<< Предыдущая

стр. 19
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство:
-
Для доказательства воспользуемся следующим тождеством взаимности: x(p, e(p, x)) =
-
h(p,x). Продифференцируем это тождество по pj:
?xi ?x ?e ?h
- - - -
(p, e(p, x)) + i ( p, e(p, x)) (p, x) = i (p, x).
?pj ?R ?pj ?pj
?e(p,x)
Воспользуемся леммой Шепарда = hi(p, x). В качестве потребительского набора x
?pi
возьмем x(p, R), тогда в силу соотношений взаимности имеем hj(p, x(p, R)) = xj(p, R) и
e(p, x(p, R)) =R.
Следовательно,
?hi ?x ?x
(p, x(p, R))= i (p, R)+ i (p, R) xj(p, R).
?pj ?pj ?R
¦




Пример 14.
Проиллюстрируем уравнение Слуцкого по первому товару и второй цене для рассмотрен-
ной функции полезности u(x)= x1 +a x2 . Функция спроса для этой функции полезности
a2Rp1
Rp2
равна x(p, R)=(p p + a2(p )2; (p )2 + a2p p ). Функция хиксианского спроса равна h1(p, x) =
12 1 2 12
?x1 ?x1 ?h1
2
2
p2 ( x1 +a x2 )
. Найдем (p, R) x2(p, R) и
(p, R), (p, x(p, R)):
2 2
?p2 ?R ?p2
(p2+a p1)

?x1 R(p1p2 + a2(p1)2) – Rp1p2 a2R(p1)2 a2R
= (p )2(p + a2p )2 = (p + a2p )2;
(p, R) = (p1p2 + a2(p1)2)2
?p2 1 2 1 2 1


?x1 a2Rp1 a2Rp1p2 a2R
p2
(p, R) x2(p, R) = p p + a2(p )2 ? (p )2 + a2p p = p p (p + a2p )2 = (p + a2p )2.
?R 12 1 2 12 21 2 1 2 1


?h1 2p2(p2+a2p1)2 –2(p2)2(p2+a2p1) 2a2p1p2
( x1 +a x2 ) = (p +a2p )3 ( x1 +a x2 )2
2
(p, x) = (p2+a2p1)4
?p2 2 1


?h1 2a2p1p2 2a2p1p2 R(p2 + a2p1) 2a2R
2
(p, x(p, R)) = (p +a2p )3(?(p, R)) = (p +a2p )3 ? = (p +a2p )2.
?p2 p2p1
2 1 2 1 2 1


Проверка уравнения Слуцкого для первого товара и второй цены состоит в проверке ра-
венства:
?h1 ?x1 ?x1
(p, x(p, R)) = (p, R) + (p, R) x2(p, R).
?p2 ?p2 ?R
Выполнение этого равенства очевидно, действительно:
2a2R a2R a2R
(p2+a2p1)2 = (p2 + a2p1)2 + (p2 + a2p1)2.
?

85
86

Теорема 25. (Свойства матрицы замены)
?hi
Пусть выполнены условия теоремы 22, тогда матрица A={ } эффектов замены являет-
?pj
ся симметричной, отрицательно полуопределенной и вырождена.


Доказательство:
Как было отмечено, выше при обсуждении леммы Шепарда при сделанных нами предпо-
ложениях, функция расходов является дважды непрерывно дифференцируемой. Тогда в
силу теоремы Юнга46 ее смешанные вторые производные совпадают, т.е.
?2e ?2e
(p, x) = (p, x).
?pj?pi ?pi?pj
Дифференцируя тождество Шепарда, получаем
?hi ?h
(p, x) = j (p, x).
?pj ?pi
Таким образом, матрица коэффициентов замены функции расходов потребителя, выборы
которого описываются моделью рационального поведения, симметрична. Кроме того, по-
скольку функция расходов e(p, x) — вогнутая функция цен, то матрица коэффициентов
замены является отрицательно полуопределенной. Вырожденность матрицы A читателя
попросят доказать в упражнениях.
¦
Обсудим теперь связь матрицы замены с полученными ранее вариантами закона спроса.
Рассмотрим, вначале, закон спроса при компенсированном изменении дохода по Слуцко-
му: (p? – p)(x(p?, p?x) - x(p, R)) < 0. Пусть p? = p + ?p. Разложим функцию x(p?, p?x) в
- -
?x ?x
ряд Тейлора в окрестности точки p: xi(p?, p?x) = xi(p, R) + ¤ i(p, R) (?pj)? +¤ i (p,
-
j ?pj j ?R
R) xj(p, R)(?pj)+ o(||?p||). Используя это разложение, получаем, что из закона спроса
следует, что ?pA(?p)?+ ?po(||?p||)< 0. Отсюда видно, что если закон спроса при компен-
сированном изменении дохода выполняется со строгим знаком, то матрица коэффициен-
тов замены отрицательно полуопределена. Этот же результат получится при использова-
нии закона спроса при компенсированном изменении дохода по Хиксу. Действительно,
несложно понять, что компенсированные изменения дохода по Слуцкому и по Хиксу бу-
дут сближаться при ?p, стремящемся к 0. Таким образом, получается эквивалентность
этих законов при дифференциально малом изменении цен. В упражнениях вам будет
предложено показать, что следствием закона спроса является отрицательная полуопреде-
?x
ленность матрицы составленной из производных спроса по ценам: i (p, R).47
?pj
Теперь получим основные соотношения, которые связывают производные спроса по це-
нам и доходу.

Теорема 26.




46
Смотри, например, Зорич, В.А., Математический анализ I, М., ЦНМО, 2001, стр.532-34.
47
Собственно говоря, отрицательная определенность, матрицы вторых частных производных хиксианского
спроса эквивалентна выполнению закона спроса. Смотри, цитировавшиеся работы В.М. Полтеровича.

86
87

Пусть x(p, R) – решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) – непре-
рывно дифференцируемая функция по ценам и доходу, тогда выполнены следующие
свойства:
?x
1) для любого i справедливо ¤p i i (p, R) + xj(p, R) =0,
i ?pj
?x ?x
2) для любого k справедливо ¤p i k (p, R) + R k (p, R)= 0,
i ?pi ?R

?x
3) ¤p i i (p, R) = 1.
i ?R


Доказательство:
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.
¦
Данные соотношения знакомы читателю по курсам микроэкономики промежуточного
курса. Обычно они переформулируются в терминах эластичностей спроса по доходу и
ценам.


Определение 20.
называется выражение –
Эластичностью спроса на i-ое благо по доходу

?xi R
R
(p, R)x (p, R).
Ei =
?R i


называется выражение –
Эластичностью спроса на i-ое благо по цене i-ого

?xi pj
p
(p, R)x (p, R) .
E ij =
?pj i


Долей дохода, затрачиваемой на покупку i-ого благо, называется выражение –
pixi(p, R) p x (p, R)
µi(p, R)= px(p, R) = i i R .


С учетом этого определения теорема 26 может быть переформулирована в виде:

Теорема 27.
Пусть x(p, R) – решение задачи потребителя. Предположим, также что x(p, R) – непре-
рывно дифференцируемая функция по ценам и доходу, тогда выполнены следующие
свойства:
p
1) µ(p, R)E = –µ(p, R),
p
2) для любого k справедливо Ek = – ¤E kj,
R

k

3) µ(p, R)E =1.
R




Доказательство:
Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.


87
88

¦
Перечисленные в данном параграфе соотношения важны для характеризации спроса, по-
рожденного моделью рационального поведения. Они являются не только необходимыми
(как мы только что установили), но и достаточными (как покажем далее) условиями того,
что некоторая функция цен и уровней полезности является функцией расходов рацио-
нального потребителя. Согласно уравнению Слуцкого эти характеристики могут быть
выражены в терминах первых частных производных маршаллианского спроса, которые,
как предполагается, являются непосредственно наблюдаемыми, что дает возможность
проверять согласованность наблюдаемого потребительского поведения с моделью рацио-
нального поведения и восстанавливать предпочтения потребителя на основе его рыночно-
го поведения (выборов).

Задачи
H(x(p,R)) ?u(x)? ?
˜?
97. Покажите, что невырожденность матрицы H = ? ? является необ-
? ?u(x) ?
0
ходимым условием дифференцируемости функции спроса.

98. Докажите, что при приведенных в тексте предположениях функция расходов и функ-
ция хиксианского спроса являются непрерывно дифференцируемыми по x.

99. Является ли дифференцируемым на положительном ортанте, функция спроса потреби-
3 3
теля, у которого u(x)= x1x2 + x1x2. (Данный пример показывает, что для дифференцируе-
мости недостаточно строгой квазивогнутости, дважды непрерывной дифференцируемости
и локальной ненасыщаемости)

100. Докажите аналог уравнения Слуцкого для случая, когда доход потребителя формиру-
ется за счет продажи начальных запасов w.


101. Сформулируйте и докажите аналог уравнения Слуцкого для случая когда доход по-
требителя формируется за счет заработной платы. Почасовая ставка заработной платы
равна w, потребитель располагает 24 часами времени в сутки. Время отдыха является од-
ним из благ, количество потребления которого выбирает потребитель.

102. Проверьте выполнение леммы Шепарда, тождества Роя и уравнения Слуцкого для
следующих функций полезности:
- Кобба-Дугласа, - CES, -Леонтьева,
- линейной, - квазилинейной,
- аддитивной.

103. Пусть выполнен закон Вальраса и функция спроса однородна нулевой степени.
Пусть, кроме того, в экономике обращается только два товара. Докажите симметричность
матрицы Слуцкого, не делая предположения о максимизации полезности потребителем.


104. Пусть A — матрица коэффициентов замены. Докажите, что pA = 0.

105. В экономике 2 товара. Известно, что в матрице замены a11 = –2 и a22 = –1. В этом слу-
чае элемент a21 равен

<< Предыдущая

стр. 19
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>