<< Предыдущая

стр. 15
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


В случае если предпочтения представимы функцией полезности u:X> , то отображение
хиксианского спроса может быть найдено как решение параметрического семейства задач:
ph > minh
u(h) > u(x),
h?X,
каждая из которых обычно называется двойственной (взаимной) к соответствующей задаче
потребителя (задаче поиска маршаллианского спроса).
С содержательной точки зрения хиксианский спрос при заданных p и x это самый деше-
вый потребительский набор при заданных ценах p, среди всех наборов которые не хуже
чем x. В то же время, маршаллианский спрос — это наилучший с точки зрения предпоч-
тений индивидуума набор в бюджетном множестве. На Рисунке 10 в случае двух благ
иллюстрируется разница в понятиях маршаллианского и хиксианского спросов.




40
Приведенное здесь определение хиксианского спроса не является классическим. В большинстве учебни-
ков задача поиска хиксианского спроса формулируется в терминах поиска набора, который дает заданный
уровень полезности, а приведенный вариант определения зарезервирован для задачи определения монетар-
ной функции полезности. Преимуществом введенного в тексте понятия является то, что оно последователь-
но ложится в программу описания потребителя исходя только из свойств предпочтений, не используя поня-
тия и термины которые могут быть сассоциированны с кардиналистским подходом.
41
Понятие хиксианского спроса появилось, и получила свое развитие, в работах Джона Хикса (Hicks, J. R.,
Value and Capital, Oxford: Claredon Press, русс. перевод Дж. Р. Хикс, Стоимость и Капитал, М.: Прогресс,
1993), Пола Самуэльсона (Samuelson, P., Foundations of Economic Analysis, Cambridge, Mass.: Harvard Univer-
sity Press, 1948) и Лайонеля Мак-Кензи (McKenzie, L., Demand Functions without a Utility Index, Review of
Economic Studies, Vol. 25, 1957).

67
68

кривая безразличия
бюджетная прямая h2
x2




маршаллианский
хиксианский
спрос
спрос

x1 h1

?enoiie 10 Ia?oaeeeaineee e oeeneaineee ni?in.
Следующая Теорема устанавливает основные свойства отображения (функции) хиксиан-
ского спроса.

Теорема 17. (Свойства хиксианского спроса)
K
Пусть p? ++, а потребитель описывается системой непрерывных неоклассических пред-
почтений. Тогда
(1) решение двойственной задачи потребителя существует, т.е. h(p, x) ? ? ?x?X;
(2) если предпочтения потребителя выпуклы, тогда h(p, x) — выпуклое множество;
(3) если предпочтения потребителя строго выпуклы, то h(p, x) — непрерывная функ-
ция;
(4) отображение h(p, x) однородно нулевой степени по p, т. е. h(?p, x) = h(p, x);
(5) для каждого h?h(p, x) справедливо u(h) = u(x);
K
(6) для любых p, p?? ++, h?h(p, x) и h??h(p?, x) справедливо (p? - p)(h? - h)<0.


Доказательство:
Доказательство в общих чертах идет по схеме доказательства Теоремы 14 и оставляется
читателю в качестве упражнения.
¦
Обсудим свойство 6 данной теоремы. Пусть в некоторый момент времени в экономике
были цены p, а в следующий момент времени изменилась цена одного из благ, для опре-
деленности первого, а цены всех остальных благ остались неизменными. В этом случае
свойство 6 говорит, что должно выполняться неравенство ?p1?h1<0, т.е. если цена первого
блага упала, то хиксианский спрос на первое благо не может упасть, он либо остается не-
изменным, либо возрастает. Оговоримся, что полученное неравенство (p? - p)(h? - h) < 0
более сильное условие, чем простое требование убывания спроса на k-ое благо по своей
цене. Это свойство мы будем называть законом спроса при компенсированном изменении
дохода по Хиксу. Оно в чем-то аналогично рассмотренному ранее закону спроса при ком-
пенсированном изменении дохода по Слуцкому. В дальнейшем мы вернемся к обоим этим
свойствам потребительского спроса и достаточно подробно обсудим их взаимосвязь.
Обсудим теперь, как и в случае с маршаллианским спросом, необходимые и достаточные
условия максимума задачи поиска хиксианского спроса. Предположим, как и ранее, что
функция полезности дважды непрерывно дифференцируема, предпочтения удовлетворяют
K
свойству локальной ненасыщаемости, выпуклы и, кроме того, p? ++. Несложно заметить,
что при выполнении этих предположений целевая функция задачи поиска хиксианского
спроса вогнута (выполнено условие 4) и, даже больше, целевая функция дважды непре-
рывно дифференцируема и не равна 0 (выполнено условие 3). В силу этого, условия Куна-

68
69

Таккера являются достаточными условиями оптимальности для потребительского набора
^
h такого что
^
1) – p + µ?u(h)<0;
^^
2) (– p + µ?u(h))h = 0;
^
3) µ(u(h) – u(x)) = 0;
4) µ > 0.
K
Пусть x = x( p, R) – решение задачи потребителя при ценах p? ++ и доходе R >0. Пусть
также ? – множитель Лагранжа, отвечающий этому решению. Тогда, как несложно заме-
тить, в случае если ?>0, множитель Лагранжа в задаче поиска хиксианского спроса µ ра-
1
вен ?.

Сформулированные условия являются также и необходимыми условиями оптимальности
для этой задачи, если найдется такой потребительский набор h*, что u(h*)>u(x) (выпол-
нение данного условия гарантировано свойством локальной ненасыщаемости) и градиент
функции u(.) не равен 0.
Используя условия Куна-Таккера, найдем теперь функцию хиксианского спроса для слу-
чая рассматривавшегося нами в примере 9.
Пример 9. (Продолжение)
Хиксианский спрос является решением следующей задачи
p1h1 + p2h2 > minh
h1 +a h2 > u(x),
h>0.
Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:
L(h, µ) = –p1h1 – p2h2+ µ( h1 +a h2 – u(x)).
Условия Куна-Таккера могут быть выполнены только в случае, если h1>0, h2>0. Поэтому
1 1
–p1 + µ –p2 + µ a
=0; =0.
2 h1 2 h2
Несложно заметить, что из этих двух равенств следует – µ >0, а значит h1 +a h2 = u(x).
h2 p p p
Отсюда имеем = p1 или h2=(ap1)2h1. Так как h1 +a h2 =u(x), то h1 +a2p1 h1 =u(x)
a h1 2 2 2
p u(x) ap1u(x)
или h1=(p 2+a2p )2. Также h2=( p +a2p )2. Таким образом, хиксианский спрос равен h(p,
2 1 2 1
p u(x) ap1u(x)
x)=((p 2+a2p )2, ( p +a2p )2).
2 1 2 1

Проиллюстрируем теперь свойства функции хиксианского спроса доказанные в теореме
17. То, что хиксианский спрос однороден нулевой степени по ценам очевидно, действи-
tp u(x) atp1u(x) p u(x) ap1u(x) 0
тельно: h(tp, x)=(( tp 2+a2tp )2, ( tp +a2tp )2) = ((p 2+a2p )2, ( p +a2p )2) = t h(p, x).
2 1 2 1 2 1 2 1

Покажем, что u(h(p, x)) = u(x). Подставив хиксианский спрос в функцию полезности,
мы получим:



69
70

p u(x) ap1u(x) p u(x) ap1u(x)
u(h(p, x))= h1(p, x)+a h2(p, x) = ( p +a2p )2 = p 2+a2p + a p +a2p =
(p 2+a2p )2+a
2 1 2 1 2 1 2 1
u(x).
?
Аналогом непрямой функции полезности в двойственной задаче потребителя является
функция расходов.

Определение 18.
Функция e(p, x) = ph, где h?h(p, x) – хиксианский спрос при данных p и x, называется
функцией расходов (затрат).


Другими словами, функция расходов e(p, x) – значение целевой функции двойственной
задачи в точке оптимума при данных p и x. Согласно определению, для каждого дости-
жимого уровня полезности функция расходов указывает минимальный уровень расходов
(дохода), обеспечивающий такой уровень полезности.

Теорема 18. (Свойства функции расходов)
Пусть выполнены предположения Теоремы 17. Тогда
(1) функция e(p, x) однородна первой степени по p: e(? p, x) = ?e(p, x);
(2) функция e(p, x) не убывает по ценам e(p?, x)< e(p, x) при p >p?);
(3) функция e(p, x) — вогнутая функция цен p;
(4) функция e(p, x) непрерывна;
(5) x } y ? e(p, x)>e(p, y);
_


Доказательство:
(1) Первый пункт утверждения следует из того, что решения двойственной задачи при
векторе цен p и векторе цен ?p совпадают.
(2) Пусть p?>p и p??p. Тогда ph(p?,x)> ph(p,x) = e(p,x). Но e(p?,x) = p?h(p?,x) >
ph(p?,x). Заметим, что если h(p?,x)?0, то e(p?,x) > e(p,x).
(3) Мы должны показать, что для двух произвольных векторов p1 и p2 при 0< ? < 1 вы-
˜
полняется e(?p1 + (1–?)p2, x) > ?e(p1, x) + (1–?)e(p2, x). Пусть h— решение двойственной
задачи при ценах p?=?p1 + (1–?)p2, т.е. h?h(p?, x). Отметим, p?h = e(p?, x).
˜ ˜
˜
Допустимое множество {h?X| y } x} не зависит от p, поэтому потребительский набор h
_
допустим в двойственной задаче как при ценах p1, так и при ценах p2. Из определения
˜ ˜ ˜
функции расходов и допустимости h имеем e(p1, x)< p1h и e(p2, x) < p2h. Отсюда
?e(p1, x) + (1 – ?)e(p2, x)<p?h = e(p?, x).
˜
(4) Доказательство непрерывности оставляем читателю в качестве упражнения. Заметим
только, что непрерывность следует из того, что (а) функция расходов вогнута как функция
цен и (б) любая вогнутая функция непрерывна во внутренности своей области определе-
ния.
(5?) Докажем, что из x } y следует e(p, x)>e(p, y). Так как x } y, то все потребитель-
_ _
ские наборы допустимые в двойственной задаче при наборе параметров (p, x) являются



70
71

допустимыми в задаче при наборе параметров (p, y). В том числе, допустимыми являются
и наборы, принадлежащие h(p, x), а это и означает что e(p, x)>e(p, y).
(5?) Докажем, что из e(p, x)>e(p, y) следует x } y. Предположим противное, то есть y }
_
˜
x. Значит e(p, y)=e(p, x) (Почему?). Значит h(p, y)?h(p, x). Возьмем h?h(p, y). В силу
непрерывности предпочтений и того, что X– выпуклое множество и 0?X получаем суще-
˜_ ˜
ствование такого числа ?<1, что ?h } x. В этом случае p(?h) = ?e(p, y) < e(p, x), что
противоречит определению e(p, x).
¦
На основании пункта (5) можно говорить о функции e(p, x), как о функции полезности,
которая представляет исходную систему неоклассических предпочтений. Это свойство
одно из самых важных свойств функции расходов и будет поставлено во главу угла при
обсуждении вопроса о восстановлении предпочтений по наблюдаемой функции спроса.
Проиллюстрируем теперь нахождение функции расходов.
Пример 9. (Продолжение)
Найдем функцию расходов e(p, x) для данного потребителя. Как было показано выше,
p u(x)
функция хиксианского спроса для рассматриваемого потребителя равна h(p, x)=((p 2+a2p
2 1
ap1u(x) 2
)2, ( p +a2p ) ). Из определения функции расходов имеем:
2 1

p u(x) ap1u(x) u(x)
e(p, x) = p1h1(p, x)+ p2h2(p, x) = p1(p 2+a2p )2 +p2( p +a2p )2 = (p +a2p )2(p1(p2)2+a2p2(p1)2) =
2 1 2 1 2 1
p1p2(u(x))2
u(x) 2 u(x) 2
(p +a2p ) (p1p2+a2p1)p1p2 = (p +a2p ) (p1p2+a2p1)p1p2 = p +a2p .
2 1 2 1 2 1

На примере данной функции проиллюстрируем выполнение свойств, доказанных в теоре-
ме 18.
Покажем, что полученная функция однородна первой степени по ценам.
tp1tp2(u(x))2 p1p2(u(x))2
e(tp, x) = tp +a2tp = t p +a2p = t e(p, x).
2 1 2 1

Покажем свойство неубывания по ценам. Отметим, что
p1p2(u(x))2 (u(x))2
e(p, x) = p +a2p = .
1 a2
2 1
p1 + p2

1
Действительно при росте при росте p1 величина p убывает, что в свою очередь влечет
1
2
(u(x))
рост значения дроби , и, тем самым, рост функции расходов.
1 a2
p1 + p2

Покажем теперь вогнутость функции расходов по ценам. Матрица вторых частных про-

<< Предыдущая

стр. 15
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>