<< Предыдущая

стр. 29
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Теорема 10. (Свойства отображения предложения)
• Отображение (функция) предложения y(p) положительно однородно нулевой степени.
• Если множество Y строго выпукло, то y(p) — однозначная функция на p ? P, причем
y(p) непрерывна на p ? int(P).
• Если функция прибыли ?(?) дважды непрерывно дифференцируема, то матрица Якоби
M = {?ys/?pk} функции y(p) симметрична и положительно полуопределена, p ? int(P).


Доказательство:
Доказательство оставляем в качестве упражнения.
¦
Если технологическое множество может быть представлено посредством производствен-
ной функции, то задача производителя сводится к следующей задаче максимизации при-
были:
pof(r) – wr > max r?R ,
где po — цена выпускаемой продукции, r — количество затрачиваемых факторов произ-
водства, w — вектор цен факторов. Прибыль здесь определяется как разность между вы-
ручкой poyo и издержками wr.
Пусть r(w, po) — функция спроса на факторы производства при векторе цен (w, po),
yo(w, po) — функция предложения продукции при векторе цен (w, po). Заметим, что если
po > 0, то yo(w, po) = f(r(w, po)). В данном контексте функция прибыли записывается в сле-
дующем виде:
?(w, po) = pof(r(w, po)) – wr(w, po).
Поясним связи переменных этой задачи с ранее рассмотренными. Как не трудно понять
p = (w, po) и y(p) = (–r(w, po), yo(w, po)).
Как результаты доказанные в этом параграфе, так и те которые будут доказаны впоследст-
вии могут быть доказаны и в случае когда первичный объект рассмотрения не технологи-
ческое множество, а производственная функция.



130
131
Если r — внутреннее решение задачи максимизации прибыли (r ? int(R)) и производст-
- -
-
венная функция дифференцируема, то r удовлетворяет следующим условиям первого по-
рядка:
?f(r)
-
= wk ?k ? K.
o
p
?rk
т.е. предельная производительность каждого фактора производства равна его цене. В век-
торной записи
po?f(r) = w.
-
При po > 0 получим следующую дифференциальную характеристику задачи производите-
ля:
?f(r) wk
-
= po ,
?rk
т.е. предельный продукт каждого фактора производства равен его относительной цене
(пропорции обмена этого производственного фактора на продукт).
Предположим, что множество R задается неравенствами r > 0. Тогда любое решение
удовлетворяет соотношению
?f(r)
-
< wk,
po
?rk
причем (условия дополняющей нежесткости)
?f(r)
-
= wk, если rk > 0,
po
?rk
и
?f(r)
-
rk = 0, если p < wk.
o
?rk
Указанные необходимые условия оптимальности оказываются достаточными в случае,
если производственная функция вогнута.
Соотношения леммы Хотеллинга в этом случае приобретают следующий вид:
??(w, po)
= f(r(w, po)),
?po


??(w, po)
= –rk(w, po).
?wk
Можно получить аналогичную дифференциальную характеристику решения задачи про-
изводителя и в случае, если технологическое множество задано неявной производствен-
ной функцией g(?), которая является дифференцируемой.
Заметим, что если технологическое множество задано неявной производственной функци-
ей g(?), то задача производителя записывается как
py > max y . j


g(y) > 0.
При дифференцируемости функции g(?) решение этой задачи можно охарактеризовать при


131
132
помощи теоремы Куна—Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагранжа для за-
дачи производителя равна

L = ¤ pkyk + ? g(y),
k?K

где ? — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
По теореме Куна—Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, что ?g(y) ? 0) существует множитель Лагранжа ? > 0, такой
-
что решение задачи, y, удовлетворяет условиям
?L(y, ?)
-
= 0, ?k ? K,
?yk
или
?g(y)
-
? = pk, ?k?K.
?yk
Другими словами,
??g(y) = p,
-
то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен. Если не
все цены равны нулю (p ? 0), то ? > 0. Исключая множитель Лагранжа ?, для любых двух
благ k, s ? K, таких что pk ? 0, получаем, что
ps ?g(y)/?ys
-
pk ?g(y)/?yk.
=
-
Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной
нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной
теореме Куна—Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено допол-
нительное условие, что функция g(?) вогнута.

Задачи
9. Объясните, почему при не равных нулю ценах решение задачи производителя должно
лежать на границе технологического множества.


10. Докажите, что все точки эффективной границы выпуклого технологического множест-
ва являются решением задачи производителя при некоторых неотрицательных, не равных
нулю ценах. Приведите пример, показывающий, что в этом утверждении нельзя заменить
неотрицательные цены на положительные.


11. Для случая, когда технологическое множество может быть представлено посредством
производственной функции, сформулируйте и докажите лемму Хотеллинга, пользуясь
формулой вычисления прибыли и условиями первого порядка для внутреннего решения
задачи производителя.


12. Для случая, когда Y представлено дифференцируемой неявной производственной
функцией, можно доказать лемму Хотеллинга используя теорему Куна—Таккера. Прове-
132
133
дите это доказательство. (Подсказка: см. первое доказательство леммы Шепарда для тео-
рии потребления.)


13. Докажите Теорему 10.


14. Покажите, что если производственная функция f(?) строго вогнута, и кроме того,
f(0) = 0, то прибыль в точке оптимума неотрицательна.


15. Покажите, что если производственная функция в точке максимума прибыли обладает
возрастающей отдачей от масштаба, то прибыль не может быть положительной. На осно-
вании этого выведите, что в случае возрастающей отдачи от масштаба задача производи-
теля либо не имеет решения, либо в точке решения прибыль равна нулю.


16. Пусть r(w, po) — функция спроса на факторы, yo(w, po) = f(r(w, po)) — функция пред-
ложения, а H = ?2f(r) — матрица вторых производных производственной функции f(r).
Выведите следующие соотношения сравнительной статики для задачи производителя:
?yo ?r
1 1 –1
= – po ?f H ?f, = – po H ?f,
–1
?po ?po
?yo 1 –1 ?r 1 –1
= po H ?f, = oH .
?w ?w p
На основании этого сделайте заключение о поведении выпуска производителя и его спро-
са на факторы для вогнутых производственных функций. Проиллюстрируйте эти соотно-
шения для производственной функции типа Кобба—Дугласа.


17. Пусть множество производственных возможностей фирмы задается условием:
y1 < ln(1 – y2), где y2 <1.
Постройте функции спроса (предложения) на y1, y2. Постройте функцию прибыли для
данной технологии.


18. Для технологии, описываемой производственной функцией f(r) = r?, вычислите:
- функцию прибыли,
- функцию спроса на производственный фактор,
- функцию предложения,
Покажите, что
- функция прибыли однородна и выпукла (по цене продукции, po, и цене производственно-
го фактора, w),
- функция спроса удовлетворяет закону спроса,
- функция предложения удовлетворяет закону предложения



133
134
19. Найдите функцию прибыли, функцию предложения и функцию спроса на факторы для
перечисленных производственных функций:
(а) f(r) = « r? , ?i > 0, (функция Кобба—Дугласа).
i
i

(б) f(r) = ¤ air?,
i

(в) f(r) = ¤ fi(ri) + rn.
Какими свойствами обладают найденные функции? Покажите, что для данных функций
выполнена лемма Хотеллинга.


20. Докажите, что валовой доход фирмы, не может вырасти, если цены на все факторы
производства увеличатся пропорционально.


21. Покажите, что валовой доход фирмы не может вырасти, если упадет цена по крайней
мере одного из выпускаемых ею продуктов.


22. Покажите, что прибыль фирмы упадет, если вырастет цена по крайней мере на один из
используемых ею факторов производства..


23. Покажите, что прибыль фирмы упадет, если упадет цена по крайней мере на один из
выпускаемых ею продуктов.


24. Предположим, что производственная функция для некоторой технологии вогнута и
сепарабельна, причем предельный продукт любого фактора производства как угодно мал
при достаточно больших объемах затрат этого фактора производства. Покажите, что
- валовой доход фирмы упадет, если возрастет цена по крайней мере на один из исполь-
зуемых ею факторов производства;
- функция спроса (предложения) данной фирмы удовлетворяет условиям валовой замени-
мости;
- спрос данной фирмы на любой фактор производства неограниченно возрастает при па-
дении цены этого фактора производства;
- предложение данной фирмы неограниченно возрастает при росте выпускаемой этой
фирмой продукции.


25. Покажите, что в случае однородной производственной функции показатель отдачи от
масштаба не зависит от цен факторов.


26. Покажите, что в случае однородной производственной функции отношение функций
спроса на любые два фактора производства не зависит от цены продукции.


27. Покажите, что функция прибыли сепарабельна тогда и только тогда, когда сепара-
бельна функция спроса.


134
135
Восстановление технологического множества

<< Предыдущая

стр. 29
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>