<< Предыдущая

стр. 17
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Пусть X= + , p? ++, R > 0
1) функция полезности u(x) определена на  + , вогнута и дважды непрерывно диффе-
K

ренцируема;
2) градиент ?u(x) неотрицателен и удовлетворяет неравенству ?u(x)x > 0;
3) матрица вторых частных производных H функции u(x) отрицательно определена.
Тогда, функция спроса x(p,R) удовлетворяет закону спроса тогда и только тогда, когда
K
для любого x? + выполнено неравенство:
?u(x)x x?Hx
< 4.

?u(x)H ?u(x)? ?u(x)x
-1




Доказательство:
Доказательство данного утверждения достаточно длинно и технично, заинтересованный
читатель сможет его найти в работах: Митюшин Л.Г., Полтерович В.М., Критерий моно-
тонности функций спроса, Экономика и математические методы, Т. 14(1), 1978 и Полте-
рович В.М., Экономическое равновесие и хозяйственный механизм, М., Наука, 1990, стр.
69-77. Некоторый вариант этой теоремы в терминах непрямой функции полезности можно
найти в Quah, J. K.-H., The weak axiom and comparative statics, Oxford University, Discussion
paper, 1999.
¦
Отметим, что, несмотря на силу заключения данной теоремы, она мало применима, так
как прямая проверка выполнения сформулированного неравенства даже в случае двух
товаров достаточно утомительна, а в пространствах большей размерности вряд ли пред-
ставляется возможной. Но она служит полезным источником для получения достаточных
условий выполнения закона спроса. В рамках сделанных предположений, первое слагае-
мое отрицательно, поэтому закон спроса будет заведомо выполнен в случае справедливо-
сти неравенства:
x?Hx
< 4.

?u(x)x
В этом параграфе мы рассмотрели прямую и двойственную задачи потребителя, изучили
их свойства и рассмотрели некоторые основные соотношения связывающие эти задачи. В
следующем параграфе мы продолжим рассмотрение основных свойств данных задач, ис-
пользуя аппарат дифференциального исчисления.

Задачи
71. Для каждой из нижеприведенных функций найти маршаллианскую функцию спроса,
непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Про-
иллюстрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской
функциями спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов.
a) u(x)=x1+ x2;

76
77

b) u(x)= x1 + x2;
c) u(x)= x1 + x2;
d) u(x)=x1x2;
2
x2
e) u(x)= ln(x1)+ 2 ;
x x2
f) u(x)= x 1 x ;
1+ 2
2 2
g) u(x)= x1 +x2 ;
h) u(x)=min{ x1, x2};
i) u(x)=max{ x1, x2};
j) u(x)=min{ 2x1– x2, 2x2– x1};
2 2
k) u(x)=28x1+28x2–2x1 –3x1x2–2x2
2 2
l) u(x)= x1 +x2 +4x1+4x2+2x1x2+6.
Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллиан-
ской функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса,
функции расходов.


72. Приведите пример функции полезности, для которой:
• Доля средств, расходуемых потребителем на приобретение каждого блага — постоян-
ная (и положительная) доля совокупных расходов потребителя.
• Спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага
и совокупных потребительских расходов.
• Спрос потребителя на первые l–1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ.
• Спрос потребителя на первые l–1 благо зависит лишь от цены данного блага.
• Структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к ве-
личине 1 блага, j=1,..., l).
• Отображение спроса не является выпуклым множеством.


73. Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функ-
ция полезности v(p,R) имеет вид v(p,R) = a(p) + b(p)R для тех значений p и R, при кото-
рых оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количе-
ствах).


74. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функ-
ций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.


75. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискрет-
ным (доступные уровни его потребления — целые числа), а потребитель имеет квазили-
нейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него
на уровне 1, 2, …?


77
78



76. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезно-
сти — выпуклая функция цен.


77. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l-ое благо входит ли-
нейно, то хиксианский спрос на первые l–1 благо не зависит от U. Каков вид функции
расходов в этом случае? При каких предположениях справедливы вышеприведенные ут-
верждения?


78. Докажите теорему 17.


79. Пусть все исходные данные те же что и в примере 8. Укажите геометрическое место
точек, среди которых может находиться спрос потребителя, обладающего квазилинейны-
ми предпочтениями.


80. (Алипрантис, Браун, Беркеншо) Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y) = x + y
+y+z/(1+z).
(а) Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна.
3
(б) Покажите, что если (x, y, z)?  + и z>0, то (x, y+ z, 0) } (x, y, z). (в) Пусть p>>0 и p2 =
p3. Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство z(p,R)=0.
(г) Рассмотрите последовательность цен pn=(1, 1/n, 1/n) чему равны пределы z(pn,R) и
y(pn,R).


81. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возможно,
маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую функцию полезности и функцию расходов для
потребителя, описываемого лексикографическими предпочтениями.


82. Сформулируйте и докажите аналоги теорем 14 – 19 для случая когда доход потреби-
теля формируется за счет продажи начальных запасов w.


83. Сформулируйте и докажите аналоги теорем 14 – 19 для случая когда доход потреби-
теля формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы равна w,
потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является одним из
благ, количество потребления которого выбирает потребитель.


84. (МасКолелл, Винстон, Грин) Рассмотрите следующую функцию расходов
?
e(p, x) = exp{??lln(pl) + (?p l l)u(x)}.

При каких ограничениях на параметры ?l, ?l данная функция является функцией расхо-
дов? С учетом ответа на первый вопрос найдите отвечающую ей непрямую функцию по-
лезности.


78
79

85. Пусть непрямая функция полезности имеет вид a(p) + b(p)R. Какими свойствами
должны обладать функции a(p) и b(p) для того чтобы данная функция была непрямой
функцией полезности рационального потребителя.


86. В экономике присутствует два товара. Потребитель имеет локально ненасыщаемые
3R
предпочтения и функция спроса на первый товар имеет вид x1(p, R) = . Найдите
3p1+4 p1 p2
компенсирующее изменение дохода по Слуцкому при p=(1, 1), p?=(1, 4) и R=121.


87. Пусть непрямая функция полезности некоторого потребителя имеет вид: ?(p, R) =
R
. Найдите компенсирующее изменение дохода по Хиксу при p=(1, 1), p?=(1, 4)
min{p1, p2}
и R=121.


88. Функция полезности называется псевдовогнутой, если из условия ?u(x)(y – x) < 0,
следует, что u(y)< u(x). Покажите, что если функция полезности является псевдовогну-
той, то условия Куна-Таккера являются достаточными условиями для нахождения реше-
ния задачи потребителя. Покажите, что любая вогнутая функция является псевдовогнутой,
а любая псевдовогнутая функция является квазивогнутой.


89. Пусть функция полезности равна u(x) = (x1+x2–2)3. Цена на первый товар равна 1, а на
второй равен 2. Доход потребителя равен 3. Проверьте, что целевая функция квазивогнута
и локально ненасыщаема. Покажите, что точка (1, 1) удовлетворяет условиям Куна-
Таккера, но не является оптимальной.
?R (1 –?)R
90. Пусть функция спроса некоторого потребителя равна x(p, R) = ( p , ), а не-
p2
1
??(1 –?)(1 –?)R
прямая функция полезности равна ?(p, R) = . Найдите функцию расходов и
p1?p2(1 –?)
хиксианский спрос.


R R
91. Покажите что функция ?(p,R) = p + p удовлетворяет всем свойствам непрямой
1 2
функции полезности и вычислите на ее основе функцию затрат и функции спроса (мар-
шаллианского и хиксианского).


92. Проверьте выполнение соотношений двойственности (взаимности) в случае если пове-
дение потребителя описывается функцией полезности: u(x) =[x1x2], где [.] – оператор взя-
тия целой части.


93. Пусть потребитель имеет однородную первой степени функцию полезности при ценах
p=(1, 1) и доходе R=5 его функция спроса была равна x(p, R) = (2, 3). Определите геомет-
рическое место точек, которые могут представлять спрос потребителя, если на покупку
первого товара ввели налог в размере 20% от цены, а доход потребителя остался неизмен-
ным. Ответьте на этот вопрос, в случае если налог на доход потребителя изменился с 20
до 40 процентов.

79
80



94. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид:
K
u(x)=¤ ui(xi). Запишите достаточные условия оптимальности для задачи потребителя в
i=1
предположении, что потребитель имеет выпуклые, локально ненасыщаемы предпочтения.
Покажите, что если u?i(0) = +?, то потребитель покупает все блага в положительных ко-
личествах.


95. Пусть функция полезности потребителя аддитивно-сепарабельна, то есть имеет вид:
K
u(x)=¤ ui(xi). Кроме того, предположим, что выполнены все условия теоремы 20 и каж-
i=1
дое слагаемое ui(xi) положительно однородно степени ?i >0. Покажите, что спрос данного
потребителя удовлетворяет закону спроса.


96. Пусть функция полезности, представляющая некоторое нетранзитивное отношение,
–1/2 1/2 –1/2 1/2
имеет вид k(x, y) = y1 x2 + ln(x3) – x1 y2 – ln(y3). Найдите маршаллианский спрос дан-
ного потребителя. (Для пояснения обозначений смотри теорему 9.)

Дифференциальные свойства задачи потребителя
Перед тем как перейти к рассмотрению дополнительных содержательных свойств реше-
ния задачи потребителя, проведем предварительную подготовку и приведем условия га-
рантирующие дифференцируемость функций спроса, непрямой функции полезности и
функции расходов. Эти технические вопросы послужат некоторым обоснованием закон-
ности применяемых далее рассуждений.

Теорема 21.
K K
Пусть X= + , p? ++, R > 0, функция полезности обладает свойствами локальной нена-
сыщаемости, сильной квазивогнутости, непрерывности и дважды непрерывно диффе-
ренцируема. Предположим, что оптимальный потребительский набор строго положите-
лен, x(p,R)>>0. Тогда,
1) функция маршаллианского спроса x(p,R) и непрямая функция полезности ?(p, R)
непрерывно дифференцируемы по ценам и доходу;
2) функция хиксианского спроса h(p, x) и функция расходов e(p, x) непрерывно диф-
ференцируемы по ценам.


<< Предыдущая

стр. 17
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>