<< Предыдущая

стр. 23
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

новлении технологического множества по функции прибыли). Множество L (x) = {y | y
} x} можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль
p к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициентами. Тогда p
— решение задачи ¦.


121. Пусть функция e(p, x) дифференцируема, однородна первой степени, не убывает и
вогнута по p. Тогда e(p, x) = minx? V(x) px, где V(x) = {x>0 | px>e(p, x) ? p>0}.
- -
-



122. Пусть u(x) — функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезно-
сти, решите задачу ¦ и вычислите "восстановленную" функцию полезности u*(x). Сов-
падает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций
полезности:
K
а) u(x) = ? ?k ln(xk); б) u(x) = mink{?k xk};
k=1

г) u(x) = 3 x1x2 + x3.
в) u(x) = min(2x1 – x2, 2x2 – x1);


123. Для функций полезности предыдущей задачи найдите денежную функцию полезно-
сти и непрямую денежную функцию полезности.


124. Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите непрямую
денежную функцию полезности, постройте "восстановленную" функцию полезности
u*(x). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответст-
вующий функции полезности u*(x). Совпадает ли он с исходным спросом?


125. Найдите функцию полезности, которая рационализует спрос, полученный на основе
лексикографического отношения предпочтения.


126. Докажите пропущенные части в теореме 34.

Оценка изменения благосостояния.
Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребите-
лей при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до
проведения мероприятий экономической политики и после). В первой их них потребитель
сталкивается с ценами p0 и доходом R0, во второй — с ценами p1 и доходом R1. Пусть при
ценах p0 и доходе R0 непрямая функция полезности потребителя равна ?(p0, R0), а при
(p1, R1) — ?(p1, R1). Если ?(p0, R0) < ?(p1, R1), то вторая ситуация более благоприятна для
потребителя, а если ?(p0, R0) > ?(p1, R1), то менее благоприятна.
Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не
оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий
экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений.

102
103

При этом используются введенная выше непрямая денежная функция полезности. Опи-
шем процедуры ее использования и возникающие здесь проблемы.
Непрямую денежную функцию полезности можно определить на основе любого «базово-
го» вектора цен q>>0. Оценка изменения благосостояния при этом будет равна
?µ(q) = µ(q, p1, R1) – µ(q, p0, R0).
Значение ?µ(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q и поэтому,
соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма.
Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые описыва-
ются квазилинейной функцией полезности). В этом случае все меры благосостояния экви-
валентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага
равна единице (последнее благо является numeraire), они совпадают.
Покажем это, вычислив ?µ(q) для квазилинейной функции полезности u(x1, ..., xl)
=s(x1, ..., xl-1) + xl, со строго вогнутой дифференцируемой функцией s(.) в предположении,
что pl = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид
l–1
?(p–l, 1, R) = s(x1(p–l), ..., xl–1(p–l)) + R – ¤pixi(p–l).
i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае
квазилинейных предпочтений имеет вид e(p, x) = u(x) – s(x–l(p–l)) + p–lx–l(p–l). По опре-
делению непрямой денежной функции полезности µ(q, p, R) = e(q, x(p, R)), поэтому µ(q,
p, R) = ?(p, R) – s(x–l(q –l)) + q–lx–l(q–l). По определению ?µ(q) имеем, что
?µ(q) = µ(q, p1, R1) – µ(q, p0, R0) = ?(p1, R1 ) – s(x–l(q–l)) +
+ q–lx–l(q–l) – ?(p0, R0) + s(x–l(q–l)) – q–lx–l(q–l) =
= ?(p1, R1 ) – ?(p0, R0).
В общем случае, когда значение ?µ(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами
на выбор вектора q представляются следующие системы цен — цены в первой ситуации
(до изменений) — p0 и цены после изменений — p1. В первом случае получим меру изме-
нения благосостояния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV), а во втором
— меру изменения благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода
(CV).

Определение 22.
— это такое изменение
Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация)
дохода, которое позволяет в базовых ценах получить ту же полезность, что и после из-
менений:
?(p0, R0 + EV(p0, R0, p1, R1)) = ?(p1, R1).


Заметим, что µ(p0, p1, R1) = e(p0, x(p1, R1)) — доход, достаточный для того, чтобы при
ценах p0 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации
после изменений (т.е. при ценах p1 и доходе R1). Поэтому, если воспользоваться тождест-
вом e(p, x(p, R)) ?R можно дать эквивалентному изменению дохода другое определение:
EV(p0, R0, p1, R1) = e(p0, x(p1, R1)) – R0.
Таким образом, можно определить эквивалентную вариацию в терминах непрямой денеж-
ной функции полезности, измеренной в деньгах при q = p0:


103
104

EV(p0, R0, p1, R1) = µ(p0, p1, R1) – R0 = µ(p0, p1, R1) – µ(p0, p0, R0).
Пример 17.
Пусть функция спроса и функция расходов для некоторого потребителя равны x(p,
a2Rp1 p1p2( x1 +a x2 )2
Rp2
R)=(p p + a2(p )2; (p )2 + a2p p ) и e(p, x) = , соответственно. Найдем эк-
p2+a2p1
12 1 2 12
вивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2, 1) до p1 = (1, 2) при усло-
вии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денежная функция полез-
ности для данного потребителя будет равна
Rq1q 2(p2 + a2p1)
µ(q, p, R) = p p (q +a2q ) .
21 2 1

Найдем теперь значение непрямой денежной функции полезности при q = p0 и p = p1:
R(2 + a2)
µ(p , p , R) = (1+2a2) . Таким образом, эквивалентная вариация будет равна
0 1



R(1 – a2)
R(2 + a2)
EV(p , R, p , R) = µ(p , p , R) – R = (1+2a2) – R = (1+2a2) .
0 1 0 1



?




Определение 23.
— это такое измене-
Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация)
ние дохода, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности старой си-
туации:
?(p0, R0) = ?(p1, R1 – CV(p0, R0, p1, R1)).


По определению денежной непрямой функции полезности µ(p1, p0, R0) = e(p1, ?(p0, R0))
— доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю
такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т.е. при ценах p0 и доходе
R0). Поэтому компенсирующую вариацию можно выразить в терминах денежной непря-
мой функции полезности при q = p1:
CV(p0, R0, p1, R1) = R1 – e(p1, x(p0, R0)) = R1 – µ(p1, p0, R0) =
= µ(p1, p1, R1) – µ(p1, p0, R0)
Отметим также, что введенное понятие компенсирующей вариации это то же самое изме-
нение дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса.
Пример 17. (Продолжение)
Найдем теперь значение непрямой денежной функции полезности при q = p1 и p = p0:
R(1 + 2a2)
µ(p , p , R) = . Таким образом, эквивалентная вариация будет равна
1 0
(2+a2)
R(1 + 2a2) R(1 – a2)
CV(p , R, p , R) = R – µ(p , p , R ) = R – .
0 1 1 0 0
=
(2+a2) (2+a2)
?




104
105

x2 x2

EV

CV
1 1
x1(p , R) x1(p , R)
0 0
x(p , R) x(p , R)

x1 x1



?enoiie 14. Yeaeaaeaioiay e eiiiaine?o?uay aa?eaoey i?e R0=R1=R, p0>p1, p0=p1=1
1 1 22

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом слу-
чае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при ана-
лизе последствий налогообложения): R0 = R1= R, p0 > p1, p0 = p1,... p0 = p1 . Очевидно, что
1 1 2 2 n n
?(p , R ) <?(p , R ). Поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, не
0 0 1 1

будем в дальнейшем указывать остальные цены и доход в качестве аргументов соответст-
вующих функций, т.е. EV(p0, R0, p1, R1) = EV(p0, p1) = EV(p0, p1) и CV(p0, R0, p1, R1) =
1 1
CV(p , p ) = CV(p1, p1).
0 1 0 1


Следующий рисунок предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компен-
сирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (p0 = p1 =
2 2
1).
?e
Поскольку (p, x(p1, R1)) = hi(p, x(p1, R)) (лемма Шепарда для теории потребления),
?pi
мы можем записать:
?EV ?CV 0
(p, p1) = h1(p, x(p1, R)), (p , p) = – h1(p, x(p0, R)).
?p1 ?p1
Проинтегрируем эти равенства от p0 до p1:
1 1
0 0
p1 p1
?EV 1 1 1 1
0 (t, 1, p1, 1)dt = EV(p , p ) – EV(p , p ) = EV(p , p ),
? h1(t, 1, x(p1, R))dt = ? 1 0 0

1 ?p1
1
p1 p1

0 0
p1 p1
?CV 0 1 0 0 1
? h1(t, 1, x(p0, R))dt = – ? 1 (p1, 1, t, 1)dt = CV(p , p ) – CV(p , p ) = CV (p , p ).
0 0

1 ?p1
1
p1 p1

Таким образом,
0 0
p1 p1

EV(p0, p1) = ? h1(t, 1, x(p1, R))dt, CV(p0, p1) = ? h1(t, 1, x(p0, R))dt.
1 1
p1 p1

Как известно из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, измене-
ние потребительского излишка вычисляется по формуле
0
p1

?CS(p0, p1) = ? x1(t, 1, R)dt.
1
p1



105
106

x2 x2
h(p0, x(p0, R))= x(p0, R)

h(p0, x(p1, R))
x(p0, R)
h(p1, x(p1, R))=x(p1, R) x(p1, R)

<< Предыдущая

стр. 23
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>