<< Предыдущая

стр. 21
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при
рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R)>>0), а цена
последнего блага равна единице, имеют вид,
?si(xi(p))
= pi.
?xi
Эти уравнения фактически задают обратную функцию спроса pi(xi). При этом спрос на
каждое благо зависит только от его цены, т.е. xi(p) = xi(pi). С учетом этого непрямая
функция полезности имеет вид
K–1 K–1

? s (x (p )) + R – ? p x (p ).
?(p, R) = i i i ii i
i=1 i=1

Из тождества Роя получаем соотношение:
??(p, R) ??(p, R) ??(p, R) ??
=– = – i(pi),
xi(pi) = – /
?pi ?R ?pi ?pi
где ?i(pi) = si(xi(pi)) – pixi(pi), и, следовательно,
+? ?? +?
i
? ? xi(t)dt,
– (t)dt =
?pi
pi pi

93
94

Откуда
+?
?i(pi) – limp > +? ?i(pi) =
? xi(t)dt,
i

pi
или
+?
?i(pi) =
? xi(t)dt + const.
pi
Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек:
+?
CSi(pi) =
? xi(t)dt.
pi
Отсюда
K–1 K–1

? v (p ) + R = ? CS (p ) + R + const.
?(p, R) = i i i i
i=1 i=1

Можно восстановить также непосредственно прямую функцию полезности, проинтегри-
ровав уравнения условий первого порядка задачи потребителя. Действительно,
xi
si(xi) = ? pi(t)dt + si(0).
0

Интеграл в этом соотношении является альтернативной формой определения потреби-
тельского излишка, поэтому
si(xi) = СSi(xi) + si(0)
и
K–1

? СS (x ) + x
u(x1 ,..., xl) = + const.
i i K
i=1



Денежная непрямая полезность и восстановление предпочтений
В общем случае на основе системы функций спроса естественно восстанавливается функ-
ция расходов e(p, x). Для дальнейших рассуждений нам понадобится следующее опреде-
ление.

Определение 21.
µ (q; p, R) — это доход, который требуется, чтобы при
Денежная непрямая полезность
ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p, распо-
лагая доходом R, т.е. µ (q; p, R) = e(q, ? (p, R)).


Теорема 30.
Денежная непрямая полезность µ (q; p, R) является непрямой функцией полезности для
функции расходов e(p, x).


94
95

Доказательство:
Данное свойство очевидно.
*
Поскольку µ (q; p, R) = e(q, ?(p, R)), то верно соотношение
?µ (q; p, R) ?e(q, ?(p, R))
= hi(q, ?(p, R)) = xi(q, e(q, ?(p, R))) = xi(q, µ (q; p, R)).
=
?qi ?qi
Мы воспользовались здесь тем, что
?e(p, x)
= hi(p, x) и h(p, x) ? x(p, e(p, x)).
?pi
Тем самым мы получили систему дифференциальных уравнений относительно непрямой
функции полезности µ (q; p, R):
?µ (q; p, R)
= xi(q, µ (q; p, R)).
?qi
К ней следует добавить граничные условия µ (p; p, R) = R. Предположим дополнительно,
что функция спроса имеет непрерывные частные производные по ценам и доходу и неко-
торое техническое условие, состоящее в том, что существует конечное число K такое, что
?x
для каждого номера i справедливо неравенство | i (p, R)|< K, для всех комбинаций цен и
?R
доходов.
Из теории дифференциальных уравнений в частных производных48 известно, что в этом
случае система имеет единственное (локальное) решение тогда и только тогда, когда сис-
тема функций спроса такова, что матрица
? ?2µ ?
? ?
??qi?qj?i, j
симметрична.49 Это условие, как несложно показать, эквивалентно условию симметрич-
ности матрицы коэффициентов замены
??xi ?xi ?
? xj? .
+
??pj ?R ?i, j



48
Смотри, например, приложение к Hurwicz, L., Uzawa H., On the Integrability of Demand Functions, in Chip-
man, J.S., Hurwicz, L., Richter M.K., Sonnenschein, H.F., Preferences, utility and demand, N.Y., Harcourt Brace
Jovanovich
49
Пусть функция fi(x, z) определена на множестве ?=? ? ?, где ?={x| a’< xi< a’’}и ? ={z| 0< z<+?}. Если
?fi
при этом а) функция непрерывно дифференцируема на ?, б) для каждого номера i частная производная
?z
?fi
равномерно ограничена на ?, т.е. существует конечное число K такое, что | (x, z)|< K, для всех (x, z)?
?z
?fi ?fj
?, в) (x, z) для всех (x, z)??, г) fi(x, 0) = 0, для всех i и для всех x? ?. Тогда при любых
(x, z) =
?xj ?xi
начальных условиях (x0, z0)? ?, существует единственное, непрерывное решение дифференциального
?z
=f (x, z) на ?. Кроме того, решение будет непрерывно изменяться
уравнения в частных производных
?xi i
при изменении граничных условий.

95
96

Если у нас есть некоторая система функций спроса, удовлетворяющая этим условиям, то
мы можем получить решение данных уравнений. Однако, можем ли мы быть уверены в
том, что система функций спроса совместима с моделью рационального поведения потре-
бителя, т.е., что существует функция полезности, максимизация которой порождает дан-
ную систему функций?
Необходимые условия того, что данная система функций спроса порождена моделью ра-
ционального поведения – нам известны:
Система функций спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.
%
Система функций спроса x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса (p, x(p, R)) = R (ес-
%
ли предпочтения потребителя локально ненасыщаемы).
Матрица коэффициентов замены
%
??xi ?xi ?
? xj? .
+
??pj ?R ?i, j
является симметричной и отрицательно полуопределенной.
Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т.е. любая система функций,
удовлетворяющая этим условиям, может быть порождена некоторой моделью рациональ-
ного поведения.
Перед тем как проиллюстрировать нахождение функции µ (q; p, R) при известной функ-
ции спроса x(p, R). Покажем, что приведенные условия избыточны, а именно:

Теорема 31.
Пусть функция спроса x(p, R) – дифференцируема по ценам и доходу, удовлетворяет
?x ?x
закону Вальраса (p, x(p, R)) = R, а матрица коэффициентов замены ? i + i xj? , яв-
??p ?
? j ?R ?i, j
ляется симметричной, тогда функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по це-
нам и доходу.


Доказательство:
Рассмотрим вектор-функцию f(t) = x(tp, tR), в силу дифференцируемости функции спро-
са по ценам и доходу для любого t>0 имеем, что:
?x ?x ?x ?x ?x
fi?(t) = ¤ i(tp, tR)pj + i (tp, tR)R = ¤ i(tp, tR)pj + i (tp, tR)px(p, R) = ¤( i
j ?p ?R j ?p ?R j ?p
j j j
?x ?x ?x ?x
(tp, tR)pj + i (tp, tR) pjxj(p, R)) = ¤pj ( i(tp, tR) + i (tp, tR)xj(p, R)) = ¤pj ( j
?R ?pj ?R ?pi
j j

?x ?x ?x
(tp, tR) + j (tp, tR)xi(p, R)) = ¤pj j(tp, tR) + xi(p, R)¤pj j (tp, tR) = – xi(p, R) +
?R ?pi ?R
j j

xi(p, R) = 0.
?x
При проведении этих преобразований мы воспользовались тождествами ¤pj j(tp, tR)
?pi
j

?x
+ xi(p, R) = 0 и ¤pj j (tp, tR) = 1, доказанными нами выше, которые получаются путем
?R
j

дифференцирования закона Вальраса. Таким образом, f(t) – константа и, тем самым, для
любого t верно, что f(t) = f(1) или x(tp, tR) = x(p, R) = t0x(p, R). Последнее и означает,
что функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.
*


96
97

Пример 16.
Продемонстрируем получение непрямой денежной функции полезности µ (q; p, R) из
a2Rp1
Rp2
функции спроса вида x(p, R)=(p p + a2(p )2; (p )2 + a2p p ). Мы не проверяем выполнение
12 1 2 12
требуемых условий, так как, фактически они все проверены и продемонстрированы в пре-
дыдущих параграфах. Нам требуется решить следующую систему дифференциальных
уравнений в частных производных:
?µ (q; p, R) µ(q; p, R)q2
= q q + a2(q )2
?q1 12 1


?µ (q; p, R) a2µ(q; p, R)q1
= (q )2 + a2q q
?q2 2 12


при граничном условии: µ (p; p, R) = R. Рассмотрим первое уравнение. Для того чтобы
q2
получить решение требуемой системы рассмотрим разложение дроби q q + a2(q )2 на эле-
12 1
1 2
q2 a
ментарные множители: q q + a2(q )2 = q – q + a2q . Используя это и то, что первое урав-
12 1 1 2 1
нение представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя по час-
тям, имеем:



? ? ? a2 dq1
dµ (q; p, R) dq
= q1– q2 + a2q1 + C?(q2, p, R).
µ (q; p, R) 1



<< Предыдущая

стр. 21
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>