<< Предыдущая

стр. 31
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

s=1 s=1

Второе равенство — следствие симметричности производных функции y(p). Так как y(p)
— положительно однородна нулевой степени, то по закону Эйлера
?yk(p)
l
¤ ps = 0.
?ps
s=1

Таким образом,

139
140
??(p)
= yk(p).
?pk
Далее воспроизводим доказательство пункта (1) в обратном порядке.
(3)
Обозначим
y(p) = ??(p).
Так как ?(p) — однородная первой степени функция и y(p) — ее градиент, то по закону
Эйлера
?(p) = py(p).
Поскольку py(p) = ?(p), то в точке y(p) при данных ценах p величина py(p) всегда не
меньше, чем py в любой точке y ? Y?. Если мы докажем, что при любых ценах p > 0 точка
y(p) принадлежит множеству Y? = {y | p?y < ?(p?) ?p? > 0}, то тем самым мы докажем, что
?(p) есть функция прибыли, соответствующая технологическому множеству Y?.
То есть нам требуется показать, что p?y(p) < ?(p?) ?p, p? > 0.
График всякой выпуклой непрерывно дифференцируемой функция ?(r) лежит выше сво-
ей касательной, т.е. выполняется соотношение:
?(r?) > ?(r) + ??(r)(r? – r).
Так как ?(p) — выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то
?(p?) > ?(p) + ??(p)(p? – p).
Поскольку ??(p) = y(p) и py(p) = ?(p), получаем требуемое для доказательства утвер-
ждения соотношение
?(p?) > ?(p) + y(p) (p? – p) = y(p) p?.
¦

Задачи
28. Известно, что при ценах (1; 2) производитель выбрал вектор выпуска (1; –1), а при це-
нах (2; 1) — вектор выпуска (–1; 1). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?


29. Известно, что при ценах (3; 2) производитель выбрал вектор выпуска (2; –1), а при це-
нах (2; 3) — вектор выпуска (1; –2). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?


30. Известно, что при ценах (1; 4) производитель выбрал вектор выпуска (–4; 3), при ценах
(1; 1) — вектор выпуска (0; 0), а при ценах (2; 1) — вектор выпуска (3; –4). Можно ли га-
рантировать, что вектор выпуска (–1; 2) не принадлежит множеству допустимых техноло-
гий?


31. Известно, что при ценах (1; 4) производитель выбрал вектор выпуска (–4; 3), при ценах
(1; 1) — вектор выпуска (0; 0), а при ценах (2; 1) — вектор выпуска (3; –4). Можно ли га-
рантировать, что вектор выпуска (–9; 4) не принадлежит множеству допустимых техноло-
гий?

140
141


32. Сформулируйте аксиому выявленных предпочтений для модели производителя. До-
кажите, что если технологическое множество описывается строго вогнутой производст-
венной функцией, то выбор производителя удовлетворяет аксиоме выявленных предпоч-
тений.


33. Покажите, что выполняется соотношение ?po?yo – ?w?r > 0.


34. Известно, что спрос потребителя удовлетворяет закону спроса только в случае благ, не
являющихся товарами Гиффена, а спрос на факторы производства удовлетворяет закону
спроса всегда. Какие особенности моделей рационального поведения производителя и
потребителя предопределяют такие особенности их поведения?


35. Пусть функция прибыли производителя имеет вид
p
?(p) = p1(ln p1 – 1) + p2.
2

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Восстановите по
функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.


36. Пусть функция прибыли производителя имеет вид
? ? ? ?
??? 1 – ?
?w?
?(w, p ) = p – w 1 – ? (po?)1 – ?.
o1 – ?
o
??
Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Найдите функ-
цию спроса. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое
множество.

Затраты и издержки
Итак, мы изучили основные свойства модели рационального поведения производителя. В
микроэкономике утвердилась также традиция описывать технологию посредством функ-
ции издержек, решая при этом задачу максимизиции прибыли в два этапа. На первом на-
ходится минимальные затраты (и соответствующая им технология), которые позволяют
произвести данное количество продукции. Соответствующая зависимость между выпус-
ками и этими (минимальными) затратами и называется функцией издержек. На втором,
при известной функции издержек, при заданных ценах (или зависимостях этих цен от ре-
зультатов производственной деятельности) на выпускаемую продукцию и (факторы про-
изводства) находится тот выпуск, которому соответствует максимальная прибыль. Такое
разделение задачи "планирования" производства на два этапа представляется удобным
исследовательским приемом, и особенно при исследовании моделей равновесия в произ-
водством, удовлетворяющим условиям постоянной отдачи от масштаба, а также при ана-
лизе моделей несовершенной конкуренции, когда поведение производителя оказывает
влияние на рыночные цены.
В этом параграфе приведем соответствующие результаты относительно свойств функций
издержек и связь этого понятия с теми понятиями, которые были рассмотрены выше.
В этом параграфе для упрощения обозначений вектор выпуска мы будем обозначать через
y (вместо yo). Как и ранее, r — вектор соответствующих затрат.
141
142
Множество требуемых затрат
Определение 4.
Для каждого вектора выпуска y множество требуемых затрат V(y) — это множество
векторов затрат, обеспечивающих этот выпуск при данном технологическом множестве
Y, т.е.
V(y) = {r | (–r, y) ? Y}.

Из предполагаемых свойств Y вытекают некоторые свойства множества V(y) и соответ-
ствующего отображения V(?):
1. Из выпуклости Y следует выпуклость множеств V(y):
2. Из свободы расходования для Y следует свобода расходования для множеств V(y):
r ? V(y), r? > r ? r? ? V(y).
Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно.
Обычно предполагается монотонность отображения V(?), т. е. вложенность множеств V(y):
y < y? ? V(y?) ? V(y).

r2

V(y?)

V(y)
y < y?

r1

?enoiie 27. Iiiioiiiinou V(?)
Множества V(y), как и Y, в предположении свободного расходования можно строить по
производственной функции:
V(y) = {r | f(r) > y}.
Обратно, в случае однопродуктовой технологии (y ?  ) можно определить на основе V(?)
производственную функцию следующим образом:

f(r) = max y.
y:r?V(y)




Теорема 13.
Если отображение V(?) монотонно, то соответствующая производственная функция мо-
нотонна, а если к тому же множества V(y) выпуклы, то она квазивогнута.


Доказательство:
Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.

142
143
¦
В терминах множеств V(y) можно определить изокванты для данной технологии
Q(y) = {r ? V(y) | r ? V(y?), ?y? > y}.
Это множество таких векторов затрат r, которые позволяют произвести y, но не позволя-
ют произвести больше y. Таким образом, изокванта Q(y) — это граница множества V(y).
Например, для производственной функции Кобба-Дугласа с двумя видами затрат имеем
Y = {(–r1, –r2, y) | y < r?r1–?},
12

V(y) = {(r1, r2) | y < r?r1–?},
12

Q(y) = {(r1, r2) | y = r?r1–?}.
12

Напомним, что через w мы обозначили цены затрачиваемых ресурсов (часть общего век-
тора цен p, соответствующая –r).

Функция издержек
По аналогии с Задачей 3 рассмотрим следующую задачу
Задача 4.
wr > min r
r ? V(y).
Обозначим множество цен факторов, на котором существует решение Задачи 4 при объе-
ме выпуска y, через W(y).

Определение 5.
c(w, y) — это значение целевой функции Задачи 4; для каждого век-
Функция издержек
тора выпуска y и вектора цен факторов w ? W(y) она указывает минимальную величину
издержек, при которых в соответствии с данной технологией можно произвести y.

r2
V(y)



изокванта
Q(y) r1

?enoiie 28. Iino?iaiea ooieoee ecaa??ae
Если технологическое множество задано производственной функцией y < f(r), то Задача 4
примет вид:
wr > min r
y < f(r).
Функция издержек обладает следующими свойствами.

Теорема 14. (Свойства функции издержек c(w, y) выпуклой технологии)
Функция издержек c(w, y)


143
144
(1) положительно однородна первой степени по ценам факторов:
c(?w, y) = ?c(w, y) ?y, ?w ? W(y);
(2) монотонна по ценам факторов и выпуску при ;
(3) вогнута по ценам на любом выпуклом подмножестве множества W(y);
(4) непрерывна по ценам на внутренности множества W(y), int W(y).


Доказательство:
Доказательство свойств (1), (3) и (4) аналогично приводимым ранее и оставляется читате-
лю в качестве упражнения.
Докажем только монотонность функции издержек.
w? >? w ? c(w?, y) > c(w, y) ?w, w? ? W(y).
Пусть r > 0 — оптимальные затраты при ценах факторов w и выпуске y, т.е. wr = c(w, y).
Из w? >? w, следует, что c(w, y) = wr < w?r < c(w?, y).
¦
В дальнейшем нам понадобится также понятие функции условного спроса.

Определение 6.
на факторы производства r(w, y) есть оптимальное решение
Функция условного спроса
Задачи 4 при выпуске y и ценах факторов w.


Заметим, что функция издержек и функция условного спроса на факторы производства
определены для любого непустого замкнутого технологического множества Y.

Теорема 15. (Свойства функции условного спроса на факторы)
1) Функция условного спроса на факторы производства r(w, y) однородна нулевой сте-
пени как функция цен факторов производства w.
2) Если множество V(y) строго выпукло, то r(w, y) — однозначная непрерывная функ-
ция w.


Доказательство:
Доказательство этого утверждения аналогично приводимым ранее и оставляется читателю
в качестве упражнения.
¦
Если, кроме того, функция издержек дифференцируема, то верна лемма Шеппарда, которая
связывает издержки и функцию условного спроса на факторы.

Теорема 16.
Пусть функция издержек дифференцируема по ценам факторов при объеме производства
y.
Тогда для всех w ? int W(y) выполнено
?c(w, y)
= ri(w, y)
?wi
или

<< Предыдущая

стр. 31
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>