<< Предыдущая

стр. 30
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Аналог концепции выявленных предпочтений для модели производителя имеет довольно
простой вид. Пусть (pi, yi), i = 1, ..., n — последовательность наблюдений: при ценах pi
наблюдался вектор чистого выпуска yi. Если при каком-то векторе цен pi выполнено
piyj >piyi, то yi не максимизирует прибыль при ценах pi. А это противоречит рациональ-
ности производителя.
Если же piyj < piyi ?i, j, то последовательность наблюдений (pi, yi), i = 1, ..., n не проти-
воречит гипотезе максимизации прибыли. Технологическое множество, которое порожда-
ет такие выборы производителя, может быть построено разными способами. Рассмотрим
некоторые из них.



(1) (2)
y1 y1
y2
y2
Y1 Y2


y3
y3


(3) (4)

y1
y1

y2
y2 Y4
Y3

y3
y3




y1 (5)

y2
Y5


y3


?enoiie 24. Aicii?iua niiniau ainnoaiiaeaiey iii?anoaa Y ii iaae?aaaiui
oi?eai
Наиболее простым является вариант, когда технологическое множество, которое при мак-
симизации прибыли порождает такие выборы, состоит только из точек yi, т.е.
Y1 = {y1, y2, ...,yn}.


135
136
Также можно в качестве технологического множества Y можно взять выпуклую оболочку
Y2 точек y1, y2, ...,yn (если мы предполагаем, что технологическое множество выпукло).
Если мы предполагаем выпуклость и свободу расходования, то в качестве Y можно взять
разность между Y1 и  +: Y3 = Y1 –  +, и между Y2 и  +: Y4 = Y2 –  +. Еще один вариант —
l l l l

пересечение полупространств, отсекаемых соответствующими гиперплоскостями:
Y5 = {y | piy < piyi, i = 1, ..., n}.
Все эти варианты для случая n = 2 изображены на приведенных выше рисунках. Прямые,
нарисованные пунктиром, изображают цены. Отметим, что
Y1 ? Y2 ? Y4 ? Y5
и
Y1 ? Y3 ? Y4 ? Y5.
Таким образом, существует несколько множеств, порождающий указанный спрос, причем
Y5 является «максимальным» из этих множеств (т.е. содержит любое другое множество).
Покажем, что аналогичная процедура позволяет построить подходящее технологическое
множество и в случае, когда количество наблюдений может быть бесконечно.
Предположим, что функция y(p), определенная на множестве цен P, такова, что y(p) яв-
ляется решением задачи максимизации прибыли при ценах p. Требуется на основе y(p) и
соответствующей функции прибыли ?(p) восстановить соответствующее технологическое
множество.
Заметим, что существование вектора y ? Y, такого что py > ?(p) при некоторых ценах p,
противоречило бы гипотезе максимизации прибыли на Y. Объединим все вектора y не
противоречащие этому условию при всех неотрицательных p в множество
Y? = ] p ? P{y | py < ?(p)} = {y | py < ?(p) ?p ? P}.
Очевидно, что по построению выполнено Y ? Y? (т.е. построенное технологическое мно-
жество будет в общем случае шире, чем исходное), и y(p) является решением задачи
производителя с технологическим множеством Y? при ценах p ? P. Как следствие, функ-
ция прибыли для технологического множества Y? определена при всех p ? P и совпадает
с ?(p).
Таким образом, мы нашли (максимальное) технологическое множество, которое порожда-
ет данные наблюдения.
Уместен вопрос: совпадет ли множество Y? с технологическим множеством Y, на основе
которого оно построено? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы нам восста-
навливать технологические множества по наблюдаемому поведению.
Ответ на вопрос зависит от свойств технологического множества Y и от множества цен P,
при которых наблюдается предложение.
В общем случае Y и Y? могут не совпадать, поскольку описанный метод построения Y?
порождает выпуклые множества (пересечение полупространств), а технологическое мно-
жество Y может быть невыпуклым (как на Рис. 24.1 и 24.3). Кроме того, ясно, что множе-
ство цен P может быть недостаточно «богатым» для того, чтобы технологическое множе-
ство было адекватно представлено наблюдаемыми выборами при этих ценах.
Рассмотрим частный случай, когда P =  ++. В этом случае Y и Y? могут не совпадать, по-
l


скольку наш метод построения Y? порождает множества, удовлетворяющее свойству сво-
боды расходования, а технологическое множество Y может не удовлетворять свойству
свободы расходования (как на Рис. 24.1 и 24.2).
136
137
Теорема 11.
Пусть технологическое множество Y непусто, замкнуто, выпукло и удовлетворяет свой-
ству свободы расходования. Тогда при P =  ++ оно совпадает с порождаемым им множе-
l

ством Y?.


Доказательство:
Поскольку Y ? Y?, то остается показать только, что Y? ? Y.
˜
Рассмотрим точку y, не принадлежащую технологическому множеству Y. По теореме
˜
отделимости для непустого выпуклого замкнутого множества Y и точки y, не принадле-
˜
жащей этому множеству, существует вектор коэффициентов p, не равный нулю, и число
q, такие что
py > q > py ?y ? Y.
˜˜ ˜
˜
Покажем, что p может быть вектором цен. Для этого нужно, чтобы он не имел нулевых
или отрицательных компонент.
Предположим, что pi < 0. Рассмотрим некоторую точку y? ? Y и луч y? – ?ei при ? > 0, где ei
˜
— орт (i-я компонента равна 1, а остальные — нули). Этот луч целиком лежит во множе-
стве Y, так как Y удовлетворяет свойству свободы расходования. Величина py? – ?pi не
˜ ˜
ограничена сверху. Это противоречит тому, что py > py ?y ? Y. Мы пришли к противо-
˜˜ ˜
речию, поэтому p > 0.
˜
Более того, можно выбрать вектор коэффициентов так, что в нем не будет нулевых ком-
понент. Действительно, рассмотрим вектор p + ? p?, где p? — произвольный вектор цен из
˜
 ++. Величины p?y при y ? Y ограничены сверху значением ?(p?), поэтому, если ? доста-
l

точно мало, то все еще будут выполняться неравенства
(p + ? p?)y > (p + ? p?)y ?y ? Y.
˜ ˜˜
Следовательно, существует вектор p > 0, такой что py > py ?y ? Y. Отсюда следует, что p
˜ ˜˜ ˜ ˜
y > ?(p), и, значит, y ? Y?.
˜ ˜
Мы показали, что любая точка, которая не принадлежит Y, не принадлежит и Y?. А это
значит, что Y? ? Y.
¦

y2
˜
y

Y


y1

?enoiie 25. Eee?no?aoey ioaaeeiinoe
Ниже Рис. 26 приведены примеры ситуаций, когда при нарушении предположений теоре-
мы, ее утверждение (Y? ? Y) неверно и, тем самым, невозможно восстановить Y на основе
функции прибыли.



137
138
Эти точки нельзя отделить
гиперплоскостью с
Эти точки неотрицательным наклоном
нельзя y2
отделить y2
y1


Y Y
y1
Не выполнено условие свободы
Не выполнено условие расходования
выпуклости

?enoiie 26. Neooaoee, eiaaa iaaicii?ii ainnoaiiaeou Y.

Обсудим теперь следующую проблему: как для данной функции ?(p) и функции y(p),
определенных на множестве цен P, определить, могут ли они являться они функцией при-
были и функцией предложения рационального производителя?
Понятно, что необходимыми требованиями к функции прибыли являются ее выпуклость,
однородность первой степени и непрерывность. Оказывается, что эти условия являются и
достаточными для того, чтобы произвольная функция ?(p) была функцией прибыли для
некоторого технологического множества. В качестве такого множества можно взять рас-
смотренное выше множество
Y? = {y | py < ?(p) ?p ? P}.
Следующий набор утверждений формализует сказанное выше:
(1) Если функция ?(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибы-
ли, то построенная на ее основе функция y(p) удовлетворяет набору необходимых усло-
вий для функции предложения производителя.
(2) Если функция y(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции предло-
жения производителя, то построенная на ее основе функция ?(p) удовлетворяет набору
необходимых условий для функции прибыли.
(3) Если функция ?(p) удовлетворяет набору необходимых условий для функции прибы-
ли, то существует технологическое множество, порождающее ?(p) как функцию прибыли.
Перечислим упомянутые необходимые условия. Для удобства доказательства потребуем
дополнительно, что ?(p) является дважды непрерывно дифференцируемой, а y(p) —
непрерывно дифференцируемой.
Условия на функцию ?(p):
(A1) положительная однородность первой степени;
(A2) выпуклость;
(A3) ?(?) дважды непрерывно дифференцируема (более сильное условие, чем требуется).


Условия на функцию y(p):
(B1) положительно однородна нулевой степени,
(B2) матрица производных M = {?ys/?pk} существует и непрерывна, положительно полу-
определена и симметрична.
Сформулируем приведенный выше набор неформальных утверждений как теорему.

138
139
Теорема 12.
(1) Пусть
??(p)
,
yk(p) =
?pk
где функция ?(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).
Тогда y(p) = (y1(p), ..., yl(p)) удовлетворяет условиям (B1), (B2) налагаемым на функцию
спроса-предложения производителя.
(2) Пусть функция y(p) удовлетворяет условиям (B1), (B2).
Тогда функция ?(p) = py(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3).
(3) Пусть функция ?(p) удовлетворяет условиям (A1), (A2), (A3). Тогда множество
Y? = {y | py < ?(p) ?p > 0} является технологическим множеством порождающим функ-
цию прибыли ?(p).


Доказательство:
(1) (A1)-(A3) ? (B1)-(B2).
Поскольку функция ?(p) однородна первой степени, то ее производная y(p) однородна
нулевой степени.
Непрерывная дифференцируемость y(p) следует из дважды непрерывной дифференци-
руемости функции ?(p).
Матрица вторых производных любой дважды непрерывно дифференцируемой функции
симметрична. Применяя это свойство к функции ?(p) имеем,
?2?(p) ?2?(p)
.
=
?ps?pk ?pk?ps
Матрица вторых производных функции ?(p) есть матрица первых производных функции
y(p). Поэтому
?ys ?yk
=.
?pk ?ps
Положительная полуопределенность матрицы вторых производных (то есть rMr > 0
?r ?   ) — необходимый (и достаточный) признак выпуклости любой дважды дифферен-
n

цируемой функции.


(2) (B1)-(B2) ? (A1)-(A3).
Продифференцируем ?(p) = py(p) = ¤pkyk(p) по pk:
??(p) ?ys(p) ?y (p)
l l
= yk(p) + ¤ ps = yk(p) + ¤ ps k .
?pk ?pk ?ps

<< Предыдущая

стр. 30
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>