<< Предыдущая

стр. 16
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

p1p2(u(x))2
изводных для функции расходов e(p, x) = p +a2p равна
2 1
22 2 2 2
? ?
2a p2(u(x)) 2a p1p2 (u(x))

H=? ?.
3 3
(p2+a2p1) (p2+a2p1)
? ?
2 2 22 2
2a p1p2 (u(x)) 2a p1(u(x))
? ?

3 3
(p2+a2p1) (p2+a2p1)


71
72

Несложно заметить, что первый главный последовательный минор отрицателен, а второй
равен 0. То есть, главные последовательные миноры чередуют свой знак, начиная с перво-
го, который отрицателен. Отсюда непосредственно следует, что матрица H отрицательно
полуопределена и, соответственно, вогнутость функции e(p, x).
Наконец проверим, что x } y ? e(p, x)>e(p, y). Действительно, в силу положительности
_
p1p2(u(x))2 p1p2(u(y))2
цен имеем: e(p, x)>e(p, y) ? p +a2p > p +a2p ? (u(x))2 > (u(y))2. Так как u(x)
2 1 2 1
= x1 +a x2 и, тем самым, неотрицательна, то условие (u(x))2 > (u(y))2 эквивалентно
условию u(x) > u(y). То есть, e(p, x)>e(p, y) ? u(x) > u(y). Откуда по определению
функции полезности имеем, что e(p, x)>e(p, y) ? x } y.
_
?
Рассмотрим теперь вопрос о взаимосвязи прямой и двойственной задач потребителя. Сле-
дующая теорема, называемая теоремой взаимности (двойственности), устанавливает усло-
вия совпадения решений прямой и двойственной задач потребителя.

Теорема 19. (Теорема взаимности (двойственности))
Пусть множество допустимых альтернатив X непусто, замкнуто, ограничено снизу, вы-
K
пукло, 0?X и p? ++, а потребитель описывается системой непрерывных неоклассиче-
ских предпочтений. Тогда
1) если предпочтения локально ненасыщаемы, то x?x(p,R) влечёт x?h(p,x).
- - -
2) для любого - ?h(p, x) и x?X, выполнено - ?x(p,e(p,x)).
- - -
h h


Доказательство:
(1) Предположим противное: пусть x?h(p,x), т.е. в двойственной задаче существует по-
- -
_- -
требительский набор h?}x такой, что px>ph?. Из локальной ненасыщаемости предпочте-
_- -
ний следует, что существует h??, такой, что h??}h?}x и при этом px>ph??. А это противо-
-
речит оптимальности x в прямой задаче потребителя.
(2). Предположим, что - не является решением прямой задачи потребителя при ценах p и
h
- -
доходе e(p,x). Тогда существует потребительский набор x??B(p,e(p,x)) такой, что u(x?)
-
> u(h ). В силу непрерывности отношения предпочтения найдется 0<?<1 такое, что
?x??B(p,e(p,x)) и u(?x?) > u(h ). Это противоречит оптимальности - в двойственной
-
- h
задаче потребителя.
¦
Мы показали, что при выполнении условий данной теоремы, справедливо, что для любого
x?x(p,R) выполнено x?h(p,x). В силу этого, из определения функции расходов имеем
- - -
- - -
e(p, x)=px, в силу локальной ненасыщаемости предпочтений справедливо, что px=R. То
есть для любого x?x(p,R) справедливо тождество e(p, x)=R. Аналогично, пусть -
- - h
?h(p,x) при некотором x?X, тогда по доказанной теореме двойственности получаем, что
- -
- ?x(p,e(p,x)). В силу оптимальности - при ценах p и доходе e(p,x) имеем, что
- -
h h
- -
?(p,e(p,x))=u(h ). Также заметим, что в силу непрерывности предпочтений u(h )=u(x).
- -
Таким образом, получаем что ?(p,e(p,x))= u(x). Покажем теперь, что x(p, e(p,x))=h(p,x
- - - -
- -
). Включение h(p,x)? x(p,e(p,x)) доказано в теореме двойственности. Пусть теперь
- ˜
x?x(p,e(p,x)), тогда в силу локальной ненасыщаемости x?h(p, x) и e(p, x)=e(p, x).
- -
Так как потребительский набор x допустим при ценах p и доходе e(p,x) то u(x)> u(x).
72
73

- -
тельский набор x допустим при ценах p и доходе e(p,x) то u(x)> u(x). Таким образом,
- -
несложно увидеть, что h(p, x)?h(p,x), откуда непосредственно вытекает x(p,e(p,x
- -
))=h(p,x). Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что для любого x
?x(p,R) выполнено x(p, R)=h(p,x). Этими рассуждениями мы доказали следующее
-

Следствие. (Соотношения двойственности)
Пусть выполнены все предположения Теоремы 19. Тогда:
• для любого x?x(p,R) выполнено e(p, x)=R;
- -
• для любого x?x(p,R) выполнено x(p, R)=h(p,x);
- -
• ?(p, e(p, x)) = u(x);
- -
• - -
x(p, e(p, x)) = h(p,x).


Проиллюстрируем важность установленных соотношений двойственности.
Пример 10.
Пусть мы, решив задачу потребителя, нашли функцию спроса и непрямую функцию по-
лезности. Этой информации достаточно для того, чтобы найти функцию хиксианского
спроса и функцию расходов, не решая, соответственно, двойственную задачу. Действи-
R(p2 + a2p1)
тельно, пусть ?(p, R) = . Тогда, воспользовавшись соотношением ?(p, e(p,
p2p1
e(p, x)(p2 + a2p1)
x)) =u(x), имеем =u(x). Отсюда несложно получить, что e(p, x) =
p2p1
p1p2(u(x))2
- -
p2+a2p1 . С учетом этого из соотношения x(p, e(p, x)) = h(p,x), легко найти хиксиан-
p1p2(u(x))2 p u(x) ap1u(x)
ский спрос: h(p, x)=x(p, e(p, x))=x(p, p +a2p ) = ((p 2+a2p )2, ( p +a2p )2).
2 1 2 1 2 1

?
Пример 11.
Пусть непрямая функция полезности потребителя имеет вид ?(p, R) = a(p)R и x(p, R) =
Rx(p, 1). Тогда используя соотношения двойственности несложно видеть, что e(p, x)
u(x) x(p, 1)
= a(p), а функция хиксианского спроса h(p, x)=x(p, e(p, x)) = a(p) u(x).

?




73
74




хиксианский
спрос

?enoiie 11. «Oienoay» e?eaay aac?acee?ey
Рассмотрим теперь пример когда хиксианский и маршаллианский спрос не совпадают.
Для построения этого примера достаточно рассмотреть предпочтения, не обладающие
свойством локальной ненасыщаемости. В качестве таковых, рассмотрим предпочтения
порождающие “толстую” кривую безразличия (такие кривые безразличия появятся, на-
пример, если взять в качестве функции полезности целую часть какой-нибудь
“нормальной” функции полезности). Хиксианский спрос всегда будет лежать (случай двух
благ) на левой границе “толстой” кривой безразличия. На Рисунке 11 эта граница изобра-
жена темной линией. Маршаллианский же спрос может лежать внутри “толстой” кривой
безразличия (Найдите его на приведенном Рисунке!).
Вернемся теперь, как и обещали, к обсуждению закона спроса. Используя полученные
соотношения двойственности, закон спроса при компенсированном изменении дохода по
Хиксу (p? - p)( h(p?, x) - h(p, x)) < 0 можно переформулировать в виде:
- -
- - - -
(p? - p)( h(p?, x) - h(p, x)) = (p? - p)( x(p?, e(p?, x)) - x(p, e(p, x)))<0.
-
Пусть x оптимальное решение задачи потребителя при ценах p и доходе R, тогда данное
-
свойство означает, что (p? - p)(x(p?, e(p?, x)) - x(p, R))<0. Сравним теперь два получен-
ных нами варианта закона спроса при компенсированном изменении дохода по Слуцкому
и по Хиксу:
1) (p? – p)(x(p?, p?x)) - x(p, R)) < 0;
-
2) (p? - p)(x(p?, e(p?, x)) - x(p, R)) < 0.
-
Единственное отличие этих свойств состоит в величине компенсации. В первом случае
компенсированное изменение дохода равно ?1= p?x – R, а во втором случае величина
-
компенсации равна ?2= e(p?, x) – R. Несложно понять, что ?1>?2, действительно ?1>?2
-
? p?x > p?h(p?, x). Последнее неравенство справедливо, так как потребительский набор
- -
-
x допустим в двойственной задаче, но он не может стоить меньше чем оптимальный на-
-
бор h(p?, x).




74
75

x2 x2




?2
?1
0 0
x(p ,R) x(p ,R)

x1 x1



?enoiie 12. Eiiiaine?o?uea eciaiaiey aioiaa ii Neooeiio e Oeeno i?e
0 1 0 1
p1 > p1, p2 = p2 = 1

Обе указанные формы компенсированного изменения дохода имеют достаточно ясную
0
графическую интерпретацию. Предположим, что в момент времени 0 цены были p0=(p1,
1), а доход в нулевой момент времени был равен R. В момент времени 1 упала цена перво-
1 1 0 1
го блага, а цена второго блага и доход остались неизменными, т.е. p =(p1, 1), p1 > p1. На
рисунке 12 показана разница в определениях компенсирующего изменения дохода по
Слуцкому и Хиксу. На левом рисунке показан способ нахождения компенсирующего из-
менения дохода по Слуцкому. Строим обе бюджетные линии. Находим спрос в начальный
момент времени. После чего начинаем двигать новую бюджетную линию до тех пор, пока
она не пройдет через точку спроса в начальный момент времени. Разница между дохо-
дом, отвечающим этому положению и исходным доходом, и будет компенсированным
изменением по Слуцкому. На втором рисунке показан способ нахождения компенсиро-
ванного изменения по Хиксу. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что в этот
раз мы двигаем бюджетную линию до точки касания с исходной кривой безразличия, оп-
ределяющей спрос потребителя.
Рассмотренные варианты закона спроса при компенсированном изменении дохода позво-
ляют делать некоторые выводы о поведении потребителя при изменении параметров мо-
дели. Неоспоримое достоинство этих свойств в том, что они выполняются при очень сла-
бых предположениях на предпочтения индивидуума, но в то же время, это достоинство
уравновешивается ограниченностью этих выводов. Мы можем говорить о направлении
изменения спроса только при компенсированном изменении дохода. Фактически мы не
получаем точной информации в ситуации когда цены изменились, а доход остался неиз-
менным. То есть наша информация дает лишь приблизительный, возможно, достаточно
грубый ответ на вопрос о поведении спроса. Этот недостаток не возможно устранить лег-
кой ценой, требуется сделать некоторые дополнительные предположения на свойства
функции полезности.
В дальнейшем нам понадобится следующее определение.

Определение 19.
Будем говорить, что функция x(p, R) удовлетворяет закону спроса, если выполнено со-
отношение
(p? – p)(x(p?, R)– x(p, R)) < 0.


Отметим очевидное отличие формулировки этого свойства от рассмотренных нами выше.
Данное свойство должно выполняться при фиксированном доходе, в отличие от рассмот-
ренных выше свойств, выполнявшихся при компенсированном изменении дохода.

75
76

В случае выполнения закона спроса мы получаем чистую информацию об изменении
спроса не обусловленную изменением дохода, что, в частности, позволяет делать выводы
об отсутствии товаров Гиффена в экономике, то есть об отсутствии товаров, спрос на ко-
торые растет при росте цены. Естественно задаться вопросом об условиях, которые гаран-
тирует выполнение закона спроса. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 20. (Закон спроса)
K K

<< Предыдущая

стр. 16
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>