<< Предыдущая

стр. 20
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

88
89



106. Матрица замены при ценах p1 = 1, p2 = 2, p3 =6 имеет вид
? –10 ? ? ?
? ? –4 ? ? .
? 3 ? ??
Найдите пропущенные элементы. Может ли эта матрица быть матрицей замены рацио-
нального потребителя?


107. Пусть в экономике представлено 3 блага. Спрос на первое блага имеет вид x1(p, R) =
R R
1/2 . Спрос на второе благо имеет вид x2(p, R) = . Проверьте
2p1(1 + (p2/p1) ) 2p2(1 + (p2/p1)1/2)
выполнение уравнения Слуцкого.


108. (МасКолелл, Винстон, Грин) В экономике с тремя благами потребитель имеет поло-
жительный доход R > 0 и его функции спроса на первое и второе благо равны
p p R
x1 = 100 – 5 p1 + ? p2 +? p ,
3 3 3

p p R
x2 = ? + ? p1 + ? p2 +?p ,
3 3 3

где ?, ?, ?, ? > 0.
(a) Объясните, как можно рассчитать спрос не третье благо (вычисления делать не надо).
(б) Являются ли функции спроса для x1 и x2 однородными требуемой степени?
(в) Какие ограничения на параметры ?, ?, ?, ? должны выполняться, чтобы данные функ-
ции спроса могли быть порождены задачей максимизации полезности.
(г) Используя результаты пункта (в) для фиксированного значения спроса на 3-й товар
изобразите кривые безразличия в пространстве (x1, x2).
(д) Что можно сказать о свойствах функции полезности этого потребителя? (Используйте
результаты пункта (г).)


109. Докажите утверждения теорем 26 и 27.


110. Покажите, что если блага комплементарны, то эффект замены отсутствует, а если
предпочтения квазилинейны (для спроса на благо, уровень полезности которого нелиней-
но зависит от потребления этого блага) то отсутствует эффект дохода.


111. Покажите, что если функция полезности аддитивно–сепарабельна и строго монотон-
на, то в экономике не будет взаимодополняемых товаров


112. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то функции спроса
удовлетворяют соотношению
?xi(p,R) ?xj(p,R)
.
=
?pj ?pi

89
90



113. Во вводных курсах микроэкономики обычно вводят следующее определение благ-
заменителей и комплементарных благ (в терминах функций спроса Маршалла):
?x2
«Благо 1 называется субститутом блага 2, если < 0».
?p1
?x2
«Благо 1 называется комплементарным для блага 2, если > 0».
?p1
Покажите, что такое определение ведет к парадоксам. Например, возможна ситуация, ко-
гда благо 1 является субститутом блага 2, а обратное неверно.
Покажите также, что, аналогичные определения в терминах функции спроса Хикса (при-
ведите их) свободны от парадоксов такого типа.


114. Покажите, что любой товар Гиффена является малоценным. Справедливо ли обрат-
ное?


115. Могут ли все блага быть малоценнными, если предпочтения локально ненасыщаемы?


116. Пусть для некоторого потребителя значения эластичности спроса по доходу равны по
всем товарам. Найдите чему равно это значение.


117. Пусть функция полезности однородна первой степени. Чему равны эластичности
спроса по доходу?
?e(p, u)
118. Используя теорему об огибающей, докажите, что hi(p, u) = .
?pi
?v(p,R)
119. Используя теорему об огибающей, докажите, что — значение множителя Ла-
?R
гранжа задачи потребителя.



Интегрируемость функций спроса: восстановление
предпочтений
На основе модели рационального поведения, ключевым элементом которой являются
предпочтения потребителя, можно построить функции спроса. Однако сами по себе пред-
почтения ненаблюдаемы, и чтобы иметь возможность прогнозировать будущий спрос при
изменениях цен и дохода, нам необходимо решить обратную задачу: восстановить пред-
почтения по наблюдаемому спросу. Есть несколько подходов к ее решению.
Восстановление предпочтений через непрямую функцию полезности
Предположим, что нам известна система функций спроса xi(p, R). Для восстановления
непрямой функции полезности можно прямо воспользоваться тождеством Роя
??(p, R) ??(p, R)
– / = xi(p, R)
?pi ?R


90
91

рассматривая это тождество как систему дифференциальных уравнений. Если бы мы
смогли решить данную систему дифференциальных уравнений, то получили бы непрямую
функцию полезности. Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса
позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть вы-
бран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следую-
щему правилу: u(x(p, R)) = ?(p, R).
Однако данное правило задает полезность не всех наборов. Так функции полезности u(x1,
x2) = min{2x1 – x2, 2x2 – x1} соответствует функция спроса, для которой x1(p, R) = x2(p, R).
Как не сложно понять, предложенное правило не позволяет задать полезность для наборов
(x1, x2) таких, что x1 ? x2.
Восстановить функцию полезности на множестве потребительских наборов, которые яв-
ляются оптимальными выборами потребителя при некоторых ценах и доходах, по постро-
енной непрямой функции полезности можно также на основе решения следующей задачи:

?(p, R) > inf l
p?  ++

¦
px < R.
При этом в качестве полезности набора x выбираем значение этой задачи — u*(x) =
l
inf{?(p, R) | p?  ++, px<R}. В качестве дохода можно взять любое положительное число,
например, R = 1. Отметим, что данная задача ориентированна на поиск инфимума, а не
минимума. Это объясняется тем, что оптимизация ведется на множестве, которое не явля-
ется замкнутым. Отметим, что оно не является также и открытым. Кроме того, оптимизи-
руемая непрямая функция полезности, не определена в случае, когда хотя бы одна цена
обращается в 0. В силу этого замена инфимума на минимум невозможно, так как послед-
ний может, вообще говоря, не существовать. В то же время инфимум существует, хотя
при некотором значении параметров и может быть равен –?.
Пример 15.
R
Пусть непрямая функция полезности равна ?(p, R)= . Решим задачу
max{p1, p2}
R
> inf l
max{p1, p2} p?  ++
px < R,
в случае, когда вектор параметров x состоит из строго положительных компонент. Пусть,
R
также, x1 > x2. В этом случае инфимум достигается при p1 = 0, а p2 = . В то же время эта
x2
же задача на минимум решения не имеет. Значение задачи в точке оптимума, в этом слу-
чае равно x2 Аналогично, рассматривая случай, когда x2 > x1, имеем что значение целе-
вой функции равно x1. В случае если, например, x1>0, а x2=0, то значение целевой функ-
ции будет равно 0, а инфимум достигается при p2=+?. Несложно догадаться, что в общем
случае, значение целевой функции этой задачи в точке к инфимума равно min{ x1, x2}.
?
Покажем, что такая процедура корректна, т.е. на ее основе мы получаем (правда, не для
всех точек x) прямую функцию полезности, соответствующую данной ?(p, R).

Теорема 28.



91
92

Пусть u(.) — функция полезности, а ?(.,.) — соответствующая ей непрямая функция по-
лезности. Пусть вектор x — оптимальный потребительский набор при ценах p? и доходе
¦ и ?(p?, R) = u*(x).
R, т.е. x ?x(p?, R). Тогда вектор p? является решением задачи


Доказательство:

Пусть p — произвольный вектор, являющийся допустимый в задаче (¦) при x ? x(p?,
R), т.е. px < R. Это неравенство, с другой стороны, означает, x допустим в задаче потре-
бителя при ценах p и доходе R. Этот набор не может иметь большую полезность, чем на-
бор x?x(p, R), являющийся оптимальным в задаче потребителя при ценах p и доходе R,
^
т.е. u(x) < u(x), или ?(p?, R)< ?(p, R). Отсюда следует, что p? оптимален в задаче ¦ при
^
x?x(p?, R). Таким образом, мы получили, что ?(p?, R) = u*(x).
*
Заметим, что в принципе данная процедура позволяет построить «функцию полезности»
u*(x) на множестве всех наборов благ. Однако она может не везде совпадать с исходной
функцией полезности. Так, если x — вектор, для которого задача (¦) имеет решение, но
который не реализуется как спрос участника ни при каких ценах p и доходе R (при кото-
рых x является допустимым в задаче потребителя), то u(x) < u(x(p, R)) = ?(p, R) для ка-
ждого p такого, что px< R. В том числе неравенство u(x) < ?(p, R) верно и для вектора
p, являющегося решением задачи (¦), т.е. u(x) < u*(x). Таким образом, описанная про-
цедура не всегда позволяет получить исходные значения полезности в точках, которые не
реализуется как спрос участника ни при каких ценах p и доходе R. Хотя мы не всегда мо-
жем восстановить функцию полезности правильно, однако полученная функция полезно-
сти порождает тот же спрос, что и исходная.

Теорема 29.
Пусть u(.) — функция полезности, а ?(.,.) — соответствующая ей непрямая функция по-
лезности. Кроме того, пусть u*(.) — построена на основе задачи (¦) указанным выше
-
способом. Тогда набор x, являющийся решением задачи потребителя с функцией полез-
ности u(.) при ценах p ? 0 и доходе R > 0, является решением задачи потребителя с
функцией полезности u*(.).


Доказательство:
^
Пусть x — произвольный потребительский набор, удовлетворяющий бюджетному огра-
ничению при некоторых ценах p и доходе R: px< R. Рассмотрим задачу (¦) с x = x. Це-
^ ^
ны p являются допустимыми в этой задаче, а u*(x) — значение этой задачи. Поэтому ?(p,
^
R) > u*(x). Поскольку u*(x) = ?(p, R), то u*(x)> u*(x).
^ - - ^
*
Поскольку существует бесконечно много функций полезности, описывающих одни и те
же предпочтения, то дифференциальные уравнения, порождаемые тождеством Роя, не
позволяют однозначно восстановить непрямую функцию полезности: если эти уравнения
имеют хотя бы одно решение, то решений бесконечно много. Чтобы решение было един-
ственным, необходимо наложить дополнительные ограничения на функциональную фор-
му непрямой функции полезности. В простом случае, когда известно, что восстанавливае-

92
93

мые предпочтения могут быть представлены квазилинейной функцией полезности, —
u(x1, ..., xK) = s(x1, ..., xK–1) + xK , — такая нормировка определяется самим видом функ-
ции.
Приведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(x1, ..., xK–1) —
строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и
доходе содержит все продукты в положительном количестве, т.е. x(p, R) >>0. Тогда по
?s
теореме Куна-Таккера при некотором положительном ?, верны соотношения = ?pi (i ?
?xi
?s
K) и pl? = 1. Будем предполагать без потери общности, что pK = 1. Тогда ? = 1, и
?xi
(x1, ..., xK–1)= ?pi, i?K. Эти соотношения определяют функцию спроса на все блага кроме
последнего. Отсюда следует, что спрос на эти блага не зависит от дохода:
xi = xi(p1, ..., pK–1) = xi(p–i), i?K.
Пользуясь видом функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид
??(p, R) ??(p, R)
K–1
?(p–K, 1, R) = s(x1(p–k), ..., xK–1(p–K)) + R – ? pixi(p–l). При этом = 1, и
?R ?pi
i=1
не зависит от R. Поэтому, интегрируя K–1 уравнений тождества Роя, по p1, ... , pK–1 соот-
ветственно, мы можем получить (с точностью до константы интегрирования) искомую
функцию ?(.,.) в любой данной точке. Отметим также, что соответствующие интегралы
будут равны изменению так называемого потребительского излишка, который будет рас-
смотрен нами далее.
Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (до-
полнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т.е.
K–1

? s (x ) + x
u(x1, ..., xK) = .
i i K
i=1

<< Предыдущая

стр. 20
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>