<< Предыдущая

стр. 24
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

h(p1, x(p0, R))


x1 x1
h1(p0 , x(p1, R))
x1(p0, R) 1
h1(p1, x(p0, R)) x1(p , R)

?enoiie 15 Niioiioaiey ia?ao oeneneaineei e ia?oaeeeaineei ni?inii
eniieucoaiia i?e aieacaoaeunoaa acaeiinayce yeaeaaeaioiiai, eiiiaine?o?uaai
eciaiaiee aioiaa e iio?aaeoaeuneiai eceeoea.
Из того, что p0 > p1 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они
1 1
будут положительны, если спрос строго положителен):
EV(p0, p1)>0, CV(p0, p1) >0, ?CS(p0, p1) >0.
Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то
h1(t, 1, x(p0, R)) < x1(t, 1, R) < h1(t, 1, x(p1, R)) при p1 < t < p0.
1 1

Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрируется рисунком выше.
Докажем эти неравенства формально. Пусть спрос потребителя на первое благо при ценах
(t, 1) (где p1 < t < p0) и доходе R равен x1(t, 1, R). Пусть теперь доход потребителя стал
1 1
равен e(t, 1, x(p , R)). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на поло-
0

жительную величину CV(p0, t, 1) = R – e(t, 1, x(p0, R)). В силу нормальности блага име-
ем, что x1(t, 1, e(t, 1, x(p0, R)))< x1(t, 1, R).
Из соотношений взаимности имеем, что x1(t, 1, e(t, 1, x(p0, R))) = h1(t, 1, x(p0, R)). Таким
образом, мы доказали левое из требуемых неравенств. Для того чтобы доказать правое
неравенство предположим, что доход потребителя увеличился до величины e(t, 1, x(p1,
R)). В этом случае доход потребителя увеличился на положительную величину ЕV(p0, t,
1) = e(t, 1, x(p1, R)) – R. Отсюда в силу соотношений двойственности имеем, что x1(t, 1,
R) < h1(t, 1, x(p1, R)). Таким образом, доказано
h1(t, 1, x(p0, R)) < x1(t, 1, R) < h1(t, 1, x(p1, R)) при p1 < t < p0.
1 1

Интегрируя это неравенство от p1 до p0, получаем, что имеет место соотношение
1 1

EV(p0, p1) < ?CS(p0, p1) < CV(p0, p1).
Следующий рисунок иллюстрирует это соотношение.




106
107


p1 h1(p1, x(p0, R))

C
B
A
p0
1

D
x1(p1, R)
p1
F E
1


h1(p1, x(p1, R))
x1

?enoiie 16. Naycu ia?ao iio?aaeoaeuneei eceeoeii, yeaeaaeaioiie e
eiiiaine?o?uae aa?eaoeyie
Здесь CV = S(ACDF), ?CS = S(ABDF) (заштрихованная область), EV = S(ABEF).
В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует
эффект дохода для товара, который входит нелинейно. В этом случае записанные выше
неравенства, связывающие маршаллианский и хиксианский спрос, выполняются как ра-
венства и, следовательно,
EV(p0, p1) = ?CS(p0, p1) = CV(p0, p1).
Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диа-
грамме, совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.
Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бес-
смысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния мож-
но получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.
Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности ui(xi) и дохода-
ми Ri. Пусть цены изменились с p0 до p1. Пусть, кроме того, в результате этого изменения
цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т.е.

¤CVi(p0, Ri, p1, Ri) > 0.
i


Покажем, что существует такое перераспределение доходов {Ri?}: ¤Ri?< ¤Ri), что ?i(p1,
i i
?
Ri ) > ?i(p , Ri) ?i, то есть, возможно компенсировать изменение цен каждому потребите-
0

лю.
По определению компенсирующей вариации имеем, что

CVA = ¤CVi(p0, Ri, p1, Ri) = ¤(Ri – ei(p1, xi(p0, Ri))) > 0
i i

Мы можем выбрать Ri? так, что Ri?> ei(p1, xi(p0, Ri)) (достаточно взять Ri? = ei(p1, xi(p0,
Ri)) + CVA/n). Покажем, что в этом случае ?i(p1, Ri?) > ?i(p0, Ri) ?i.
Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством
двойственности между ?i(.,.) и ei(.,.), получим
?i(p1, Ri?) > ?i(p1, ei(p1, xi(p0, Ri))) = ?i(p0, Ri).
Это можно интерпретировать следующим образом: мероприятие экономической полити-
ки, характеризующееся положительной суммарной компенсирующей вариацией, может
привести к росту полезности всех затронутых потребителей, если дополнить его соответ-
ствующим перераспределением дохода. Однако следует отметить, что данная интерпрета-

107
108

ция предполагает, что такое перераспределение доходов не вызовет изменения цен. В
рамках концепции общего равновесия, последнее предположение оказываются некор-
ректными.

Задачи
127. Функция полезности Петрова u(x) = min{x1, x2}. Его доход – 250 д.е., цена первого и
второго блага – 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в
филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два
раза выше. Петров еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эк-
вивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но
переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но, он готов принять предложе-
ние, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?


128. Функция полезности Сидорова u(x) = x1x2. Его доход – 150 д.е., цена первого и вто-
рого блага – 1 д.е. Его шефы предлагает ему работу без повышения заработной платы в
филиале фирмы в другом городе, где цена первого блага такая же, а цены второго в два
раза выше. Петров еще в университете познакомился с понятием компенсирующей и эк-
вивалентной вариации. Оценив предложение, он ответил, что в принципе он не против, но
переезд для него означал бы потерю в доходе в А рублей. Но, он готов принять предложе-
ние, если его зарплата возрастет на В рублей. Чему равно А и В?


129. Покажите, что чистые потери от количественного налога на благо измеряется вели-
чиной – EV – T, где EV — эквивалентная вариация, связанная с соответствующим увели-
чением цены блага, а T — поступление от налога.


130. Предположим, что цена на все блага, кроме первого, постоянна. Покажите, что если
эластичность маршаллианского спроса по доходу на первое благо постоянна, то компен-
сирующая вариация является функций этой эластичности, дохода и потребительного из-
лишка следующего вида:
1–? 1
CV = R [1 + 1 ?CS] – R1
1 1–?
R
0
p1

где ?CS(p0, p1) = ? x1(t, 1, R)dt — изменение потребительского излишка.
1
p1




131. Покажите, что если непрямая функция полезности имеет вид
?(p,R) = a(p) + b(p)R,
то компенсирующая вариация вычисляется по формуле Сида:
t
?x
– ? ?R (t,R1)d t
p2
CV = ? e x(p, R1) dp.
p2
p1


Если к тому же эластичность по доходу ? постоянна, то формула Сида имеет вид:
?
R1 R1?CS
CV = [e – 1].
?

108
109

С использованием этой формулы, докажите, что компенсирующая вариация и потреби-
тельский излишек равны в случае квазилинейных предпочтений.


132. Предположим, что первое благо доступно лишь в дискретных количествах, а второе
благо — деньги (используемые на приобретение других благ), и функция полезности ква-
зилинейна: u(x) = v(x1) + x2. Пусть, далее, ri – резервная цена приобретения i-ой единицы
первого блага и определяется соотношением
u(i–1, x2 – (i–1)ri) = u(i, x2 – iri).
(а) Покажите, что если потребитель приобретает n единиц первого блага, то цена p1 на
него удовлетворяет соотношению: rn> p1 > rn–1. При каких условиях верно и обратное
утверждение?

(в) Покажите, что если v(0) = 0, то v(n) = ¤ ri, а потребительский излишек
i

CS = v(n) + R – p1n
совпадает с “чистой” выгодой от приобретения первого блага
(с) Покажите, что потребительский излишек совпадает с суммой компенсации, при кото-
рой потребитель готов полностью отказаться от потребления первого блага (увеличив тем
самым потребление второго блага на величину компенсации).


133. Сформулируйте определение компенсирующей, эквивалентной вариаций и потреби-
тельского излишка непосредственно в терминах функции спроса и функции полезности и
вычислите на этой основе их величины при K = 2, R0 = R1 = 100, p0 = (1,1), p1 = (2,1),
когда...
(a) предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;
(b) блага абсолютно заменимы;
(c) блага комплементарны;
(c) предпочтения описываются функцией Кобба-Дугласа.


134. Проделайте аналогичные вычисления для случая, когда цена на первое благо падает
(K = 2, R0 = R1 = 100, p0=(2,1), p1=(1,1)). Сравните результаты вычислений этого и преды-
дущего упражнения и объясните различия.


135. Проиллюстрируйте на графике при условиях K = 2, R0 = R1 =const, p2 = const поведе-
ние кривых спроса (на первое благо) Хикса и Маршалла, и укажите соответствующие фи-
гуры, площади которых измеряют компенсирующую, эквивалентную вариацию и потре-
бительский излишек когда
(а) предпочтения представимы функцией полезности Кобба-Дугласа;
(а) предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности;
(а) блага вполне заменимы;
(а) блага комплементарны
в случае (I) падения и (II) роста цены первого блага.

109
110



136. Пусть K = 2, p2 = const. Для заданной на плоскости (x, p) системы кривых спроса
Хикса на первое благо изобразите
(а) возможное положение кривых спроса Маршалла на это благо;
(в) соответствующие компенсирующую, эквивалентную вариацию и потребительский из-
лишек при (I) падении и (II) росте цены первого блага.
(с) Каковы соотношения между величинами компенсирующей, эквивалентной вариаций и
потребительского излишка в разных ситуациях (различающихся типом благ (нормальное-
малоценное благо) и характером изменения цен (падение-рост)).


137. Пусть в экономике присутствует два товара. В результате некоторого мероприятия
экономической политики изменилась цена первого блага. При этом цена второго блага и
доход потребителя остались неизменны. Как соотносятся компенсирующая, эквивалент-
ная вариации и потребительский излишек в случае если:
а) цена первого блага выросла и первый товар нормальный;
б) цена первого блага выросла и первый товар – товар Гиффена;
в) цена первого блага упала и первый товар малоценный;
г) цена первого блага упала и первый товар – товар Гиффена.
Докажите соответствующие неравенства.


138. Покажите, что при изменении одной цены ?CS обладает свойством аддитивности.

Элементы теории выбора и выявленные предпочтения
Обычно в микроэкономике описание предпочтений с помощью бинарных отношений ис-
пользуется в качестве отправной точки анализа рационального выбора потребителя. Но
возможен и другой подход, отправной точкой которого непосредственно является выбор
участника. Преимущество такого подхода состоит в следующем: мы можем наблюдать
выбор участника, но не его предпочтения. Однако в некотором достаточно широком клас-
се случаев подход, основанный на выборе, полностью эквивалентен подходу, основанно-
му на предпочтениях, в том смысле, что возможно по известному выбору построить от-
ношение предпочтения, которое порождает этот выбор. С другой стороны, подход, осно-
ванный на предпочтениях, позволяет построить более богатую теорию.
Для описания выбора участника в теории выбора вводятся понятия ситуации выбора и пра-
вила выбора, определенного на множестве ситуаций выбора. Ситуация выбора — это не-
которое подмножество множества допустимых (физически) альтернатив X, с которым

<< Предыдущая

стр. 24
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>