Р. Зельтеном «за новаторский анализ равновесий в теории некооперативных игр». Концепция
равновесия была предложена в следующих статьях: Nash, J. F. (1950) "Equilibrium Points in N-Person Games,"
Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 36, 48-49. Nash, J. F. (1951)
"Non-Cooperative Games," Annals of Mathematics, 54, 286-295.
Следует оговориться, что сам Нэш не вводил в определение ожиданий. Исходное определение Нэша совпа-
дает с тем свойством, о котором говорится далее.

637
638

ui(x*, x–i) = max ui(xi, x–i) ? i = 1, ..., n;
e e
i
xi ? Xi

2) ожидания совпадают с фактически выбираемыми стратегиями:
x–i = x–i ? i = 1, ..., n.
e *




Заметим, что при использовании равновесия Нэша для моделирования игровых ситуаций
вопросы о том, знают ли игроки цели партнеров, знают ли они о рациональности партне-
ров, умеют ли их просчитывать, и т.д., отходят на второй план. Способ формирования
ожиданий выносится за рамки анализа; здесь важно только то, что ожидания являются
равновесными.
Но если при анализе равновесия Нэша не важно, знает ли игрок цели других игроков, то
может возникнуть сомнение в правомерности рассмотрения концепции Нэша в контексте
игр с полной информацией. Все дело в том, что термин «полная информация» в теории игр
имеет довольно узкое значение. Он фактически подразумевает только полноту сведений о
типах партнеров (термин «тип игрока», разъясняется в параграфе, посвященном байесов-
ским играм).


Как легко видеть, приведенное определение равновесия Нэша эквивалентно следующему
свойству, которое обычно и используется в качестве определения:


Набор стратегий x* ? X является равновесием Нэша, если стратегия xi каждого иг-
*

рока является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков x–i:
*



ui(x*, x–i) = max ui(xi, x–i) ? i = 1, ..., n.
* *
i
xi ? Xi




Это свойство можно также записать в терминах так называемых функций (отображений)
отклика.


Определение 8.
i-го игрока,
Отображение отклика

Ri: X–i & Xi,
сопоставляет каждому набору стратегий других игроков, x–i ? X–i, множество стратегий
i-го игрока, каждая из которых является наилучшим откликом на x–i. Другими словами,

?x–i ? X–i , ?yi ? Ri(x–i).
ui(yi, x –i) = max ui(xi, x –i)
xi ? Xi



Введение отображений отклика позволяет записать определение равновесия Нэша более
компактно: набор стратегий x* ? X является равновесием Нэша, если
x* ? Ri(x–i) ? i = 1, ..., n.
*
i

Если отклик каждого игрока однозначен (является функцией), то множество равновесий
Нэша совпадает с множеством решений системы уравнений:
x* = Ri(x–i) ? i = 1, ..., n.
*
i


638
639
В Таблице 11 отображения отклика игроков изображены подчеркиванием выигрышей,
соответствующих оптимальным действиям. Равновесие Нэша в данной игре — клетка (B,
Y), поскольку выигрыши обоих игроков в ней подчеркнуты.
Проиллюстрируем использование функций отклика на примере игры, в которой игроки
имеют континуум стратегий.


Игра 5. «la›a3…=!%a…= 2%!a%"e »
Две страны одновременно выбирают уровень таможенных пошлин, ?i. Объем торговли
между странами, x,242 зависит от установленных пошлин как
x = 1 – ?1 – ?2.
Цель каждой страны — максимизировать доходы:
ui = ?ix > max.
(


Максимизируем выигрыш 1-й страны,
?1(1 – ?1 – ?2),
по ?1 считая фиксированным уровень пошлины, установленный 2-й страной. Условие пер-
вого порядка имеет вид
1 – 2 ?1 – ?2 = 0.
Поскольку максимизируемая функция строго вогнута, то условие первого порядка соот-
ветствует глобальному максимуму.
Условие первого порядка для задачи максимизации выигрыша 2-й страны находится ана-
логично:
1 – ?1 – 2 ?2 = 0.
Решив систему из двух линейных уравнений, найдем равновесие Нэша:
?* = ?* = 1/3.
1 2

Оптимальный отклик 1-й страны на уровень таможенной пошлины, установленной 2-й
страной описывается функцией
1 – ?2
?1(?2) = 2.
Аналогично, функция отклика 2-й страны имеет вид
1 – ?1
?2(?1) = 2.
Чтобы найти равновесие Нэша, требуется решить систему уравнений




242
В этой игре мы для упрощения не делаем различия между экспортом и импортом.

639
640
?2
1
?1(?2)


Точка
равновесия Нэша
1
2
1
?2(?1)
3


?1
1 1
1
3 2

?enoiie 152. ?aaiiaanea Iyoa a ea?a «Ia?aoia?iaiay oi?aiaey»

? ?1(?*) = ?* ,
?
2 1

? ?2(?1) = ?2 .
* *


Графически поиск равновесия Нэша показан не Рис. 152. Точки, лежащие на кривых оп-
тимального отклика ?1(?2) и ?2(?1), характеризуются тем, что в них касательные к кривым
безразличия игроков параллельны соответствующей оси координат. Напомним, что кри-
вой безразличия называют множество точек, в которых полезность рассматриваемого ин-
дивидуума одна и та же (ui(x) = const). Равновесие находится как точка пересечения кри-
вых отклика.


Преимущество использования концепции равновесия Нэша состоит в том, что можно най-
ти решение и в тех играх, в которых отбрасывание доминируемых стратегий не позволяет
этого сделать. Однако сама концепция может показаться более спорной, поскольку опира-
ется на сильные предположения о поведении игроков.
Связь между введенными концепциями решений описывается следующими утверждения-
ми.


Теорема 1.
* *
Если x* = (x1, ..., xm) — равновесие Нэша в некоторой игре, то ни одна из составляющих
его стратегий не может быть отброшена в результате применения процедуры последова-
тельного отбрасывания строго доминируемых стратегий.


Обратная теорема верна в случае единственности.


Теорема 2.
Если в результате последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий у
* * *
каждого игрока остается единственная стратегия, xi , то x* = (x1, ..., xm) — равновесие
Нэша в этой игре.


Доказательства этих двух утверждений даны в Приложении B (стр. 646). Нам важно здесь,
что концепция Нэша не входит в противоречие с идеями рациональности, заложенной в
процедуре отбрасывания строго доминируемых стратегий.
640
641
По-видимому, естественно считать, что разумно определенное равновесие, не может быть
отброшено при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий. Пер-

<< Предыдущая

стр. 149
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>