<< Предыдущая

стр. 32
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

144
145
?wc(w, y) = r(w, y).

Доказательство:
Зафиксируем цены факторов на уровне w ? int W(y). Введем функцию на W(y):
˜
?(w) = c(w, y) – wr(w, y).
˜
По определению функции издержек и функции условного спроса ?(w) достигает макси-
˜
мума, равного нулю, в точке w:
?(w) < 0 и ?(w) = 0.
˜
Если функция издержек дифференцируема по ценам факторов, то функция ?(?) тоже диф-
˜
ференцируема. Поскольку точка w внутренняя в W(y), то по условию первого порядка
максимума градиент ее должен быть равен нулю:
??(w) = ?wc(w, y) – r(w, y) = 0.
˜ ˜ ˜
¦
Как было указано выше, использование функции издержек позволяет рассматривать мак-
симизацию прибыли как двухэтапную процедуру. На первом этапе по данной технологии
и соответствующему множеству требуемых затрат строится функция издержек. На втором
этапе решается задача выбора объема производства, максимизирующего прибыль, которая
в этом случае рассчитывается как разница между выручкой и издержками:
py – c(w, y) > min y?Y . o



o
Здесь через p мы обозначили цены продукции, а через Y — те объемы производства, ко-
торые допустимы при данном технологическом множестве (существуют затраты, которые
вместе с y составляют допустимую технологию):
Y = {y | ?r: (–r, y) ? Y}.
o


Это один из вариантов записи задачи производителя. Если функция издержек дифферен-
цируема, и решение рассматриваемой задачи, y, является внутренним (т.е. y ? int Y ), то
o
- -
оно характеризуется следующим условием первого порядка:
?c(w, y)
-
= pk ?k,
?yk
или, в векторной записи,
?yc(w, y) = p.
-
Таким образом, оптимальный выпуск характеризуется тем, что предельные издержки рав-
ны цене.
На основе решения рассматриваемой задачи можно построить функцию (отображение)
-
предложения. Она указывает оптимальный объем выпуска y как функцию цен продукции
p и цен факторов w.
Обычно функции издержек используют в моделях частного равновесия (моделях квазили-
нейных экономик).

Восстановление множества требуемых затрат
Построим по функции издержек c(w, y) при некотором фиксированном объеме производ-
ства следующее множество:
145
146
Vc(y) = {r | wr > c(w, y) ?w > 0}.
При любом векторе выпуска y это множество является выпуклым по построению. Так как
цены неотрицательны, то выполняется также следующее свойство, которое можно назы-
вать свойством свободы расходования производственных факторов:
Vc(y) = Vc(y) +  +,
n
(+)
т.е. если r принадлежит множеству Vc(y) и r? > r, то r? также принадлежит множеству
Vc(y).
Ясно, что множество требуемых затрат V(y) и Vc(y) могут не совпадать, если само ис-
ходное множество допустимых затрат V(y) не является выпуклым или монотонным.

Теорема 17.
Пусть V(y) выпуклое и удовлетворяющее свойству свободы расходования (+) множест-
во. Тогда V(y) = Vc(y).


Доказательство:
Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.
¦
Отметим, что даже если множества V(y) и Vc(y) не совпадают друг с другом, это разли-
чие не существенно с точки зрения описания поведения производителя, поскольку Vc(y)
порождает ту же самую функцию издержек, что и V(y).

Теорема 18.
Пусть c*(w, y) — решение задачи
wr > min r
r ? Vc(y).
Тогда c*(w, y) = c(w, y).


Доказательство:
Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения.
¦
Заметим, что два эти утверждения — аналоги соответствующих результатов относительно
связи Y и Y? , ?(p) и ?*(p).
Это утверждение обосновывает возможность получения некоторого множества допусти-
мых затрат Vc(y), порождающего функцию издержек c(w, y). Но совпадение Vc(y) и V(y)
возможно только в том случае, когда V(y) удовлетворяет предположениям выпуклости и
монотонности. Практический способ восстановления V читатель может сконструировать
сам.

Задачи
37. Функция c(y, w) = y1/2(w1w2)3/4 является функцией издержек для некоторой технологии
¦ Да
¦ Нет

146
147
¦ Недостаточно информации


38. Функция c(y, w) = (y + 1/y)(w1w2)1/2 является функцией издержек для некоторой техно-
логии
¦ Да
¦ Нет
¦ Недостаточно информации


39. Функция c(y, w) = y(w1 – (w1w2)1/2 + w2) является функцией издержек для некоторой
технологии
¦ Да
¦ Нет
¦ Недостаточно информации


40. Функция c(y, w) = y(w1 + w2) является функцией издержек для некоторой технологии
¦ Да
¦ Нет
¦ Недостаточно информации


41. Функция c(y, w) = y min{w1, w2} является функцией издержек для некоторой техноло-
гии
¦ Да
¦ Нет
¦ Недостаточно информации


42. Функция c(y, w) = y(aw1 + bw2) является функцией издержек для некоторой технологии
¦ при положительных коэффициентах a и b;
¦ если a равно b;
¦ при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для
некоторой технологии


43. Функция c(y, w) = y min{aw1, bw2} является функцией издержек для некоторой техноло-
гии
¦ при положительных коэффициентах a и b;
¦ если a равно b;
¦ при любых коэффициентах a и b данная функция не является функцией издержек для
некоторой технологии

147
148

a b
44. Функция c(y, w) = yw1w2 является функцией издержек для некоторой технологии
¦ если сумма a + b меньше или равна единицы
¦ при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a + b меньше или равна единице
¦ при положительных коэффициентах a и b, и если сумма a + b больше единицы


45. Множество требуемых ресурсов на производство объема y задается неравенством
ar1 + br2 > y2 при a, b > 0.
Какой вид имеет соответствующая производственная функция?
Постройте функцию издержек.


46. Найдите функции издержек для следующих производственных функций:
а) f(r) = «i r? , ?i > 0,
i
i


б) f(r) = ¤i air?,
i

в) f(r) = min{ri/ai},
г) f(r) = ¤i airi.


47. Предположим, что предприятие имеет строго вогнутую производственную функцию
f(r). Рассмотрим следующие две задачи:
wr > min r f(r) > max r
y* < f(r) wr < c*
Докажите следующие два утверждения:
I. Пусть r* является решением первой задачи. Тогда r* является решением второй задачи
при c* = wr*.
II. Пусть r* является решением второй задачи. Тогда r* является решением первой задачи
при y* = f(r*).


48. Предположим, что предприятие со строго вогнутой производственной функцией f(r)
имеет функцию издержек c(w, y). Докажите, что оптимальный объем производства в сле-
дующих двух задачах совпадает
py – wr > max y,r py – c(w, y) > max r
y < f(r)


49. Доказать, что если функция издержек выпукла, то производителю выгоднее произво-
дить продукцию, чем закрыться (производить нулевой объем).


50. Докажите Теорему 13.
148
149


51. Докажите Теорему 14.


52. Докажите Теорему 15.


53. Докажите Теорему 17.


54. Докажите Теорему 18.


55. Пусть функция издержек строго вогнута, и, кроме того, c(0) = 0. Докажите, что данная
функция издержек была порождена производственной функцией, которая в точках опти-
мального выбора производителя характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.
56. Для технологии, описываемой производственной функцией f(r) = r?, вычислите функ-
цию издержек. Покажите, что функция издержек однородна по цене фактора производства
и выпукла по выпуску y.


57. Показать, что если производственная функция квазивогнута и обладает постоянной
отдачей от масштаба, то функция предельных издержек не убывает по выпуску.


58. Покажите, что издержки фирмы возрастут, если цены на все выпускаемые этой фир-
мой продукты увеличатся пропорционально.


59. Покажите, что если производственная функция строго вогнута, то функция издержек
строго выпукла.

Агрегирование в производстве
Пусть существует n фирм с технологическими множествами Yj, j = 1, ..., n. Зададимся во-
просом о том, можно ли найти технологическое множество Y?, такое чтобы производи-
тель с таким технологическим множеством (репрезентативный производитель или агреги-
рованный производитель) демонстрировал определенном смысле такое же поведение, как
и n исходных производителей.
Оказывается, что такое технологическое множество построить очень просто:
Y? = ¤j Yj,
т.е.
Y? = {¤j yj | yj ? Yj}.

Теорема 19.
-
(1) Если при ценах p технология yj является решением задачи j-го производителя, то
технология
y? = ¤j yj
- -


149
150
является решением задачи агрегированного производителя при тех же ценах.
-
(2) Обратно, если y? является решением задачи агрегированного производителя, то най-
-
дутся технологии yj, каждая из которых является решением задачи соответствующего

<< Предыдущая

стр. 32
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>