<< Предыдущая

стр. 22
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Так как, интегрируя первое уравнение по q1, мы принимали q2 за константу, то, в общем
случае, константа интегрирования зависит от q2. Упрощая, имеем:
ln(µ (q; p, R)) = ln(q1) – ln(q2 + a2q1) + C?(q2, p, R), или
q
µ (q; p, R) = C (q2, p, R) q + 1a2q ,
2 1

где C(q2, p, R) = exp{C?(q2, p, R)}. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов,
подставим полученное выражение для µ (q; p, R) во второе уравнение и получим диффе-
ренциальное уравнение для C (q2, p, R):
?C(q2; p, R) a2 C (q2, p, R)q1
q1 q1 q
? q + a2q – C (q2, p, R) (q + a2q )2 = (q )2 + a2q q ? q + 1a2q
?q2 2 1 2 1 2 12 2 1


или
?C(q2; p, R) a2 C (q2, p, R)q1 1 1
= (q )2 + a2q q + C (q2, p, R) q + a2q = q C(q2, p, R).
?q2 2 12 2 1 2


Несложно увидеть, что данное дифференциальное уравнение имеет решение: C(q2, p, R) =
q
˜
q2 C(p, R). Итак, с учетом того что µ (q; p, R) = C (q2, p, R) q + 1a2q мы получили µ (q;
2 1
q1 q
˜ ˜
p, R) = C(p, R) q + a22q . Константу интегрирования C(p, R) ищем из граничного условия
2 1
µ (p; p, R) = R:
p1 p
˜
R = µ (p; p, R) = C(p, R) p + a22p .
2 1




97
98

(p2 + a2p1)R
˜
Откуда C(p, R)= p1 p2 . В итоге всех этих манипуляций мы получили функцию
µ (q; p, R) равную:
(p2 + a2p1)R
q1 q2
µ (q; p, R) = q + a2q ? p1 p2 .
2 1

?
Предполагая, что система функций спроса удовлетворяет указанным выше условиям, рас-
смотрим, какие свойства функции µ (q; p, R), являющейся решением системы дифферен-
циальных уравнений,
?µ (q; p, R)
= xi(q, µ (q; p, R))
?qi
с граничными условиями
µ (p; p, R) = R.
следуют из этих свойств x(p, R).
Совершенно очевидно выполнение следующих свойств:
Функция µ (q; p, R) дифференцируема по q.
%
% Функция µ (q; p, R) однородна первой степени по q.
% Функция µ (q; p, R) не убывает по q, так как функция спроса неотрицательна.
% Функция µ (q; p, R) вогнута по q, в силу отрицательной полуопределенности мат-
рицы Слуцкого.
% Если для некоторого q верно соотношение µ (q; p, R) = µ (q; p?, R), то оно также
верно и для любого q?, т.е. µ (q?; p, R) = µ (q?; p?, R). (Данное свойство ничто иное,
как следствие единственности решения предложенного дифференциального урав-
нения.)
Рассмотрим теперь остальные менее очевидные свойства.

Теорема 32.
Если для некоторого q справедливо соотношение µ(q; p, R) > µ(q; p?, R), то для любо-
го q? также выполнено µ(q?; p, R) > µ(q?; p?, R).


Доказательство:
Случай, когда для некоторого q справедливо соотношение µ(q; p, R) = µ(q; p?, R), оче-
виден, как уже упоминалось, в силу единственности решения. Поэтому разберем случай,
когда для некоторого значения q выполнено µ(q; p, R) > µ(q; p?, R). Предположим про-
тивное, то есть нашлось такое значение q?, что µ (q?; p, R) < µ (q?; p?, R). Рассмотрим
функцию f(t) = µ(q +t(q? – q); p, R) – µ(q +t(q? – q); p?, R). Эта функция непрерывна
в силу непрерывности по q функции µ(q; p, R). Кроме того, f(0) > 0 > f(1), откуда в силу
непрерывности следует существование такого -, что f( -) = 0. Другими словами найдется
t t
такой вектор q??, что для него справедливо равенство µ (q??; p, R) = µ (q??; p?, R). Но это
же означает, что равенство µ (q; p, R) = µ (q; p?, R) должно выполняться для любого q.
Противоречие.
*

Теорема 33.


98
99

µ (q; p, R) = minx?V(p,R) qx где V(p, R) = {x> 0 | qx> µ(q; p, R) ?q> 0} и при этом для
произвольных векторов p, p?>>0 выполнено либо V(p, R) ? V(p?, R), либо V(p?, R) ?
V(p, R).


Доказательство:
(1) Из свойств функции µ (q; p, R) и определения множества V(p, R) следует, что V(p,
R) непусто, замкнуто и ограничено снизу. Покажем непустоту этого множества. Вогну-
тость функции µ (q; p, R) по q влечет, что для любых q и q? выполнено неравенство:
µ(q?; p, R)< µ(q; p, R) + ?qµ(q; p, R)(q?– q). Поскольку µ(q; p, R) однородна первой
степени по q, то по формуле Эйлера ?qµ(q; p, R)q=µ(q; p, R). Поэтому, для любого q?
выполнено µ(q?; p, R)< ?qµ(q; p, R)q?. В силу того, что ?qµ(q; p, R)> 0, имеем
?qµ(q; p, R)?V(p, R). Замкнутость и ограниченность снизу очевидна. Если q>>0 то эти
условия гарантируют существование решения задачи minx?V(p,R)qx. Из определения V(p,
R) следует, что µ (q; p, R) < minx?V(p,R) qx. Нам требуется показать, что это соотношение
выполняется как равенство. Для этого достаточно показать, что µ(q; p, R)> minx?V(p,R)
qx. Как было показано при демонстрации непустоты множества V(p, R) верно ?qµ(q; p,
R)?V(p, R). Отсюда следует, что µ (q; p, R)= ?qµ(q; p, R)q> minx?V(p,R) qx. Таким обра-
зом, получили требуемое равенство µ (q; p, R) = minx?V(p,R)qx.

(2) Из определения множеств V(.) следует, что если µ(q; p?, R)> µ(q; p, R) ?q> 0, то V(p,
R) ? V(p?, R).
*
Приведенные утверждения наводят на мысль о том, чтобы в качестве отношения предпоч-
тения взять отношение, для которого верхними лебеговскими множествами будут по-
строенные множества V(.,.). В связи с этим, естественно определить предпочтения на об-
ласти значений функции спроса, породившей данный спрос, как x(p, R) }x(p?, R) ? V(p,
_
R) ? V(p?, R). В частности, в качестве функции полезности можно взять uq( x(p, R)) =
µ (q; p, R).

Теорема 34.50
1) Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1), x0 ? x1 и R1>µ (p1; p0, R0). Тогда p0x1>p0x0.
2) Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1). Если p0x0> p0x1, тогда p1x0> p1x1.
-
3) Множество {(p, R)| x(p, R) = x} – выпукло.
4) Если x(p0, R0) = x(p1, R1), то µ (p; p0, R0) = µ (p; p1, R1) для всех p.
5) Пусть uq(x(p, R)) = µ (q; p, R), тогда uq(x(p, R))> uq(x) для каждого вектора x реа-
лизуемого как спрос при некоторой комбинации цен и доходов и допустимого при цене
p и доходе R.


Доказательство:



50
Доказательство данной теоремы следует работе Гурвица, Узавы.

99
100

1) Разобьем доказательство на два этапа. Вначале рассмотрим случай, когда R1 =
µ (p1; p0, R0). Определим pt= p0+t(p1 – p0), Rt = µ (pt; p0, R0), xt = x(pt, Rt), f(t) = p0xt.
Продифференцируем f(t) по t:
?x ?µ ??pt
0??x
= p0A(pt, Rt)(p1 – p0),
??
f?(t) = p ? +
??p ?R ?p? ?t
где A – матрица Слуцкого. Продифференцируем бюджетное ограничение ptxt = Rt по t,
получаем ptA(p1 – p0) = 0. С учетом этого f?(t) = –t(p1 – p0)A(pt, Rt)(p1 – p0). В силу от-
рицательной полуопределенности матрицы Слуцкого имеем f?(t)>0. Таким образом, f(1)>
f(0), или p0x1 > p0x0. Покажем, что знак этого неравенства строгий. Предположим, что
p0x1 = p0x0. В этом случае f?(t)=0 ?t, или, что тоже самое (p1 – p0)A(pt, Rt)(p1 – p0)? =0.
Матрица –A(pt, Rt) симметричная и положительно полуопределена. Из курса линейной
алгебры известно, что симметричная матрица имеет n различных собственных чисел и
представима в виде (–A(pt, Rt)) = D?D?, где матрица D – составлена из собственных век-
торов матрицы (–A(pt, Rt)), а ? – диагональная матрица, где по диагонали стоят собствен-
ные числа этой матрицы. Тогда, в силу положительной полуопределенности матрицы (–
A(pt, Rt)) имеем, что (–A(pt, Rt)) = (D ?)(D ?)?. Отсюда следует, что x(–A(pt, Rt))x?=
x(D ?)(D ?)?x?=(xD ?)(xD ?)?, то x(–A(pt, Rt))x?= 0, если xD ?=0. Откуда xA(pt,
Rt) =A(pt, Rt)x?= 0. Таким образом, имеем, что A(pt, Rt)(p1 – p0)? =0. Несложно прове-
?xt
= A(pt, Rt)x?= 0. Таким образом, xt – константа, т.е. получаем, что xt= x0=x1.
рить, что
?t
Получили противоречие. А значит, доказали, что если R1 = µ (p1; p0, R0), то p0x1>p0x0.
Теперь рассмотрим случай, когда R1 > µ (p1; p0, R0). С учетом того, что R1 = µ (p1; p1, R1)
имеем, что µ (p0; p1, R1) >µ (p0; p0, R0) = R0. Используя рассуждения аналогичные рассу-
ждениям, использующимся при доказательстве предыдущего пункта (в упражнениях Вам
предложат доказать это самостоятельно) получаем: µ (p0; p1, R1) < p0x1. Отсюда, p0x1>
µ (p0; p1, R1) >µ (p0; p0, R0) = R0 = p0x0.
2) В силу p0x0> p0x1 и доказанного в предыдущем пункте утверждения, имеем, что
µ (p0; p1, R1)< µ (p0; p0, R0) = R0. Отсюда, в силу предыдущего пункта, имеем требуемое.
3) Пусть x(p0, R0) = x(p1, R1) = x. В силу закона Вальраса имеем, что p0x = R0, p1x = R1.
- - -
Пусть pt= p0 + t(p1 – p0), Rt= R0 + t(R 1 – R 0), xt = x(pt, Rt). Тогда, ptx = Rt = ptxt. Пока-
-
жем, что x = x. Пусть это не так, тогда p x <p x и p x <p x . Откуда ptx <ptxt. Противо-
t 0t 0t
1
- - - -
0

речие.
4) Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.
5) Пусть x0 = x(p0, R0) и x1 = x(p1, R1). Имеем, что p0x0 = R0, p1x1 = R1 и p0x1 < R0.
Отсюда, по доказанному в пункте 1, имеем что выполнено либо R1<µ (p1; p0, R0) либо
µ (p1; p1, R1) < µ (p1; p0, R0). Откуда имеем, что для любого p справедливо µ (p; p1, R1) <
µ (p; p0, R0). Что и означает требуемое.
*
Эта теорема, а точнее последний ее пункт, доказывает, что построенная на основании де-
нежной непрямой функции полезности функция uq(.), определенная на множестве значе-
ний функции спроса, представляет собой функции, рационализующие исходную функцию
спроса. В задачах вам предложат показать, что ранжировка потребительских наборов,
задаваемая функцией uq(.) не будет зависеть от q. Тем самым мы смогли корректно вос-
становить функцию полезности, обладающую функцией спроса x(p, R).

100
101



Альтернативный подход к восстановлению предпочтений
при известной функции µ (q; p, R)
l
Альтернативно, для произвольной точки x?  +, зная функцию спроса можно получить
значение полезности следующим образом: 1) отталкиваясь от функции x(p, R) найти µ(q;
¦ и найти функцию u*(.). Построенная функция u*(.) = inf{µ (q;
p, R) 2) решить задачу
l
p, R)| p?  ++, px < R}, будет соответствовать наблюдаемому спросу, на основе которого
она получена, что следует из следующего утверждения.

Теорема 35.
Пусть функция спроса x(p, R) дифференцируема, однородна нулевой степени, удовле-
творяет закону Вальраса, матрица коэффициентов замены является симметричной и от-
рицательно полуопределенной, а µ (q; p, R) = µ (q; p?, R) ? µ (q?; p, R) = µ (q?; p?, R),
¦,
? q, q?>> 0. Тогда если функция u*(.) построена на основе задачи при некотором
векторе q>> 0, то спрос x(p, R) ?p>> 0, R > 0, является решением задачи потребителя с
функцией полезности u*(.).


Доказательство:
Докажем сначала, что u*(x(p, R)) = µ (q; p, R). Вектор p является допустимым в задаче
¦ при x?x(p, R). Нам нужно показать, что для любого вектора p?>0 такого, что p?x<R,
выполнено µ (q; p?, R) >µ (q; p, R). Поскольку функция µ (q; p, R) вогнута по q, то
µ (q; p, R) >µ(q?; p, R) + (q – q?)x(q, µ(q; p, R)). При q = p, используя закон Вальраса,
имеем, что q?x(p, R) > µ(q?; p, R) ? p, q?. Поскольку R = µ(p?; p?, R), то неравенство
p?x(p, R)<R можно переписать в виде p?x(p, R)< µ(p?; p?, R). С другой стороны, по толь-
ко что доказанному p?x(p, R)> µ(p?; p?, R). Поэтому при p?x(p, R)<R имеем µ(p?; p, R) <
µ(p?; p?, R). В силу единственности и непрерывности решения рассмотренной системы
дифференциальных уравнений имеем, что µ (q; p, R) > µ (q; p?, R). Используя u*(x(p,
R)) = µ (q; p, R) несложно показать, что u*(x(p, R)) > u*(x) для любого набора x такого,
что px < R.
*
Приведенные выше необходимые и достаточные условия интегрируемости позволяют для
заданной явно системы функций спроса определить, совместима ли она с моделью рацио-
нального поведения потребителя. В ситуации, когда нам доступно лишь конечное число
значений функции спроса, полученных на основе наблюдений за фактическим поведением
потребителя, проверить совместимость этих наблюдений с моделью рационального пове-
дения позволяет так называемая концепция выявленных предпочтений. Основные ее по-
ложения будут изложены чуть позже.

Задачи
120. Пусть функция u(.) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и
строго монотонные предпочтения, v(.) — соответствующая непрямая функция полезности.
Покажите, что если функция u*(.) построена на основе задачи ¦, то
l
u*(x) = u(x) ? x?  ++.

101
102

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восста-
++

<< Предыдущая

стр. 22
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>