<< Предыдущая

стр. 28
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



(b) Предположим, что Y замкнуто и выпукло, 0 ? Y. Докажите, что тогда ? является ре-
цессивным направлением технологического множества Y тогда и только тогда, когда
??? Y ?? > 0? .
(c) Докажите, что если технологическое множество Y замкнуто и выпукло, то Y + ? = Y.



Задача производителя и ее свойства
Гипотеза, лежащая в основе модели поведения производителя заключается в том, что про-
изводитель выбирает технологически допустимый вектор чистых выпусков, максимизи-
рующий прибыль. В терминах чистых выпусков прибыль есть скалярное произведение
вектора чистых выпусков y ? Y на вектор цен: py. Таким образом, если производитель,
приобретая факторы производства и продавая производимые блага на рынках с совершен-
ной конкуренцией блага, сталкивается с некоторым вектором цен p, то его выбор оказы-
вается решением следующей задачи на экстремум:
Задача 3.
py > max y?Y.



125
126
Отметим, что если все цены положительны (все блага желательны), то решение задачи
производителя должно лежать на эффективной границе технологического множества.

эффективная y2
граница


Y p2/p1


y1

?enoiie 21. Eee?no?aoey ?aoaiey caaa?e i?iecaiaeoaey
Обозначим множество цен, на котором существует решение Задачи 3, через P.

Определение 2.
y(p) будем называть отображение, которое ставит в соот-
Отображением предложения
ветствие каждому вектору цен p ? P множество решений этой задачи. Если решения
единственны, то говорят о функции предложения.


Определение 3.
— это функция, которая ставит в соответствие каждому вектору цен
Функция прибыли
p ? P значение Задачи 3:
?(p) = py(p).



Существенное отличие задачи производителя (Задача 3) от задачи потребителя (Задачи 1)
состоит в том, что множество ее допустимых решений Y, как правило, не ограничено. Бо-
лее того, для технологий с неубывающей отдачей существование допустимых технологий
с положительной прибылью означает существование допустимых технологий, дающих
сколь угодно большую прибыль.
Пример 1. (Отсутствие решения задачи производителя).
Пусть технологическое множество имеет вид Y = {(y1, y2) | y1 < 0, y2 + ?y1 < 0}, цены благ
равны p1, p2. Если выбрать y2 = –?y1, то прибыль будет равна –(?p2 – p1)y1. Поэтому если
?p2 >p1, то прибыль не ограничена сверху, и решение отсутствует.
Если ?p2 < p1, то решение единственно — y1 = 0 и y2 = 0. Если ?p2 = p1, то решением этой
задачи является любая технологически допустимая пара (y1, y2), такая что y2 + ?y1 = 0.
?
Таким образом, существование решений можно гарантировать лишь при дополнительных
предположениях относительно вектора цен p и структуры множества Y. Ниже мы дока-
жем существование решения для всех неотрицательных цен при следующем (сильном)
предположении: существует компактное множество Y?, такое что
Y? ? Y и Y ? Y? –  +.
l
(?)



126
127


Y?
Y?

2
Y? –  +
Y




?enoiie 22. Eee?no?aoey i?aaiiei?aiey, aa?aioe?o?uaai
nouanoaiaaiea ?aoaiey caaa?e iaeneiecaoee i?eauee
Заметим (что легко увидеть из предлагаемых иллюстраций Рис. 5), что множество Y?, об-
ладающее указанным свойством, если существует, то определяется множеством Y не
единственным образом.

Теорема 6.
Пусть выполнено соотношение (?). Тогда решение Задачи 3 существует при любом не-
отрицательном векторе цен благ.



Доказательство:
Докажем, что задача максимизации прибыли на Y в определенном смысле сводится к за-
даче максимизации прибыли на Y?. Пусть y ? Y и y ? Y?. Тогда по условию (?) найдется
вектор y? ? Y? такой, что y? – y > ? 0. Тем самым мы нашли допустимое решение, для кото-
рого прибыль не меньше, чем для y. Из этого следует, что нам достаточно рассматривать
только y ? Y?.
Поскольку Y? — компактное множество, а прибыль py непрерывна по y, то по теореме
Вейерштрасса решение Задачи 3 на множестве Y? всегда существует.
*
Ясно, что предположения этой теоремы слишком ограничительны, что не позволяет уста-
навливать существование решения задачи производителя для многих популярных техно-
логических множеств. Так, для производственной функции Кобба—Дугласа с убывающей
отдачей (f(K, L) = K?L?, ? + ? < 1) мы можем гарантировать существование решения при
положительных ценах, а условию теоремы она не удовлетворяет.
Существование решение задачи потребителя в этом случае гарантируется тем фактом, что
на всех «рецессивных направлениях» данного технологического множества прибыль при-
нимает отрицательные значения. Поясним сказанное и приведем утверждения, обобщаю-
щие доказанную выше теорему.
Введем соответствующие понятия.
Пусть Y удовлетворяет свойству невозрастающей отдачи от масштаба. Назовем вектор ?
рецессивным направлением (направлением «удаления в бесконечность»), если ?? ? Y
?? > 0. Обозначим через ? множество всех рецессивных направлений. По построению ?
является конусом. Построим на основе ? следующее множество (множество цен, которые
на рецессивных направлениях дают отрицательную прибыль):
?
P = {p | p? < 0 ?? ? ?: ? ? 0}.
Справедлива следующая теорема.

127
128
Теорема 7.
Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто и удовлетворяет свойству невоз-
?
растающей отдачи от масштаба. Тогда при всех p ? P Задача 3 имеет решение.


Доказательство:
?
Рассмотрим p ? ? и предположим, что Задача 3 не имеет решения. Тогда существует не-
ограниченная последовательность технологий {yi}, такая что
||yi+1|| > ||yi||
и
lim pyi = sup y?Y py.
Без ограничения общности можно считать, что yi ? 0. Рассмотрим последовательность
yi/||yi||. Эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпосле-
˜ ˜
довательность. Обозначим эту подпоследовательность через {yi}, а ее предел через y. По-
кажем, что y??.
˜
^ ^˜ ^˜
Пусть это не так, и найдется ?, такое что ?y ? Y. Рассмотрим последовательность ?yi. Из
свойства невозрастающей отдачи и того, что исходная последовательность yi неограниче-
но возрастает, следует, что начиная с некоторого i эта последовательность принадлежит

Y. Пределом этой последовательности будет вектор ?y. Поскольку технологическое мно-

жество замкнуто, то ?y ? Y. Полученное противоречие доказывает, что y??.
˜

Поскольку p ? P и y??, то py < 0. Отсюда следует, что для достаточно больших i pyi < 0,
˜ ˜
поэтому lim pyi = –?. C другой стороны, поскольку Y непусто, то sup y?Y py > –?. Получи-
ли противоречие.
*
Из доказанной теоремы следует, что если множество рецессивных направлений ? совпа-
дает с  – , то (в предположениях теоремы) решение задачи производителя существует при
l

любых положительных ценах. Примером служит технология, задаваемая производствен-
ной функцией Кобба—Дугласа с убывающей отдачей.
Докажем некоторые свойства функции прибыли и отображения (функции) предложения.

Теорема 8. (Свойства функции ?(p))
1) Функция ?(p) положительно однородна 1-й степени:
?(?p) = ??(p) ?p ? int(P).
2) Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли ?(p) выпукла на лю-
бом выпуклом подмножестве множества P (множества цен, при которых Задача 3 имеет
решение).
3) Функция ?(p) непрерывна на внутренности множества P, int(P).
4) Если множество Y строго выпукло, то ?(p) непрерывно дифференцируема на
p ? int(P).


Доказательство:
1) Доказательство однородности оставляем в качестве упражнения.

128
129
2) Докажем выпуклость ?(?). Пусть от некоторых двух цен p, p? взята выпуклая комбина-
ция — цена
p? = ?p + (1 – ?)p? (0 < ? < 1).
Учитывая условия максимизации прибыли, имеем для y? = y(p?):
py? < ?(p), p?y? < ?(p?).
Складывая эти неравенства с множителями ? и 1 – ? соответственно, получим требуемое
неравенство:
?(p?) < ??(p) + (1 – ?)?(p?).
Выпуклость функции ?(?) можно также доказать, используя тот факт, что поточечный
максимум семейства выпуклых функций — выпуклая функция, заметив, что ?(?) является
поточечным максимумом выпуклых (линейных) функций py, y ? Y.
3) Непрерывность функции ?(?) на множестве int(P) следует, например, из того факта, что
выпуклая функция непрерывна во внутренности ее области определения.
4) Дифференцируемость функции ?(?) следует из того, что решение задачи производителя
y(p) единственно при любых при любых положительных ценах, градиент ??(p) = y(p).
Поскольку y(p) непрерывна на int(P), ?(p) непрерывно дифференцируема на int(P).
¦
Аналогом тождества Роя является следующая лемма Хотелинга, результат, который мы
использовали при доказательстве предыдущей теоремы и который мы установим сейчас
при более сильных, чем это необходимо, предположениях.

Теорема 9.
Пусть функция прибыли ?(?) непрерывно дифференцируема в точке p ? int(P).
Тогда
??(p)
= yk(p).
?pk


Доказательство:
Пусть p ? int(P) — некоторый вектор цен. Для доказательства леммы определим две
˜
функции от цены k-го блага pk. Первая из них представляет собой прибыль как функцию
˜
pk при условии, что остальные цены зафиксированы на уровне p–k , т.е.
?k(pk) = ?(p–k, pk) = ?(p1, ..., pk–1, pk, pk+1, ..., pl).
˜ ˜ ˜ ˜
˜ ˜
Обозначив y = y(p), определим вторую функцию как

?(pk) = pkyk + ¤psys.
˜ ˜˜
s?k

Она является линейной функцией pk.
По определению, ?(p) = py, а это означает, что ?k(pk) = ?(pk). При других ценах, вообще
˜ ˜˜ ˜ ˜
говоря, y = y(p) может не давать максимум прибыли, т. е ?k(pk) > ?(pk). Таким образом,
˜ ˜
прямая ?(pk) является касательной графика функции ?k(pk) в точке pk (точка A на Рис. 23).
˜
В точке касания производные совпадают, поэтому

129
130
??(p)
˜

= ?k(pk) = ??(pk) = yk,
˜ ˜
?pk
что и означает справедливость Леммы.
¦




A
pkyk + ¤psys
˜ ˜˜
?(p–k, pk)
˜
s?k



pk
˜
pk
?enoiie 23. Eee?no?aoey aieacaoaeunoaa Eaiiu Oioaeeeiaa

<< Предыдущая

стр. 28
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>