<< Предыдущая

стр. 26
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

стохастические предпочтения
До сих пор мы смотрели на предпочтения как на детерминированный объект. Условно
говоря, наш потребитель всегда предпочитал что-то одно либо яблоки, либо груши. Но
реальный выбор экономических агентов далеко не столь однозначно определен. Довольно
правдоподобно, что, например, в половине случаев потребитель предпочитает яблоки, а во
второй половине груши. Как корректно объяснить такое поведение агентов? Излагаемый
далее пример иллюстрирует этот стохастический взгляд на предпочтения.
Пусть потребительское множество X={x, y, z}. Множество ситуаций выбора A={{x, y},
{y, z}, {z, x}}. С(A) – стохастическая функция выбора, которая представляет собой веро-
ятностное распределение над элементами из A и интерпретируется, как вероятность вы-
бора соответствующей альтернативы. Будем говорить, что стохастическая функция выбо-
ра С(.) рационализируется предпочтениями, если найдется вероятностное распределение
над строгими отношениями предпочтения на X согласующееся со стохастической функ-
цией выбора. Покажем, например, что стохастическая функция выбора C({x, y})= C({y,
11
z})=C({z, x})=(2, 2) может быть рационализованна предпочтениями, а функция выбора
13
C({x, y})= C({y, z})=C({z, x})=( , ) не может. Между тремя альтернативами содержа-
44
щимися в множестве X, можно задать 6 разных рациональных отношений предпочтения.
1) y } z } x 2) z } x } y 3) x } y } z
4) z } y } x 5) y } x } z 6) x } z } y
Сопоставим с каждым из этих отношений предпочтения вероятность того, что выбор по-
требителя подчинен этому отношению предпочтения. С учетом этих вероятностей
C({x, y})= (p2+p3+p6, p1+p4+p5),
C({y, z})= (p1+p3+p5, p2+p4+p6),
C({z, x})= (p3+p5+p6, p1+p2+p4).
Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить найдутся ли такие вероятно-
сти (p1, p2, …, p6) которые согласуются с нашей функцией выбора


115
116

11
C({x, y})= C({y, z})=C({z, x})=(2, 2).

Фактически необходимо решить следующую систему линейных уравнений:
1
? ?
2
? ?
1
011001 p1
? ?? ?
2
? ?
100110 p2
? ?? ?
1

? ?
101010 p3 2
=1.
? ?? ?
010101 p4
? ?
? ?? ?
2
110100 p5
1
001011 p6
? ?
2

? ?
1
2
Легко заметить что решение данной системы уравнений существует, например, возьмем
1
p1 = p2, … = p6 = , и не единственное, так как матрица вырождена. Приведем еще одно
6
11 11
решение данной системы ( , , 0, 0, , ).
44 44
Аналогично непосредственной проверкой устанавливается, что для случая C({x, y})=
13
C({y, z})=C({z, x})=( , ) таких вероятностей подобрать не удается, так как не существу-
44
ет неотрицательного решения соответствующей системы. Наконец проинтепретируем
11
полученные вероятности. Функция выбора C({x, y})= C({y, z})=C({z, x})=(2, 2) могла
наблюдатся в действительности если, например, в первом квартале потребитель имел
предпочтения y } z } x, во втором квартале он имел предпочтения z } x } y, а в третьем и
четвертом y } x } z и x } z } y, соответственно. Тогда его опрос о предпочтениях в тече-
нии прошедшего года мог дать подобную функцию выбора.

Агрегирование предпочтений
В этом параграфе мы рассмотрим условия, при которых функция рыночного спроса может
быть порождена как решение задачи индивидуальной рациональности отдельного репре-
зентативного агента. Такого рода конструкции, когда рыночный спрос представляется
порождаемым некоторым виртуальным агентом, является рабочим аппаратом современ-
ной макроэкономики и поэтому такая постановка вопроса интересна, осмысленна и явля-
ется одним из базовых оправданий микрооснований макроэкономики.
Предположим, что в экономике присутствуют n агентов, каждый из которых имеет функ-
цию спроса xi(p, Ri). Как не сложно заметить, совокупный спрос этих агентов ¤xi(p, Ri),
вообще говоря, зависит от распределения доходов между ними. Пусть потребители в эко-
номике имеют доходы (R1,…, Rn) и предположим, что доходы каждого из потребителей
изменились на дифференциально малую величину dRi, причем ¤ dRi=0. Изменение сум-
марного спроса в экономике в результате этого изменения доходов составит: ¤
d xi(p, Ri)
d Ri dRi. В случае если суммарный спрос не зависит от распределения доходов, т.е.
¤xi(p, Ri) = x (p, ¤ Ri) это изменение совокупного спроса должно быть равно 0, т.е. ¤




116
117

d xi(p, Ri)
d Ri dRi = 0 и быть справедливым для всех перераспределений удовлетворяющих
dxi(p, Ri) dxj(p, Rj)
условию ¤ dRi=0. Что возможно лишь в ситуации когда = dR .
d Ri j

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для выполнения этого ус-
ловия ”всюду” и соответственно для глобального агрегирования предпочтений.

Теорема 39.
Рыночный спрос ¤ xi(p, Ri) не зависит от распределения доходов потребителей, т.е. ¤
xi(p, Ri) = x(p, ¤Ri) тогда и только тогда, когда индивидуальные функции спроса по-
рождены одним и тем же гомотетичным отношением предпочтения }. _


Доказательство:
Предположим, что каждая индивидуальная функция спроса xi(p, Ri) получена на основе
некоторого (но одного и того же!) гомотетичного отношения предпочтения }. Как было
_
показано выше, в случае гомотетичных предпочтений индивидуальная функция спроса
будет положительно однородна первой степени по доходу. Таким образом, ¤x (p, Ri)=¤
Rix (p, 1)=(¤Ri)x (p, 1)= x (p, ¤ Ri).
Предположим теперь, что существует некоторая функция спроса x (., .), такая что ¤xi(p,
Ri) = x(p, ¤Ri) для всех p, R1,…, Rn. Рассмотрим некоторого агента i и распределение
доходов Ri = R, и Rj =0, при j?i. Тогда x(p, R)= xi(p, R), откуда следует, что все агенты
одинаковы и имеют одни и те же предпочтения. Для того, что бы показать, что спрос x (.,
.), получен исходя из гомотетичных предпочтений, покажем, что функция x (., .) линейна
по R. Это, например, следует из того факта, что x (p, R1+R2)= x (p, R1)+ x (p, R2).
*
Если отказаться от требования, что суммарный спрос всюду не зависит от распределения
дохода, а требовать это свойство только локально, то класс предпочтений позволяющих
локальное агрегирование расширится.
Одним из важных классов функций полезности позволяющих локальное агрегирование
является класс квазилинейных функций полезности. Подробнее этот вопрос мы рассмот-
рим при рассмотрении квазилинейной экономики.




117
118




2. Поведение производителя
Технологическое множество и его свойства
Рассмотрим экономику с l благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать
часть из этих товаров как факторы производства и часть — как выпускаемую продукцию.
Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает доста-
точной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат.
При описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как
выпуск со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и
не затрачивается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем
производства этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в
которой продукт, производимый фирмой, также потребляется ею в процессе производст-
ва. В этом случае мы будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т.е.
его выпуск минус затраты.
Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно
m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через r ?  +, а
n


объемы выпусков через y ?  + . Вектор (–r, yo) будем называть вектором чистых выпусков.
m


Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков y = (–
r, yo) составляет технологическое множество Y. Таким образом, в рассматриваемом случае
любое технологическое множество — это подмножество  – ?  + .
n m


Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться
жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может
при одной технологии затрачиваться, а при другой — производится. В этом случае Y ?   .
l


Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описа-
ние конкретных классов технологий.
1. Непустота
Технологическое множество Y непусто.
Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной
деятельности.
2. Замкнутость
Технологическое множество Y замкнуто.
Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит
свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов
чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.
3. Свобода расходования:
если y ? Y и y? < y, то y? ? Y.
Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же са-
мый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же
затратах.
4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”)
y?Y и y>0 ? y=0
118
119
Это свойство означает что для производства продукции в положительном количестве не-
обходимы затраты в ненулевом объеме.
y2


Y
y1


5. Невозрастающая отдача от масштаба:
если y ? Y и y? = ?y, где 0 < ? < 1, тогда y? ? Y.

?enoiie 17. Oaoiieiae?aneia iii?anoai n aic?anoa?uae ioaa?ae io ianooaaa.
Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В слу-
чае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача озна-
чает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора
не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по
микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить
более 10 таких задач.
5?. Неубывающая отдача от масштаба:
если y ? Y и y? = ?y, где ? > 1, тогда y? ? Y.
В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая
отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачивае-
мого фактора не убывает.
5??. Постоянная отдача от масштаба — ситуация, когда технологической множества
удовлетворяет условиям 5 и 5? одновременно, т.е.
если y ? Y и y? = ?y?, тогда y? ? Y ? ? > 0.
Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (воз-
можно, не содержащим 0) .
В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная от-
дача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при
изменении объема производства.
y2

Y

y1



?enoiie 18. Auioeeia oaoiieiae?aneia iii?anoai n oauaa?uae ioaa?ae io ianooa-
aa.
6. Выпуклость:
если y?, y? ? Y и 0 < ? < 1, то ?y? + (1 – ?)y? ? Y.



119
120
Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропор-
ции.
7. Необратимость
y ? Y и y ? 0 ? (–y) ? Y.
Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает,
что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.
8. Аддитивность
y ? Y и y? ? Y ? y + y? ? Y.
Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.
9. Допустимость бездеятельности:
0 ? Y.

<< Предыдущая

стр. 26
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>