<< Предыдущая

стр. 27
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорема 1.
1) Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества
следует его выпуклость.
2) Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует
невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей
отдаче технология может быть невыпуклой, см. Рис. 19).
3) Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей
отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно — выпуклый конус.



Доказательство:
Доказательство оставляется в качестве упражнения.
Не все допустимые технологии в равной степени важны с экономической точки зрения.
*

y2


Y
y1


?enoiie 19. Iaauioeeia oaoiieiae?aneia iii?anoai n iaaic?anoa?uae
ioaa?ae io ianooaaa.
Среди допустимых особо выделяются эффективные технологии. Допустимую технологию
y принято называть эффективной, если не существует другой (отличной от нее) допусти-
мой технологии y?, такой что y? > y. Очевидно, что такое определение эффективности не-
явно подразумевает, что все блага являются в определенном смысле желательными. Эф-
фективные технологии составляют эффективную границу технологического множества.
При определенных условиях оказывается возможным использовать в анализе эффектив-
ную границу вместо всего технологического множества. При этом важно, чтобы для лю-
бой допустимой технологии y нашлась эффективная технология y?, такая что y? > y. Для

120
121
того, чтобы это условие было выполнено, требуется, чтобы технологическое множество
было замкнутым, и чтобы в пределах технологического множества невозможно было уве-
личивать до бесконечности выпуск одного блага, не уменьшая при этом выпуск других
благ. Можно показать, что если технологическое множество обладает свойством свободы
расходования, то эффективная граница однозначно задает соответствующее технологиче-
ское множество.
y2


Y
y1


?enoiie 20. Yooaeoeaiay a?aieoa oaoiieiae?aneiai iii?anoaa
Начальные курсы и курсы промежуточной сложности, при описании поведения произво-
дителя, опираются на представление его производственного множества посредством про-
изводственной функции. Уместен вопрос, при каких условиях на производственное мно-
жество такое представление возможно. Хотя можно дать более широкое определение про-
изводственной функции, однако здесь и далее мы будем говорить только об «однопродук-
товых» технологиях, т.е. m = 1.
Пусть R — проекция технологического множества Y на пространство векторов затрат, т.е.
R = {r?  | ? yo ?  : (–r, yo) ? Y}.
n



Определение 1.
Функция f(?): R &   называется производственной функцией, представляющей техно-
логию Y, если при каждом r ? R величина f(r) является значением следующей задачи:
yo > max y
(–r, yo) ? Y.



Заметим, что любая точка эффективной границы технологического множества имеет вид
(–r, f(r)). Обратное верно, если f(r) является возрастающей функцией. В этом случае
yo = f(r) является уравнением эффективной границы.
Следующая теорема дает условия, при которых технологическое множество может быть
представлено производственной функцией.

Теорема 2.
Пусть для технологического множества Y ?   ? (–R) для любого r ? R множество
F(r) = {yo | (–r, yo) ? Y}
замкнуто и ограничено сверху. Тогда Y может быть представлено производственной
функцией.



Доказательство:


121
122
Замкнутость и ограниченность сверху множества F(r) гарантируют, что существует
f(r) ? F(r) такой, что f(r) > y ?y ? F(r).
*
Замечание: Выполнение условий данного утверждения можно гарантировать, например,
если множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масштаба и
отсутствия рога изобилия.

Теорема 3.
Пусть множество Y замкнуто и обладает свойствами невозрастающей отдачи от масшта-
ба и отсутствия рога изобилия. Тогда для любого r ? R множество
F(r) = {y1 | (–r, yo) ? Y}
замкнуто и ограничено сверху.


Доказательство:
Замкнутость множеств F(r) непосредственно следует из замкнутости Y.
Покажем, что F(r) ограничены сверху. Пусть это не так и при некотором r ? R существу-
ет неограниченно возрастающая последовательность {yN}, такая что yN ? F(r). Тогда
вследствие невозрастающей отдачи от масштаба (–r/yN, 1) ? Y. Поэтому (вследствие
замкнутости), (0, 1) ? Y, что противоречит отсутствию рога изобилия.
*
Отметим также, что если технологическое множество Y удовлетворяет гипотезе свобод-
ного расходования, и существует представляющая его производственная функция f(?), то
множество Y описывается следующим соотношением:
Y = {(–r, yo) | yo < f(r), r ? R}.
Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множест-
ва и представляющей его производственной функции.

Теорема 4.
Пусть технологическое множество Y таково, что для всех r ? R определена производст-
венная функция f(?). Тогда верно следующее
1) Если множество Y выпукло, то функция f(?) вогнута.
2) Если множество Y удовлетворяет гипотезе свободного расходования, то верно и об-
ратное, т.е. если функция f(?) вогнута, то множество Y выпукло.
3) Если Y выпукло, то f(?) непрерывна на внутренности множества R.
4) Если множество Y обладает свойством свободы расходования, то функция f(?) не
убывает.
5) Если Y обладает свойством отсутствия рога изобилия, то f(0) < 0.
6) Если множество Y обладает свойством допустимости бездеятельности, то f(0) > 0.


Доказательство:
(1) Пусть r?, r? ? R. Тогда (–r?, f(r?)) ? Y и (–r?, f(r?)) ? Y, и
(–?r? – (1 – ?)r?, ?f(r?) + (1 – ?)f(r?)) ? Y ?? ? [0; 1],
122
123
поскольку множество Y выпукло. Тогда по определению производственной функции
?f(r?) + (1 – ?)f(r?) < f(?r? + (1 – ?)r?),
что означает вогнутость f(?).
(2) Поскольку множество Y обладает свойством свободного расходования, то множество
Y (с точностью до знака вектора затрат) совпадает с ее подграфиком. А подграфик вогну-
той функции — выпуклое множество.
(3) Доказываемый факт следует из того, что вогнутая функция непрерывна во внутренно-
сти ее области определения.
(4) Пусть r?>r? (r?, r? ? R). Поскольку (–r?, f(r?)) ? Y, то по свойству свободы расходова-
ния (–r?, f(r?)) ? Y. Отсюда, по определению производственной функции, f(r?) > f(r?),
то есть f(?) не убывает.
(5) Неравенство f(0) > 0 противоречит предположению об отсутствии рога изобилия. Зна-
чит, f(0) < 0.
(6) По предположению о допустимости бездеятельности (0, 0) ? Y. Значит, по определе-
нию производственной функции, f(0) > 0.
*
В предположении о существовании производственной функции свойства технологии
можно описывать непосредственно в терминах этой функции. Покажем это на примере
так называемой эластичности масштаба.
Пусть производственная функция дифференцируема. В точке r, где f(r) > 0, определим
локальную эластичность масштаба e(r) как:

df(?r) ? ?
 .
e(r) =
d? f(r)?? = 1
Если в некоторой точке e(r) равна 1, то считают, что в этой точке «постоянная отдача
масштаба», если больше 1 — то «растущая отдача», меньше — «убывающая». Вышепри-
веденное определение можно переписать в следующем виде:
?f(r)
¤ r
?ri i
e(r) = f(r) .

Теорема 5.
Пусть технологическое множество Y описывается производственной функцией f(?) и в
точке r выполнено e(r) > 0. Тогда верно следующее:
1) Если технологическое множество Y обладает свойством убывающей отдачи от мас-
штаба, то e(r) < 1.
2) Если технологическое множество Y обладает свойством возрастающей отдачи от
масштаба, то e(r) > 1.
3) Если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то e(r) = 1.


Доказательство:
(1) Рассмотрим последовательность {?n} (0 < ?n < 1), такую что ?n > 1. Тогда (–?nr,
?nf(r)) ? Y, откуда следует, что f(?nr) > ?nf(r). Перепишем это неравенство в виде:

123
124
f(?nr) – f(r)
< f(r).
?n – 1
Переходя к пределу, имеем
?f(r)
df(?r)?
  r < f(r).

d? ?? = 1 ?ri i
Таким образом, e(r) < 1.
Свойства (2) и (3) доказываются аналогично.
*
Технологические множества Y можно задавать в виде неявных производственных функций
g(?). По определению, функция g(?) называется неявной производственной функцией, если
технология y принадлежит технологическому множеству Y тогда и только тогда, когда
g(y) > 0.
Заметим, что такую функцию можно найти всегда. Например, подходит функция такая,
что g(y) = 1 при y ? Y и g(y) = –1 при y ? Y. Заметим, однако, что данная функция не яв-
ляется дифференцируемой. Вообще говоря, не каждое технологическое множество можно
описать одной дифференцируемой неявной производственной функцией, причем такие
технологические множества не являются чем-то исключительным. В частности, техноло-
гические множества, рассматриваемые в начальных курсах микроэкономики, часто быва-
ют такими, что для их описания нужно два (или больше) неравенства с дифференцируе-
мыми функциями, поскольку требуется учитывать дополнительные ограничения неотри-
цательности факторов производства. Чтобы учитывать такие ограничения, можно исполь-
зовать векторные неявные производственные функции, для которых условие технологиче-
ской допустимости имеет вид g(y) > 0. Тем не менее, целью упрощения изложения мы в
дальнейшем для описания технологий будем использовать только одно ограничение и т.е.
скалярную функцию.
Укажем здесь на связь неявной производственной функции и более привычной (явной)
производственной функцией: в ситуации, когда технология такова, что ресурсные ограни-
чения оказываются несущественными, значение неявной производственной функции
можно определить как
g((–r, yo)) = f(r) – yo.

Задачи
1. Пусть технологическое множество фирмы задается условием:
y1 < ln(1 – y2), где y2 < 1.
Какими свойствами обладает данная технология?


2. Докажите Теорему 1.


3. Технологические способы (–5; 4), (–4; 0) и (–2; 2) принадлежат некоторому технологи-
ческому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–3; 2) при-
надлежит Y, если известно, что Y выпукло? Изобразите графически множество техноло-
гических способов, про которые можно утверждать, что они принадлежат Y.


124
125
4. Технологические способы (–5; 4), (–4; 0) и (–2; 2) принадлежат некоторому технологи-
ческому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–2; 1) при-
надлежит Y, если известно, что Y выпукло и характеризуется убывающей отдачей? Изо-
бразите графически множество технологических способов, про которые можно утвер-
ждать, что они принадлежат Y.


5. Технологические способы (–8; 10), (–2; 3) и (–4; 2) принадлежат некоторому технологи-
ческому множеству Y. Можно ли гарантировать, что технологический способ (–5; 5) при-
надлежит Y, если известно, что Y характеризуется свободой расходования? Изобразите
графически множество технологических способов, про которые можно утверждать, что
они принадлежат Y.


6. Пусть однопродуктовая технология может быть представлена производственной функ-
цией. Показать, что производственное множество удовлетворяет свойству постоянной
отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда соответствующая производственная
функция однородна первой степени.


7. Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло и – + ? Y, то
l

оно обладает свойством свободы расходования.


8. Назовем вектор ? направлением рецессии технологического множества если существу-
ет y ? Y и неограниченная последовательность положительных чисел {?i}, такая что
y + ?i? ? Y.
(a) Покажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то множество
рецессивных направлений ? является замкнутым выпуклым конусом. В случае, если Y
удовлетворяет условию свободы расходования, то множество ? содержит – +.
l

<< Предыдущая

стр. 27
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>