<< Предыдущая

стр. 3
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

• местам их расположения (сервелат, продаваемый в Москве и в Новосибирске, рас-
сматриваются как разные блага),
• состояниям природы (зонтик завтра, в случае если завтра пойдет дождь отличается от
зонтика завтра, если будет солнечная погода) и т.д.
Кроме того, при моделировании важно четко представлять информацию, которой облада-
ют экономические агенты о свойствах благ. Классическая микроэкономика основывается
на предположении, что потребители обладают полной информацией о свойствах благ еще
до момента покупки3. Данное предположение значительно облегчает изучение процесса

1
Может это и излишне, но, тем не менее, отметим, что понятие благо не несет оценочных суждений, типа
хорошо-плохо, благо-вред и т.п., оно просто отсылает к способности удовлетворять некоторые потребности,
или, наоборот, вызывать неудовлетворённость (как, скажем, наличие на полу сигаретных окурков и т.п.).
Естественно, здесь и далее мы говорим только об экономических благах, т.е. о торгуемых на рынках.
2
Debreu, Gerard, Theory of Value, NY:Wiley, 1959
3
Иногда товары, о свойствах которых потребитель знает до момента выбора называют search goods. Под-
робное обсуждение данной классификации товаров смотри в работах: Nelson, P., Information and Consumer

14
15

выбора. В случае же когда информация о свойствах блага получается потребителем лишь
в процессе потребления, но не в момент покупки (например, покупка подержанной техни-
ки с рук), описание процесса рационального выбора должно включать стратегический
момент, обусловленный неопределенностью свойств/качества блага в момент выбора4.
Ситуация еще больше усложняется если свойства/качество блага ненаблюдаемы как в мо-
мент выбора, так и невыявляемы в процессе потребления (например, с некоторой долей
условности примером блага с таким свойством, являются медицинские услуги)5.
Для того чтобы описать процесс выбора нам в первую очередь необходимо определиться с
тем, что является непосредственным объектом предпочтения, выбора. Классический под-
ход в качестве такового объекта рассматривает потребительские наборы (корзины). Этому
подходу мы и будем следовать в дальнейшем6. Будем предполагать, что потребителю дос-
тупны K благ. Через xk обозначим количество блага с номером k. Сделаем упрощающее
предположение, что все рассматриваемые нами блага бесконечно делимы. С учетом этого
предположения, под потребительским набором будем подразумевать вектор
x
? .1 ? K
x=? . ? ?  ,
? xK ?
где k-ая компонента означает количество потребляемого блага с номером k. Отметим, что,
вообще говоря, xk может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В
частности, если в качестве одного из товаров рассматривается количество часов труда
предлагаемое индивидуумом на рынок, то предположение что xk<0, отражает тот факт,
что в данном случае относительного этого товара индивидуум является продавцом, а не
покупателем. Под множеством допустимых альтернатив X? K будем понимать множество
всех физически и/или институционально возможных наборов благ. Обычно предполагает-
^
ся, что множество X замкнуто и ограниченно снизу, т.е. существует вектор x такой, что
^
для каждого x принадлежащего X выполнено x>x. Пусть, также, множество X таково,
˜ ˜
что вместе с любым вектором x содержит все вектора большие чем x, т.е. те x для кото-
˜
рых выполнено x>x. Кроме того, будем предполагать, если не оговорено противное, что
множество X – выпукло и 0?X. Замкнутость множества X требование скорее техниче-
ское, и, при этом, не вызывает особых содержательных нареканий. Ограниченность снизу
можно понимать следующим образом. Помимо «обычных» благ, потребляемых в неотри-
цательных количествах, в экономике присутствуют блага, для которых потребление мо-
жет быть отрицательной величиной, например, труд, но его потребление потребителем не
может превосходить естественно определенной величины – 24 часа. Свойство «продол-
жаемости вверх» означает, что, потенциально, потребителю доступно неограниченное
количество блага. Конечно, этого свойства хотелось бы избежать, и во многих современ-
ных работах, например, по общему равновесию, оно отсутствует, но ряд основных клас-
сических результатов теории потребителя значительно проще формулируется и получает-
ся в случае его выполнения. Действительно, например, при отсутствии этого свойства мы
уже не можем говорить о том, что выбор потребителя принадлежит бюджетной линии и

Behavior, Journal of Political Economy, Vol. 78, 1970 и Darby, M., and E. Karni, Free Competition and the Opti-
mal Amount of Fraud, Journal of Law and Economics, Vol. 16, 1973.
4
Товары с такой структурой информированности называют experience goods.
5
Товары с такой структурой информированности называют credence goods.
6
Вообще говоря, это не единственный подход к определению объекта (области определения) предпочтений.
Так, например, Кельвин Джон Ланкастер («A New Approach to Consumer Theory», Journal of Political Econ-
omy, Apr. 1966) в качестве такой области определения предлагал рассматривать характеристики благ, а не
сами блага.

15
16

др. Наконец, поясним значение свойства выпуклости. Выпуклость множества X не такое
безобидное и естественное предположение, как может показаться на первый взгляд. Су-
ществует достаточное число содержательных экономических вопросов, при изучении ко-
торых данное предположение неприемлемо. Например, некоторые из рассматриваемых
благ могут потребляться в дискретных количествах. Подобная ситуация значительно ус-
ложняет дело и требует более тонких рассмотрений, на которых мы не останавливаемся.
Свойство 0?X имеет достаточно прозрачный смысл, оно фактически означает, что потре-
битель потенциально может бездействовать, ни чего не потребляя. Такая ситуация не оз-
начает что это будет его выбором, но мы признаем за ним такую возможность. Иногда
бывает удобно предполагать, что множество допустимых альтернатив представляет собой
неотрицательный ортант  + , т.е. X= + . В дальнейшем, в каждом конкретном случае,
K K

будет либо указано, либо ясно из контекста какой из вышеприведенных случаев предпола-
гается.7
Как мы уже говорили выше, в основе действий потребителя лежат его предпочтения, в
соответствии с которыми он осуществляет выбор между доступными ему наборами из
множества допустимых альтернатив. Удобным языком для обсуждения концепции пред-
почтений является язык бинарных отношений, краткое описание которого дается в сле-
дующем параграфе.

Бинарное отношение и его свойства
Чтобы мотивировать и пояснить понятие бинарного отношения рассмотрим известную
детскую игру «камень-ножницы-бумага». Предполагается, что: камень побеждает ножни-
цы (тупит), ножницы побеждают бумагу (режут), бумага побеждает камень (оборачивает),
в остальных случаях, например, камень – камень боевая ничья. Будем говорить, что x на-
ходится в отношении ? к y и писать x ? y, в случае если x побеждает y, где x и y принад-
лежат множеству {камень, ножницы, бумага}. Естественно возникает мысль отождествить
отношение ? с множеством, элементами которого являются упорядоченные пары8 – (ка-
мень, ножницы), (ножницы, бумага), (бумага, камень) и только они. Отметим, что так
определенное отношение (множество) ?, очевидно, является подмножеством множества
состоящего из всевозможных упорядоченных пар, где каждый элемент пробегает множе-
ство {камень, ножницы, бумага}.
Этот простой пример приводит нас к следующему определению бинарного отношения.

Определение 1.
Пусть X – произвольное непустое множество. Декартовым квадратом множества X на-
зовем множество, обозначаемое X ? X, элементами которого являются всевозможные
упорядоченные пары (x, y), где x, y пробегают все множество X. Под бинарным отно-
шением ?, заданным на множестве X, будем понимать, некоторое подмножество декар-
това квадрата X ? X, т.е. формально ? ? X?X.


Другими словами ? — это некоторое множество упорядоченных пар (x, y), где x и y —
элементы множества X. Понятие бинарного отношения имеет достаточно простую графи-
ческую иллюстрацию (см. Рисунок 1.)



7
Более подробное обсуждение понятия блага и множества допустимых альтернатив смотри в Маленво, Э.,
Лекции по микроэкономическому анализу, Москва, Наука, 1985, Гл. 1., §3 и Гл. 2., §4.
8
Выражение «упорядоченная пара» означает, что пары (a, b) и (b, a) считаются различными.

16
17




?
X



X

?enoiie 1. Aeia?iia ioiioaiea ?, caaaiiia ia iii?anoaa X

Довольно часто в случае, когда пара (x, y) принадлежит множеству ? вместо (x, y)??,
пишут x?y и говорят, что x находится в отношении ? к y.
Определим теперь некоторые свойства бинарных отношений, которые мы в дальнейшем
будем использовать при рассмотрении отношений предпочтения.

Определение 29.
Бинарное отношение ? называется
• если ? x?X x?x
рефлексивным,

если ? x?X !(x?x)
• иррефлексивным10,

• если ? x, y?X x?y? y?x
симметричным,

если ? x, y?X x?y? !(y?x)
• асимметричным,

• если ? x, y, z ?X
транзитивным,

(x?y) и (y?z)? (x?z)
• если ? x, y, z ?X
отрицательно транзитивным,

!(x?y) и !(y?z)? !(x?z)
• если ? x, y?X выполнено либо x?y, либо y?x, либо и то и другое.
полным,


Проиллюстрируем введенные свойства бинарного отношения на примерах.
Пример 1.
Пусть X– множество студентов учащихся в этом учебном году в Новосибирском Государ-
ственном Университете, ? – отношение «выше ростом, чем» заданное на X. Посмотрим,
каким указанным выше свойствам удовлетворяет данное бинарное отношение. Очевидно,
что какого бы мы студента не взяли, его рост не может быть больше его же роста, т.е.,
например, 175 не может быть больше 175. Таким образом, это отношение является ирреф-
лексивным и не удовлетворяет свойству рефлексивности. Это отношение также является


9
Здесь и далее, под !A мы подразумеваем отрицание A.
10
Часто это свойство также называют нерефлексивностью, но при такой терминологии возникают довольно
странные выражения типа – «бинарное отношение не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным». Что
бы избежать этой игры слов, мы и используем выбранный вариант.

17
18

асимметричным и не является симметричным. Действительно, пусть a рост некоторого
студента x, а b рост некоторого студента y и x?y, т.е. студент x имеет больший рост, чем
y (a > b). Тогда вполне понятно, что не верно (b > a), что и означает, что не верно y?x.
Таким образом, с учетом произвольности выбора x и y получили желаемое. Проверим те-
перь, что данное отношение является транзитивным, из множества X возьмем трех произ-
вольных студентов x, y, z, чей рост составляет a, b и c соответственно, причем выполнено
следующее: a > b и b > c. Очевидно, что по свойству сравнения действительных чисел11 мы
имеем, что a > c. Это в точности означает, что x?z и мы, таким образом, показали транзи-
тивность ?. Выполнение свойства отрицательной транзитивности мы проверим чуть поз-
же, а сейчас перейдем к проверке свойства полноты. Как несложно понять, данное отно-
шение не является полным, если среди студентов есть хотя бы два с одинаковым ростом.
В этом случае ни один из этих двух студентов не будет выше другого и, таким образом,
мы имеем нарушение полноты. Если же среди нашего множества X нет ни одной пары
студентов с одинаковым ростом, то введенное на X отношение «выше ростом, чем» обла-
дает свойством полноты.
?
Пример 2.
Пусть X= +, на этом множестве задано отношение ? по правилу (x1,x2) R (y1, y2) ? x1 + y2
2


> y1 + x2. Перед тем как отвечать на вопрос о том, каким свойствам удовлетворяет данное
бинарное отношение, заметим, что x1 + y2 > y1 + x2 ? x1 – x2 > y1 – y2, т.е. (x1,x2) R (y1, y2)
? x1 – x2 > y1 – y2. Как не сложно догадаться, данное бинарное отношение удовлетворяет
тем же свойствам, что и отношение > на действительной прямой, т.е. полнота, транзитив-
ность, рефлексивность. Проверьте самостоятельно выполнение/невыполнение условий
симметричности/асимметричности и отрицательной транзитивности.
?
Замечание. При проверке указанных выше свойств предпочтений следует быть осторож-
ным и не делать поспешных выводов. Так если Вы установили, что отношение не является
рефлексивным, то из этого, вообще говоря, не следует, что отношение является иррефлек-
сивным. Та же ситуация возникает при рассмотрении связки свойств симметричность и
асимметричность.
Эти определения также легко проиллюстрировать графически в духе Рисунка 1. Так, на-
пример, рефлексивность означает, что вся диагональ декартового квадрата X?X принад-
лежит ?. Свойство симметричности означает, что множество ? симметрично относитель-
но диагонали декартового квадрата. Полнота означает, что если мы «согнем» декартов
квадрат по диагонали, то в итоге получим треугольник без выколотых точек.
Выше мы ввели и обсудили ряд часто используемых свойств бинарных отношение. Сей-
час рассмотрим взаимосвязь между этими свойствами.

Теорема 1.
• Каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.
• Каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.
• Каждое иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение является асимметрич-
ным.



11
Кстати, а каким свойствам удовлетворяет это бинарное отношение?

18
19

• Отношение ? является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда ? x,
y, z ?X x?y ? (x?z) или (z?y).


Доказательство:
Доказательство свойств тривиально. С целью демонстрации техники доказательства мы
докажем только третий пункт теоремы.
Предположим, противное, т.е. пусть отношение ? иррефлексивно, транзитивно, но не яв-
ляется асимметричным. Тогда найдется пара x, y ?X такая, что x?y и y?x. Так как отно-
шение ? транзитивно, то из x?y и y?x следует x?x. Противоречие с иррефлексивно-

<< Предыдущая

стр. 3
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>