<< Предыдущая

стр. 162
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

неравенства:
n
¤ai xi > b
i=1

и
n
¤ai yi < b ?y ? C.
i=1




Теорема 7.
n
Пусть имеются два непустых выпуклых множества C1, C2 ?   не имеющие общих точек.
n
Тогда найдется вектор a ?   , a ? 0, и число b ?  , такие что выполнены неравенства:
n
¤ai xi > b ?x ? C1.
i=1

и
n
¤ai yi < b ?y ? C2.
i=1




Теорема об огибающей
В микроэкономическом анализе широко используется класс утверждений (называемых
теоремами об огибающей) следующего типа:

Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра a.
?(x1, ..., xn, a) > max
?j(x1, ..., xn, a) = 0, j = 1, ..., m. (**)


Теорема 8.
Пусть x(a) — решение задачи (**), ?(a) — множители Лагранжа, соответствующие ре-
шению, и l(a) = ?(x(a), a).
Предположим, что в точке a0 выполнены следующие свойства:
¦ функции ?(.) и ?j(.) вогнуты и дифференцируемы,
¦ решение задачи существует и единственно и функция x(.) дифференцируема,

696
697
Тогда выполняется соотношение
?? ??j
dl
(x(a0), a0) + ¤ ? j(a0)
(a0) = (x(a0), a0).
?a ?a
da j


Теоремы о непрерывности выпуклой функции (на
внутренности ее множества определения)
Теорема 9. Выпуклая (вогнутая) функция непрерывна на внутренности ее множества
определения.

Теоремы о дифференцируемости значения экстремальной
задачи
Рассмотрим класс задач, зависящих от параметра p ?   .
m


?(x, p) > max x (***)
x ? X? 
n


Предположим, что эта задача имеет решение при всех p ? P. а функция ?(?) дифференци-
руема. Обозначим l(p) = ?(x(p), p) ?p ? P.

Теорема 10.
Функция l(p) имеет производную в точке p ? int P тогда и только тогда, когда решение
задачи x(a) единственно.



Теоремы о непрерывности решений задачи оптимизации
Теорема 11.
Пусть x (p) – множество решений задачи
u(x)>maxx
p x < ?(p),
x ? X,
n n
где p? +, X?  , X–замкнутое, выпуклое и ограниченное множество и 0?X.
Функция u(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p, , то функция x (p) непрерывна
-
-
в окрестности точки p.


Теорема 12.
Пусть x(p) — множество решений задачи
u(x)>maxx
p x < ?(p),
x ? X,
n n
где p? ++, X?  , X–замкнутое, выпуклое множество и 0?X.
Функция u(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.

697
698
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p, , то функция x (p) непрерывна
-
-
в окрестности точки p.


Теорема 13.
Пусть x (p) – множество решений задачи
u(x)>maxx
p x < ?(p),
x ? X,
n n
где p? +, X?  , X–замкнутое, выуклое и ограниченное множество и 0?X.
Функция u(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p, , то выпуклозначное отобра-
-
-
жение x (p) полунепрерывно сверху в окрестности точки p.


Теорема 14.
Пусть x (p) – множество решений задачи
u(x)>maxx
p x < ?(p),
x ? X,
n n
где p? ++, X?  , X–замкнутое, выпуклое и множество и 0?X.
Функция u(.,.) непрерывна и строго квазивогнута на X.
Если функция ?(p) непрерывна и положительна при p = p, , то выпуклозначное отобра-
-
-
жение x (p) полунепрерывно сверху в окрестности точки p.


Все эти теоремы являются вариантами известного утверждения Бержа:


Теорема 15.
(Многозначное) отображение, которое ставит в соответствие параметру ? множество то-
чек, которые являются решениями следующей экстремальной задачи:
u(x, ?)>maxx
x ? X(?)
-
является полунепрерывным сверху в точке ?, если отображение X(?), и функция u(x, ?)
непрерывны в окрестности этой точки.
В качестве следствия данной теоремы можно получить утверждение о том, что если это
отображение однозначно в окрестности данной точки, т.е. является функцией, то такая
функция является непрерывной в этой точке.


Напомним, что непрерывность многозначного отображения является следующим обобще-
нием непрерывности функции: отображение X(?) является полунепрерывным сверху в
- -
точке ?, для всякого ?>0 существует ?>0 такое, что ?-окрестность множества X(?) содер-
-
жит множества X(?) для всех ? из ?-окрестности ?; отображение X(?) является полуне-
698
699
-
прерывным снизу в точке ?, для всякого ?>0 существует ?>0 такое, что для всех ? из ?-
- -
окрестности ? ?-окрестность множеств X(?) содержит X(?). Отображение называется не-
прерывным, если оно непрерывно сверху и снизу одновременно.
Заметим, что поскольку постоянное отображение непрерывно, непрерывность (полуне-
препрерывность сверху) функции (отображения) предложения гарантируется при сущест-
вовании решения задачи потребителя (поскольку функция прибыли непрерывна как
функция цен).

Теоремы Куна — Таккера
Теоремы Куна — Таккера —родовое название для утверждений, представляющих собой
обобщение теоремы Лагранжа на случай задач оптимизации с ограничениями в виде нера-
венств, т.е. задач следующего типа:
Пусть
?(x) > max
?j(x) > 0, j = 1, ..., m, (*)
x = (x1, ..., xn) ? X.
Здесь ?: X &   — (в соответствие с установившейся терминологией) целевая функция,
?r: X &  , r = 1,...,m, функции ограничений X?   .
n


Мы приведем эти утверждения для случая, когда функции ?, ?r дифференцируемы (тео-
ремы Куна-Таккера в дифференциальной форме).
Напомним, что функция
m
L(x, ?) = ?0?(x) + ¤?j?j(x)
j=1

называется функцией Лагранжа (лагранжианом) этой задачи, а коэффициенты ?j — мно-
жителями Лагранжа.
Имеет место следующее утверждение.

Теорема Джона.
Пусть функции ?(?), ?1(?), ..., ?n(?) дифференцируемы, и x — решение задачи (*), такое
-
что x ? int(X).
-
Тогда существуют множители Лагранжа ?j > 0, j = 0, ..., m, не все равные нулю, такие что
выполнены следующие соотношения (условия Куна — Таккера):
?L(x, ?)
-
= 0, i=1, ..., n
?xi
и
?L(x, ?)
-
m
?j = 0
¤
??j
j=1

(условия дополняющей нежесткости).

Отметим, что условия дополняющей нежесткости можно записать в виде
?j(x)?j = 0, j = 1, ..., m.
-



699
700
Из этих условий следует, что если множитель Лагранжа положителен (?j > 0), то соответ-
-
ствующее ограничение в решении задачи (при для x = x) выполняется как равенство (т.е.
?j(x) = 0). Другими словами, это ограничение активно. С другой стороны, в случае, когда
-
?j(x) > 0, то соответствующий множитель Лагранжа ?j равен нулю.
-
Если в задаче (*) часть ограничений имеет вид ограничений на неотрицательность неко-
торых xi, то для них можно не вводить множители Лагранжа, записав такие ограничения
отдельно:
?(x) > max
?j(x) > 0, j = 1, ..., m, (**)
x ? X,
xi > 0, i ? P ? {1, ..., n}.
Условия первого порядка для i ? P тогда будут иметь следующий вид:
?L(x, ?)
-
< 0.
?xi
Для i ? P здесь, как и в случае представления задачи в виде (*), производная функции Ла-
?L(x, ?)
-
гранжа по той переменной будет иметь вид = 0.
?xi
Кроме того, выполнены также условия дополняющей нежесткости
?L(x, ?)
-
m
?j = 0,
¤
??j
j=1
?L(x, ?)
-
n
¤ -
xi = 0.
?xi
i=1

<< Предыдущая

стр. 162
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>