<< Предыдущая

стр. 25
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

участник сталкивается и из которого он может выбирать.

Определение 24.
X
Пусть A — множество ситуаций выбора (A ? 2 ). Правило выбора C(.) ставит в соответ-
ствие каждой ситуации выбора A из A непустое множество C(A) выбранных альтернатив,
каждая из которых является элементом A, т.е. C(A) ? A.


Рациональность потребителя в терминах функции выбора выражается в «аксиоме выбора
Хаутеккера».

110
111

Определение 25. Аксиома выбора Хаутеккера (Аксиома выявленных
предпочтений)
Пусть A и A? — две ситуации выбора и альтернативы x, y принадлежат как A, так и A?.
Если x ? C(A), а y ? C(A?), то x ? C(A?).


Смысл данного свойства прозрачен. Если подразумевать, что потребитель рационален в
том смысле, что выбирает в любой ситуации выбора “лучшие” альтернативы, то данная
аксиома устанавливает условие непротиворечивости его выбора.

Определение 26.
Будем говорить, что альтернатива x нестрого выявленно предпочитается альтернативе y,
если существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A).


В дальнейшем нестрогое отношение выявленного предпочтения будем обозначать }R и гово-
_
рить, что x выявленно не хуже y, когда x }R y. Смысл этого определения состоит в том, что
_
если была выбрана альтернатива x в ситуации выбора, когда была доступна также альтер-
натива y, значит, x не может быть хуже y.

Определение 27.
Будем говорить, что альтернатива x строго выявленнно предпочитается альтернативе y,
если существует ситуация выбора A, такая что x, y ? A и x ? C(A), но y ? C(A).


будем обозначать }R и говорить, что x выяв-
Строгое отношение выявленного предпочтения
ленно лучше y, когда x }R y. Смысл этого определения состоит в том, что если в какой-то
ситуации выбора были доступны как x, так и y, но альтернатива x была выбрана, а альтер-
натива y — нет, значит, x лучше y.
Аксиому выбора Хаутеккера можно переформулировать в терминах выявленных предпоч-
тений:
Если x выявленно не хуже y, то y не может быть выявленно лучше x, т.е.
(x }R y) ? ! (y }R x).
_


Рациональность потребителя в терминах предпочтений тесно связана с рациональностью
выбора потребителя, как она сформулирована в аксиоме выбора Хаутеккера.

Теорема 36.
Пусть правило выбора C(A) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом
¦ выполнена аксиома выбора Хаутеккера;
¦ A содержит все одно-, двух- и трехэлементные подмножества X.
Тогда нестрогое отношение выявленного предпочтения }R, соответствующее правилу
_
выбора C(A)
(1) полно,
(2) транзитивно.


Доказательство:



111
112

(1) Пусть x, y — две альтернативы из X. Ситуация выбора {x, y} должна принадлежать A,
так как это двухэлементное подмножество X. Поскольку по определению C({x, y}) не
должно быть пустым, то либо x?C({x, y}), либо y?C({x, y}). То есть либо x }R y, либо y }R
_ _
x.
(2) Пусть x, y, z — три альтернативы из X, такие что x }R y и y }R z. Ситуация выбора {x, y,
_ _
z} должна принадлежать A, так как это трехэлементное подмножество X.
Покажем, что x?C({x, y, z}). Если y?C({x, y, z}), то из аксиомы выбора Хаутеккера следу-
ет, что x?C({x, y, z}), поскольку x }R y. Аналогично, если z ?C({x, y, z}), то x?C({x, y, z}).
_
Поскольку C({x, y, z}) непусто, то в любом случае x ? C({x, y, z}). Это влечет за со-
бой, что x }R z.
_
*
Данное утверждение показывает, что выбор на основе правила выбора, удовлетворяющего
аксиоме Хаутеккера, можно «рационализировать» как выбор на основе некоторого отно-
шения предпочтения. Заметим, что, как будет показано ниже, справедливо и обратное.
Если заданы предпочтения } , то правило выбора потребителя, соответствующее этим
_
предпочтениям естественно определить следующим образом:
C}(A) ? {x?A | x } y ? y?A}.
_
_


Теорема 37.
Пусть правило выбора C}(A) соответствует транзитивному нестрогому отношению
_
предпочтения }. Тогда это правило выбора удовлетворяет аксиоме выбора Хаутеккера.
_


Доказательство:
Пусть x }R y. Это означает, что в некоторой ситуации выбора A как x, так и y можно было
_
выбрать (x, y ? A) и среди выбранных альтернатив была альтернатива x (x?C}(A)). По-
_

скольку правило C}(A) порождено нестрогим отношением предпочтения }, то x } y. Пусть
_ _
_

в некоторой другой ситуации выбора A? как x, так и y можно было выбрать (x, y ? A?) и
среди выбранных альтернатив была альтернатива y (y ? C}(A?)). Это означает, что y } z _
_

? z ? A?. Из транзитивности следует, что то же самое должно быть верным для x, т.е. x } z
_
? z ? A?. Таким образом, x ? C}(A?), то есть аксиома Хаутеккера выполнена. *
_

Покажем теперь, что если множество ситуаций выбора, на котором определено правило
выбора, достаточно богато, то подход, берущий за основу правило выбора, эквивалентен
подходу, берущему за основу предпочтения.

Теорема 38.
R
Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда правило выбора C (A), порож-
денное нестрогим отношением выявленного предпочтения }R, сопадает с исходным
_
правилом выбора на A, т.е.
R
C (A) = C(A) ? A?A.


Доказательство:
R
(C(A) ? C (A))


112
113

Пусть x ? C(A). Тогда по определению нестрогого выявленного предпочтения x }R y ? y ?
_
R
A. Отсюда видно, что x ? C (A).
R
(C (A) ? C(A))
R
Пусть x ? C (A). Поскольку множество C(A) непусто, то существует альтернатива y ?C(A).
R
Условие x ? C (A) означает, что для произвольной альтернативы z ? A, в том числе и для
y, выполнено x }R z, то есть существует такая ситуация выбора A?, что x , y ? A? и x ? C(A?).
_
Таким образом, мы имеем x , y ? A?, x , y ? A, x ? C(A?) и y ?C(A). По аксиоме Хаутеккера
это означает, что x ? C(A).
*

Задачи
139. Нестрогое отношение выявленного предпочтения всегда обладает свойством
¦ полноты;
¦ транзитивности;
¦ рефлексивности.


140. Пусть множество альтернатив X конечно. Тогда функция выбора C(.), определенная
на всех подмножествах множества X, удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений
Хаутеккера, если
¦ правило (функция) выбора является вогнутым;
¦ выбор участника может быть описан полным и транзитивным отношением предпочте-
ния;
¦ функция спроса участника может быть получена на основе сравнения потребительских
излишков.


141. Множество альтернатив X конечно и состоит из 3 элементов X = {x, y, z}.
Участник осуществляет свой выбор на его подмножествах A 1={x, y}, A 2={x, y, z}. Выбор
участника описывается функцией выбора C(.). Какие из нижеприведенных правил выбора
не удовлетворяют аксиоме выявленных предпочтений?
¦ C1({x, y})={x}, C1({x, y, z})={x};
¦ C2({x, y})={x}, C2({x, y, z})={y};
¦ C3({x, y})={x, y}, C3({x, y, z})={x, y}.


142. Множество альтернатив X конечно и состоит из 3-х элементов X = {x, y, z}. Участник
осуществляет свой выбор на его подмножествах A1={x, y}, A 2={y, z},
A3={x, z}. Выбор участника описывается функцией выбора C(.), при этом C(A 1) = {x}, C(A
2) = {y}, C(A 3) = {z}. Какие из нижеприведенных высказываний справедливы?

1) Выбор удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.
2) Выбор участника представим некоторым отношением предпочтения.


113
114

143. Какому из перечисленных утверждений эквивалентна аксиома выявленных предпоч-
тений?
¦ Пусть X — множество альтернатив. Пусть A, A? ? X и кроме того x, y ? A и x, y ? A?.
Тогда из того, что x ? C(A) и y ? C(A?) следует x, y ? C(A) и x, y ? C(A?), где C(.) — функ-
ция выбора.
¦ Пусть X — множество альтернатив. Тогда из того, что x? A и y ? A? следует x? A? и y
? A, где A, A? ? X некоторые подмножества X.
¦ Пусть X — множество альтернатив. Пусть A, A? ? X и кроме того x ? C(A) и y ? C(A?),
где C(.) — функция выбора. Тогда x, y ? A и x, y ? A?.


144. Отношение выявленного предпочтения обладает свойством полноты, если…
¦ правило выбора задано на множестве всех подмножеств множества альтернатив;
¦ отношение выявленного предпочтения отрицательно транзитивно;
¦ отношение выявленного отношения удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.


145. Пусть множество альтернатив X конечно и состоит из 3-х элементов X={x, y, z}.
Участник осуществляет свой выбор на его подмножествах A1 = {x, y}, A2={x, y, z}. Выбор
участника описывается функцией выбора C(.).
Отношение выявленного предпочтения заданное для данной ситуации
¦ не будет удовлетворять аксиоме выявленных предпочтений;
¦ не будет полным;
¦ будет обладать свойством транзитивности.


146. Одно из необходимых условий для того, чтобы отношение выявленного предпочте-
ния было транзитивно состоит в том, что
¦ правило выбора непрерывно;
¦ отношение выявленного предпочтения рефлексивно;
¦ правило выбора задается на всех трехэлементных подмножествах множества альтерна-
тив.


147. Пусть функция С}(.) сопоставляет каждому непустому подмножеству А множества Х
совокупность его наилучших по } элементов
(С}(А) ? (х?А | не существует y ?A, такой, что y } x).
Покажите, что если нестрогое и строгое отношения предпочтения связаны соотношением
x } y ? x } y, но не y } x,
_ _

то построенные на их основе правила выбора совпадут, то есть область определения A у
них будет одинаковой и
С}(А) = С}(А) ? А ?A.
_



114
115



148. Пусть множество альтернатив Х конечно, определенное на нем отношение предпоч-
тения } антисимметрично и отрицательно транзитивно, а функция С(.) сопоставляет каж-
дому непустому подмножеству А множества Х совокупность его наилучших по } элемен-
тов
(С}(А) ? (х?А | не существует y ?A, такой, что y } x).
Покажите, что
(1) для всякого А множество С}(А) не пусто, а функция С}(А) удовлетворяет аксиоме вы-
явленных предпочтений Хаутеккера;
(2) если С(А) ? А — произвольная функция выбора, сопоставляющая каждому непустому
подмножеству А непустое подмножество его элементов и удовлетворяющая аксиоме вы-
бора Хаутеккера, то существует антисимметричное и отрицательно транзитивное отноше-
ние предпочтения }, такое что С(А) = С} (А).

Альтернативный подход к описанию предпочтений:

<< Предыдущая

стр. 25
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>