<< Предыдущая

стр. 18
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство:
Как было показано в предыдущем параграфе, приведенные предположения гарантируют,
что условия Куна-Таккера являются необходимыми и достаточными условиями опти-
мальности для задачи потребителя. Также было показано, что при выполнении этих усло-
вий множитель Лагранжа строго положителен. С учетом этого факта и того, что
x(p,R)>>0 условия Куна-Таккера (условия первого порядка) которые определяют по-
требительский спрос как функцию от параметров (p, R) задачи, запишутся следующим
образом.
?u(x) – ?p? = 0;
px –R =0.

80
81

По теореме о неявной функции42 функция спроса x(p,R) и множитель Лагранжа ? будут
непрерывно дифференцируемыми если матрица
? H(x(p,R)) p? ?
? ?,
? 0?
p
является невырожденной, где матрица H(x(p,R)) – матрица вторых частных производ-
ных функции полезности, вычисленная в точке спроса. Невырожденность этой матрицы
эквивалентна невырожденности матрицы (Почему?)
H(x(p,R)) ?u(x)? ?
˜?
H=? ?.
? ?u(x) ?
0
˜
Покажем, что при сделанных нами предположениях матрица H не вырожденная. Пред-
положим противное. Тогда существует такой вектор y и число z, такие, что Hy + ?u(x)?
z = 0 и ?u(x)y=0, где (y, z)?0. Пусть y=0, а z?0, то ?u(x) = 0. Это противоречит дока-
занному ранее свойству существования такого блага i, что ui?(x(p,R)) > 0. Пусть теперь
y?0, тогда y?Hy + y??u(x)?z = y?Hy = 0 и ?u(x)y=0, что противоречит свойству силь-
˜
ной квазивогнутости. Таким образом, мы доказали, что матрица H не вырождена. И, тем
самым, функция маршаллианского спроса и множитель Лагранжа ? являются непрерывно
дифференцируемыми по ценам и доходу. В силу определения непрямой функции полез-
ности ?(p, R)= u(x(p, R)) и непрерывной дифференцируемости функции полезности и
функции спроса имеем непрерывную дифференцируемость непрямой функции полезности
по ценам и доходу. В силу свойств взаимности ?(p, e(p, x)) = u(x). С учетом монотонно-
сти непрямой функции полезности по доходу и непрерывной дифференцируемости не-
прямой функции полезности имеем непрерывную дифференцируемость функции расходов
по ценам. Наконец, в силу соотношения x(p, e(p, x)) = h(p, x), непрерывной дифферен-
цируемости функции спроса по доходу и непрерывной дифференцируемости функции
расходов по ценам имеем непрерывную дифференцируемость хиксианского спроса по
ценам.
¦
В задачах к этому параграфу читателю предложат доказать непрерывную дифференци-
руемость функции расходов и хиксианского спроса по x.
При выполнении условия дифференцируемости непрямой функции полезности, функции
расходов и функций маршаллианского и хиксианского спросов выполняются три важных
свойства теории потребителя: лемма Шепарда, тождество Роя и уравнение Слуцкого.
Связь между функциями расходов и (хиксианского) спроса описывается леммой Шепарда.

Теорема 22. (Лемма Шепарда43)
Пусть решение взаимной (двойственной) задачи внутреннее и выполнены условия тео-
ремы 21, тогда44
?e(p,x)
= hi(p, x)
?pi




42
Смотри, например, Зорич, В.А., Математический анализ I, М., МЦНМО, 2001, стр. 568-69.
43
Shephard, R. W., Cost and production function, Princeton, Princeton Univ. Press, 1953
44
На самом деле для справедливости данного утверждения достаточно дифференцируемости функции рас-
ходов и непрерывности системы неоклассических предпочтений.

81
82

Доказательство:
Учитывая значение этого результата для теории потребления, укажем несколько его обос-
нований.
A) По определению функции расходов e(p, x) = ph(p, x) ?p, x. Продифференцировав это
тождество по pi, получим соотношение:
?e(p,x) ?h (p,x)
K
= hi(p, x) + ¤pj j .
?pi ?pi
j=1

Остается показать, что второе слагаемое равно нулю.
Последнее утверждение стоит проинтерпретировать. Хотя при изменении цен рассматри-
ваемых благ потребитель меняет свое поведение, предпочитая, вообще говоря, другой
потребительский набор, при расчете изменения расходов на приобретение нового набора в
первом приближении можно не учитывать этого изменение спроса потребителя. Другими
словами, новые расходы в первом приближении рассчитываются, как если бы оптималь-
ный выбор остался неизменным, т.е. эти новые расходы равны стоимости старого набора в
новых ценах. Изменение спроса проявляется лишь во втором приближении.
Докажем это утверждение.
Так как h(p, x) — решение задачи взаимности, то по теореме Куна-Таккера существует
множитель Лагранжа ? ограничения задачи такой, что
?u
pj = ? (h) ?j.
?hj
Отсюда
?hj(p,x) ?u ?hj(p,x)
K K
=?¤
¤pj .
?pi ?hj ?pi
j=1 j=1

По доказанному свойству функции хиксианского спроса имеем u(h(p, x)) ? u(x). Про-
дифференцировав это тождество по pi, получаем требуемое соотношение
?u ?hj(p,x)
K
¤ = 0.
j=1 ?hj ?pi
Другое доказательство этого факта состоит в построении касательной для графика функ-
ции расходов.
B) Обозначим p–i = (p1,..., pi–1, pi+1,...,pK), и p = (pi, p–i). Пусть p* — некоторая точка. Зафик-
сируем все цены, кроме цены i-го блага p–i = p*–i . Покажем, что прямая pihi(pi, p*–i, x) + ¤
j?i
p h (pi, p –i, x) касается графика функции e(pi, p –i, x) в точке p i. Действительно, набор
* * * *
jj
h(p , x) при ценах p* требует минимальных расходов на приобретение из наборов, обес-
*

печивающих тот же уровень благосостояния, что и потребительский набор x. При любых
других ценах он допустим, но, вообще говоря, не минимизирует расходы. При ценах (pi,
p*–i) минимум расходов достигается на потребительской корзине h(pi, p*–i, x). Другими
словами, справедливо соотношение, которое и устанавливает требуемый результат о каса-
нии:

e(pi, p*–i, x) = pihi(pi, p*–i, x) + ¤pj*hj(pi, p*–i, x)< p*ihi(p*, x) + ¤pj*hj(p*, x).
j?i j?i

Сказанное иллюстрирует нижеприведенный график.


82
83


R
pihi(pi, p*–i, x) + ¤pj*hj(pi, p*–i, x)
(расходы)
j?i


А
e (pi, p*–i, x)

pi

?enoiie 13 Eee?no?aoey aieacaoaeunoaa eaiiu Oaia?aa
Согласно неравенству, кривая e(pi, p*–i, x) лежит под прямой

pihi(pi, p*–i, x) + ¤pj*hj(pi, p*–i, x)
j?i

и имеет с ней общую точку (p*i, e(p*, x)) (точка А на рисунке). Значит, эта прямая являет-
ся касательной к кривой e(pi, p*–i, x). Наклон прямой в точке касания равен hi(p*, x). Та-
ким образом, производная функции e(pi, p*–i, x) в точке p*i равна hi(p*, x). Тем самым мы и
доказали
?e(p,x)
= hi(p, x).
?pi
¦
Из леммы Шепарда следует, что по функции расходов всегда можно построить функцию
(хиксианского) спроса. Отметим также, что из нее следует, дважды непрерывно диффе-
ренцируемость функции расходов, так как непрерывно дифференцируемым является хик-
сианский спрос.
Пример 12.
Выше мы нашли, что для потребителя с функцией полезности u(x)= x1 +a x2 функция
p1p2( x1 +a x2 )2
расходов равна e(p, x) = . Проиллюстрируем для данной функции расхо-
p2+a2p1
дов лемму Шепарда для первого товара. Продифференцируем функцию расходов e(p, x)
по p1:
?e(p,x) p2 ( x1 +a x2 )2(p2+a2p1) – a2p1p2( x1 +a x2 )2 p2 ( x1 +a x2 )
2
2
= h1(p, x).
= =
(p2+a2p1)2 (p2+a2p1)2
?p1
Вполне естественно, что в качестве результата дифференцирования мы получили найден-
ный нами ранее хиксианский спрос.
?

Теорема 23. (Тождество Роя)
Пусть выполнены условия теоремы 22, тогда
??(p, R) ??(p, R)
– / = xi(p, R)
?pi ?R


Доказательство:
Для доказательства этого тождества воспользуемся одним из тождеств взаимности:


83
84

?(p, e(p, x)) = u(x).
Продифференцируем это тождество по pi:
?e
?? ??
(p, e(p, x)) + (p, e (p,U)) (p, x) = 0.
?pi ?R ?pi
?e(p,x)
По лемме Шепарда = hi(p, x), следовательно
?pi
?? ??
(p, e(p, x)) + (p, e(p, x)) hi(p, x) = 0.
?pi ?R
В качестве x возьмем x = x(p, R).
Воспользуемся тождествами h(p, x(p, R)) ? x(p, R) и e(p, x(p, R)) ? R. Из них следует,
что верно соотношение
??(p, R) ??(p, R)
– / = xi(p, R).
?pi ?R





Пример 13.
Как показано ранее для потребителя с функцией полезности u(x)= x1 +a x2 непрямая
R(p2 + a2p1)
функция полезности равна ?(p, R) = . Проиллюстрируем тождество Роя для
p2p1
??(p, R) ??(p, R)
первого товара. Для этого найдем и :
?R ?p1
??(p, R) 1 (p2 + a2p1)
=2 Rp2p1 и
?R
??(p, R) 1 a2p1 p2R – p2R(p2 + a2p1) 1
p2p1 p2p1 –R
=2 =2 R(p2 + a p1) (p1)2 .
R(p2 + a2p1) (p2p1)2 2
?p1
??(p, R) ??(p, R) (p2 + a2p1) Rp2
p2p1 R
С учетом этого – = R(p2 + a p1) (p1)2 / Rp2p1 = p1(p2 + a2p1).
/ 2
?pi ?R
Несложно, заметить, что найденная функция является спросом на первый товар для функ-
ции полезности u(x)= x1 +a x2 .
?

Теорема 24. (Уравнение Слуцкого45)
Пусть выполнены условия теоремы 22, тогда
?hi ?x ?x
(p, x(p, R))= i (p, R)+ i (p, R) xj(p, R).
?pj ?pj ?R

45
Slutsky,E., Sulla Teoria Del Bilancio Del Consumatore, Giornale Degli Economisti, Vol. 51, 1915, русский пе-
ревод Слуцкий, Е. Е., К теории сбалансированного бюджета потребителя, в Народнохозяйственные модели.
Теоретические вопросы потребления, М., Изд-во АН СССР, 1963.

84
85

?hi ?x
(p, x(p, R)) — эффект замены, i (p, R)xj(p, R)— эффект дохода.
?pj ?R


<< Предыдущая

стр. 18
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>