<< Предыдущая

стр. 152
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


9. Формируются два избирательных блока, которые будут претендовать на места в зако-
нодательном собрании города N-ска. Каждый из блоков может выбрать одну из трех ори-
ентаций: «левая» (L), «правая» (R) и «экологическая» (E). Каждая из ориентаций может
привлечь 50, 30 и 20% избирателей соответственно. Известно, что если интересующая их
ориентация не представлена на выборах, то избиратели из соответствующей группы не
будут голосовать. Если блоки выберут разные ориентации, то каждый получит соответст-
вующую долю голосов. Если блоки выберут одну и ту же ориентацию, то голоса соответ-
ствующей группы избирателей разделятся поровну между ними. Цель каждого блока —
получить наибольшее количество голосов.


10. Два игрока размещают точку на плоскости. Один игрок выбирает абсциссу, другой —
ординату. Их выигрыши заданы функциями:
а) ux(x,y) = – x2 + x (y + a) + y2, uy(x,y) = – y2 + y (x + b) + x2,
б) ux(x,y) = – x2 – 2ax (y + 1) + y2, uy(x,y) = – y2 + 2by (x + 1) + x2,
в) ux(x,y) = – x – y/x + 1/2 y2, uy(x,y) = – y – x/y + 1/2 x2,
(a, b – коэффициенты).


11. «Мороженщики на пляже»



649
650
Два мороженщика в жаркий день продают на пляже мороженое. Пляж можно представить
как единичный отрезок. Мороженщики выбирают, в каком месте пляжа им находиться,
т.е. выбирают координату xi ? [0, 1]. Покупатели равномерно рассредоточены по пляжу и
покупают мороженое у ближайшего к ним продавца. Если x1 < x2, то первый обслуживают
(x1 + x2)/2 долю пляжа, а второй — 1 – (x1 + x2)/2. Будем считать, что в случае, если они
расположатся в одной и той же точке (x1 = x2), покупатели поровну распределятся между
ними. Каждый мороженщик стремиться обслуживать как можно большую долю пляжа.


12. «Аукцион»
Рассмотрите аукцион, подобный описанному в Игре 4, при условии, что выигравший аук-
цион игрок платит названную им цену.


13. Проанализируйте Игру 1 «Выбор компьютера» (стр. 627) и найдите ответы на сле-
дующие вопросы:
а) При каких условиях на параметры a, b и c будет существовать равновесие в домини-
рующих стратегиях? Каким будет это равновесие?
б) При каких условиях на параметры будет равновесием Нэша исход, когда оба выбирают
IBM? Когда это равновесие единственно? Может ли оно являться также равновесием в
доминирующих стратегиях?


14. Каждый из двух соседей по подъезду выбирает, будет он подметать подъезд раз в не-
делю или нет. Пусть каждый оценивает выгоду для себя от двойной чистоты в a > 0 де-
нежных единиц, выгоду от одинарной чистоты — в b > 0 единиц, от неубранного подъез-
да — в 0, а свои затраты на личное участие в уборке — в c > 0. При каких соотношениях
между a, b и c в игре сложатся равновесия вида: (0) никто не убирает, (1) один убирает, (2)
оба убирают.


15. Предположим, что в некоторой игре двух игроков, каждый из которых имеет 2 страте-
гии, существует единственное равновесие Нэша. Покажите, что в этой игре хотя бы у од-
ного из игроков есть доминирующая стратегия.


16. Каждый из двух игроков (i = 1, 2) имеет по 3 стратегии: a, b, c и x, y, z соответственно.
Взяв свое имя как бесконечную последовательность символов типа иваниваниван..., задай-
те выигрыши первого игрока так: u1(a, x) = «и», u1(a, y) = «в», u1(a, z) = «а», u1(b, x) = «н»,
u1(b, y) = «и», u1(b, z) = «в», u1(c, x) = «а», u1(c, y) = «н», u1(c, z) = «и». Подставьте вместо
каждой буквы имени ее номер в алфавите, для чего воспользуйтесь Таблицей 14. Анало-
гично используя фамилию, задайте выигрыши второго игрока, u2(.).
1) Есть ли в Вашей игре доминирующие и строго доминирующие стратегии? Если есть, то
образуют ли они равновесие в доминирующих стратегиях?
2) Каким будет результат последовательного отбрасывания строго доминируемых страте-
гий?
3) Найдите равновесия Нэша этой игры.




650
651
Oaaeeoa 14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 а б в г д е ё ж з
1 и й к л м н о п р с
2 т у ф х ц ч ш щ ъ ы
3 ь э ю я


17. Составьте по имени, фамилии и отчеству матричную игру трех игроков, у каждого из
которых по 2 стратегии. Ответьте на вопросы предыдущей задачи.


18. Заполните пропущенные выигрыши в следующей таблице так, чтобы в получившейся
игре…
(0) не было ни одного равновесия Нэша,
(1) было одно равновесие Нэша,
(2) было два равновесия Нэша,
(3) было три равновесия Нэша,
(4) было четыре равновесия Нэша.
Oaaeeoa 15
1 ?
? 2
? 0
4 ?


19. 1) Объясните, почему в любом равновесии Нэша выигрыш i-го игрока не может быть
меньше, чем

min max ui(xi, x –i).
x–i ? X–i xi ? Xi

2) Объясните, почему в любом равновесии Нэша выигрыш i-го игрока не может быть
меньше, чем

max min ui(xi, x –i).
xi ? Xi x–i ? X–i




20. Задача относится к свойствам антагонистических игр двух лиц. Антагонистической иг-
рой двух лиц называется игра, в которой сумма выигрышей обоих игроков постоянна:
u1(x1, x2) + u2(x1, x2) = C.
(В частном случае, когда C = 0, такая игра называется игрой с нулевой суммой.)
Объясните, почему множество седловых точек функции u1(x1, x2) в антагонистической
игре двух лиц совпадает с множеством равновесий Нэша.
(Напомним, что седловой точкой функции u1(x1, x2), называют такую точку (x1, x2) ?
* *


X1?X2, что для любых x1 ? X1 и x2 ? X2 выполнено

651
652
u1(x1, x2) < u1(x1, x2) < u1(x1, x2).)
* * * *




Проверьте, что в следующих играх нет равновесия Нэша в чистых стратегиях. Найдите
равновесие Нэша в смешанных стратегиях.


21. Докажите, основываясь на результатах двух предыдущих задач, что в антагонистиче-
ской игре двух лиц равновесие Нэша (в чистых стратегиях) существует тогда и только
тогда, когда

min max u1(x1, x2) = max min u1(x1, x2).
x2 ? X2 x1 ? X1 x1 ? X1 x2 ? X2




22. «Орел или решка»
Первый из двух игроков прячет монетку, положив ее по своему выбору вверх орлом или
решкой. Второй игрок должен угадать, как лежит монетка. Если второй игрок угадает, то
первый должен отдать ему рубль, в противном случае он должен отдать первому рубль.


23. «Камень - ножницы – бумага»
Два игрока играют в следующую игру. Каждый называет один из трех предметов: «ка-
мень», «ножницы» или «бумага». Игрок, назвавший камень, выигрывает игрока, назвав-
шего ножницы (ножницы тупятся о камень), игрок, назвавший ножницы, выигрывает иг-
рока, назвавшего бумагу (ножницы режут бумагу), а игрок, назвавший бумагу, выигрыва-
ет игрока, назвавшего камень (камень можно завернуть в бумагу). Выигравший игрок по-
лучает 1, проигравший получает –1. Если названные предметы совпали, то каждый игрок
получает 0.


24. Идет война между синими и красными. Генерал синих хочет занять город красных,
имея две роты. К городу можно подойти по одной из двух дорог. Генерал синих каждую
свою роту может послать по любой из дорог. Генерал красных располагает тремя ротами
и может приказать любой роте оборонять любую дорогу. Синие займут город в том слу-
чае, если на одной из дорог у них будет больше рот, чем у красных. При этом синие полу-
чат 1, а красные — –2. Если синие не займут город, то выигрыши составят –1 и 1 соответ-
ственно.


25. В некоторой игре двух игроков, каждый из которых имеет 2 стратегии, у каждого из
игроков все выигрыши различны, и существует ровно два равновесия Нэша. Покажите,
что в этой игре есть еще равновесие в невырожденных смешанных стратегиях.

Динамические игры с совершенной информацией
Многие ситуации, включающие взаимодействие индивидуумов, являются по своему
смыслу динамическими. Люди взаимодействуют друг с другом во времени и действуют,
реагируя на те решения, которые ранее приняли другие. Другими словами, принимая ре-
шения, каждый игрок располагает определенной информацией о решениях, принятых дру-
гими игроками, что предполагает очередность принятия решений (ходов).


652
653
будем называть такую игру, в которой каждый игрок может сделать не-
Динамической
сколько ходов и по крайней мере один из игроков, делая ход, знает, какой ход сделал дру-
гой игрок (возможно, он сам). В этой ситуации он стоит перед свершившимися фактами
(уже сделанными ранее и известными ему ходами) и должен учитывать их при выборе
своих действий.
Приведем пример динамической игры.


Игра 7. &Sa!!%!,“2[
В самолет, который должен лететь из Майами в Нью-Йорк, сел террорист. Террорист тре-
бует, чтобы пилот летел на Кубу, угрожая в противном случае взорвать самолет. Предпо-
ложим, что террорист не может определить, куда действительно летит самолет. Первый
ход в этой игре тогда делает пилот. Он может лететь либо на Кубу, либо в Нью-Йорк.
Если пилот посадит самолет на Кубе, то его выигрыш составит –1, а выигрыш террориста
составит 1. Если же самолет сядет в Нью-Йорке, то делает свой ход террорист. Он может
либо взорвать бомбу, либо не взрывать. Если бомба взорвется, то выигрыши обоих игро-
ков составят –100, в противном случае выигрыш пилота составит 1, а выигрыш террориста
составит –1. (


Пилот

Куба Нью-Йорк
A
? –1 ? Террорист
?1?
взорвать
не взрывать
? –100 ? ?1?
? –100 ? ? –1 ?

?enoiie 155. Ea?a «Oa??i?eno»
Данную игру удобно представить в виде диаграммы, изображающей дерево игры (см. Рис.
155).246
Решение игры можно найти, в предположении, что игроки рациональны и что рациональ-
ность и структура игры являются общеизвестными фактами. При этом естественно вос-
пользоваться методом обратной индукции.
Пилот

Куба Нью-Йорк

? –1 ? ?1?
?1? ? –1 ?

?enoiie 156. Neooaoey auai?a ieeioa
В соответствии с этим методом игру «разматывают» с конца. Рассмотрим последнюю
вершину игры, в которой один из игроков делает выбор. В данном случае нам надо спрог-
нозировать как поступит террорист, оказавшись в Нью-Йорке. От решения террориста в
этой ситуации (вершине) зависит исход игры, поскольку пилот уже сделал свой ход, и не


246
Нам удобнее изображать дерево «кроной вниз». Сам термин дерево взят из теории графов.

653
654
может «взять обратно». Если террорист рационален, то он примет решение не взрывать
бомбу, поскольку –1 больше –100. Таким образом, действия террориста можно однознач-
но предсказать.
Поскольку, как мы предположили, рациональность террориста является общим знанием,
то пилот может «просчитать» действия террориста и, тем самым, будет знать, что слу-
читься, если он прилетит в Нью-Йорк.
Чтобы было более понятно, какой выбор стоит перед пилотом, удобно частично «свер-
нуть» дерево игры, учитывая то, что действия террориста в Нью-Йорке известны. Полу-
ченная усеченная (редуцированная) игра показана на Рис. 156.
В этой игре действия пилота несложно предсказать — он полетит в Нью-Йорк, поскольку
предпочитает выигрыш 1 выигрышу –1. Таким образом, исход игры однозначен: пилот
посадит самолет в Нью-Йорке, а террорист не станет взрывать бомбу.
Изобразим полученное решение на дереве (см. Рис. 157). Те действия, которые были вы-
браны соответствующим игроком в каждой из вершин, изобразим двойными линиями.
Исход игры определяется траекторией, состоящей из выбранных действий, и идущей из
начальной вершины в одну из конечных вершин.247
Пилот

Куба Нью-Йорк

<< Предыдущая

стр. 152
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>