<< Предыдущая

стр. 161
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

конечно повторяющейся конечной статической игре с полной информацией любой «ра-
зумный» вектор выигрышей может возникнуть в некотором совершенном в подыграх рав-
новесии, если дисконтирующие множители достаточно близки к единице. Под разумным
вектором выигрышей мы понимаем такой вектор выигрышей, который является выпуклой
комбинацией выигрышей исходной игры (с точностью до множителей 1 – ?i, необходимых
для того, чтобы сделать выигрыши сопоставимыми), и кроме того, в нем каждый элемент
должен быть не меньше некоторой пороговой величины. В разных вариантах теоремы
пороговая величина разная: это либо выигрыш в каком-либо равновесии Нэша исходной
игры, либо минимаксный выигрыш.264
Эту теорему можно интерпретировать как утверждение о том, что в бесконечно повто-
ряющейся игре «почти все возможно». Кроме того, из теоремы можно сделать вывод, что


264
См. Friedman, J. (1971), "A Noncooperative Equilibrium for Supergames," Review of Economic Studies, 28, 1-
12. Fudenberg, D., and E. Maskin (1986), "The Folk Theorem for Repeated Games with Discounting and Incom-
plete Information," Econometrica, 54, 533-54.

691
692
в бесконечно повторяющейся игре совершенных в подыграх равновесий бывает, как пра-
вило, «слишком много». Понятно, что это снижает ценность полученного выше результа-
та о возникновении сотрудничества в игре Ауманна.

Игры торга
Теперь мы рассмотрим важный класс игр, моделирующих
достижение соглашений между экономическими субъекта- Игрок A
x1
ми, — так называемые игры торга. В таких играх в условиях
Игрок B
полной информации решения всегда Парето-оптимальны.
Игрок B
? x1 ?
?1 – x1?
x2
Игра 15. &S%!a[265 Игрок A
Два игрока (A и B) делят между собой некоторую сумму
денег (или любое бесконечно делимое благо). Будем считать, Игрок A ? ?A x2 ?
??B (1 – x2)?
x3
что общее количество равно 1. Дележ можно задать долей, Игрок B
x ? [0, 1], достающейся игроку A. Если игрок A получает x,
? 2 ?A x3 ?
2
? 0?
то игрок B, соответственно, получает 1 – x. Торг происходит
??B (1 – x3)?
?0?
в несколько раундов. На каждом раунде один из игроков
предлагает дележ xj, где j — номер раунда. Другой игрок
?enoiie 179
может либо отклонить, либо принять этот дележ. Если дележ
принимается, то торг заканчивается и игроки получают свои
доли (xj, 1 – xj). Если дележ отклоняется, то настает очередь другого игрока предложить
свой дележ. Игрок A предлагает дележ в раундах с нечетными номерами, а игрок B — в
раундах с четными номерами. Если за n раундов игроки не договорятся, то игра заканчи-
вается и каждый игрок получает 0.
Предполагается, что игроки предпочитают получить деньги как можно раньше, поэтому
полученная сумма денег умножается на дисконтирующий множитель, то есть если игроки
договорятся на j–м раунде, то их выигрыши составят ?A xj и ?B (1 – xj) соответственно,
j–1 j–1


где ?A, ?B ? (0, 1) — дисконтирующие множители. (
Игрок A
x1
Игрок B
Рассмотрим эту игру при n = 3. На Рис. 179 показано дерево ? ?A ?
2
? x1 ?
игры. ??B (1 – ?A )? ?1 – x1?
Проанализируем эту игру, используя обратную индукцию.
В последнем раунде игрок B заведомо примет предложение ?enoiie 180
игрока A, если ?B (1 – x3) > 0, т.е. если x3 < 1. Если x3 = 1, то
2

игроку B все равно, принять или отклонить предложение. Игроку A выгодно назвать x3
?
как можно большим. Значит, в равновесной стратегии не может быть x3 < 1, ведь игрок A
тогда мог бы немного увеличить x3, не изменив выбора игрока B, и увеличил бы при этом
свой выигрыш. Таким образом, в равновесии x3 = 1. Чтобы при этом действительно было
равновесие, игрок B должен в своей стратегии быть «благожелательным» по отношению к
A, то есть принять его предложение; в противном случае игрок A мог бы предложить x3
меньше 1 и увеличить при этом свой выигрыш.
Анализ 3-го раунда показывает, что игрок A должен будет предложить x3 = 1, а игрок B
должен будет принять этот дележ. Мы можем теперь «свернуть» игру, заменив 3-й раунд
на конечный узел с выигрышами ?A и 0.
2




265
Rubinstein, A. (1982), "Perfect Equilibrium in a Bargaining Model," Econometrica, 50, 97-109.

692
693
Во 2-м раунде игрок A выбирает между ?A (если отклоняет предложение) и ?A x2 (если
2


принимает). Таким образом, если x2 > ?A, то он примет предложенный дележ, а если x2 <
?A, то отклонит. При x2 = ?A игроку A все равно, какой выбор сделать. Игрок B предпочтет
получить выигрыш ?B (1 – x2), а не 0, поэтому он не станет предлагать x2 < ?A. С другой
стороны любой дележ x2 > ?A не является равновесным, поскольку игрок B в этом случае
может уменьшить x2, не меняя выбора игрока A, и, тем самым, увеличить свой выигрыш.
Таким образом, в равновесии x2 = ?A. Чтобы этот выбор был равновесным, требуется, что-
бы в равновесии игрок A принял дележ x2 = ?A,
несмотря на то, что отказ от этого дележа должен u2
1
принести ему такой же выигрыш.266
Остается торг, состоящий из одного раунда, в ко-
тором игроки получат ?A и ?B (1 – ?A), если не при-
2

дут к соглашению (см. Рис 180). Рассуждения, ана-
логичные приведенным выше, показывают, что
уже в первом раунде игроки придут к соглашению:
игрок B примет дележ x1 = 1 – ?B (1 – ?A), предло- ?B(1–?A)
женный игроком A. Выигрыши при этом составят
1 – ?B (1 – ?A) и ?B (1 – ?A). u1

?A
2
1–?B(1–?A) 1
О торге в условиях полной информации можно
?enoiie 181
сделать два замечания:
1) Торг заканчивается на первом раунде.
2) Равновесный исход Парето-оптимален.


Рис. 181 показывает графический способ нахождения равновесия в игре «Торг» при n = 3.
На этом графике видно, как изменяется граница Парето от раунда к раунду, сжимаясь в
сторону начала координат из-за дисконтирования. Процесс нахождения решения изобра-
жен толстой кривой, выходящей из начала координат.

Задачи


44. Постройте по своему имени и фамилии игру, как это описано в задаче 16 на стр. 650.
Найдите в этой игре границу Парето. Есть ли среди равновесий Нэша Парето-
оптимальные?


45. Объясните, почему в антагонистической игре (игре, в которой сумма выигрышей иг-
роков — постоянная величина) любой исход является Парето-оптимальным.


46. Объясните, в чем состоит аналогия между аукционом, в котором игрок платит назван-
ную им цену, и игрой Ауманна (дилеммой заключенных). Представьте аукцион с двумя
участниками как игру и сравните множество равновесий Нэша с границей Парето.

266
Это довольно естественно, если взглянуть на ситуацию с той точки зрения, что игрок B всегда может
предложить игроку A дележ x2 = ?A – ?, где ? — малое положительное число, тем самым гарантируя, что A
примет дележ. Число ? здесь можно выбрать произвольно малым.

693
694


47. Рассчитайте общие выигрыши (в каждой из конечных вершин) в повторяющейся два-
жды игре Ауманна, изображенной на Рис. 178, считая, что дисконтирующие множители
обоих игроков равны 1/2.


48. При каких значениях дисконтирующих множителей пара стратегий следующего вида
будет совершенным в подыграх равновесием в повторяющейся игре Ауманна: «В первом
раунде сотрудничать; в остальных раундах поступать так же, как другой игрок в преды-
дущем раунде»?267


49. Найдите совершенное в подыграх равновесие в бесконечно продолжающемся торге.
Решение может опираться на тот факт, что через каждые два раунда подыгра, начинаю-
щаяся с текущей вершины, повторяет исходную игру с точностью до дисконтирования.
Таким образом, естественно искать стационарное равновесие. Найдите такое равновесие и
покажите, что оно является совершенным в подыграх равновесием. Будет ли это равнове-
сие оптимальным по Парето?




267
По-английски эту стратегию называют tit-for-tat, что может означать как «око за око», так и «услуга за
услугу».




694
695


Математическое приложение
Свойства однородных функций
n
Напомним, что функция ? (x):   >   называется однородной степени ?, если для любого
положительного числа t выполнено
? (tx) = t?? (x).

Теорема 1. Дифференцируемая функция ? (.) является однородной степени ? тогда и
только тогда, когда выполняется тождество (формула Эйлера)
??(x)
¤ xi = ? ? (x).
?xi


Теорема 2. Если дифференцируемая функция ? (x) однородна степени ?, то ее произ-
??(x)
?i однородна степени ? – 1.
водная
?xi



Теорема Юнга
Теорема 3. (теорема Юнга)
n n
Пусть функция f :   >   дважды непрерывно дифференцируема в точке x?  . Тогда
?2f (x) ?2f (x)
= i, j = 1, ..., n.
?xi?xj ?xj?xi

Теоремы о неподвижной точке
Теорема 4. (теорема Брауэра)
n
Пусть A ?   — непустое, компактное и выпуклое множество и функция f : A > A не-
прерывна на A. Тогда существует точка x ? A:
-
- -
x = f (x).


Теорема 5. (теорема Какутани)
n
Пусть A ?   — непустое, компактное и выпуклое множество и f : A > A — полунепре-
рывное сверху отображение, такое что f (x) — непустое выпуклое множество для любой
точки x ? A. Тогда существует точка x ? A:
-
x ? f (x).
- -

Теоремы отделимости
Теорема 6. (теорема Минковского)
n n
Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество C ?   и точка x ?   , не при-
n
надлежащая C. Тогда найдется вектор a ?   , a ? 0, и два числа b1, b2 ?  , b1 > b2, такие
что выполнены неравенства:


695
696
n
¤ai xi > b1
i=1

и
n
¤ai yi < b2 ?y ? C.
i=1




n n
Пусть имеются непустое замкнутое выпуклое множество C ?   и точка x ?   , не при-
n
надлежащая C. Тогда найдется вектор a ?   , a ? 0, и число b ?  , такие что выполнены

<< Предыдущая

стр. 161
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>