<< Предыдущая

стр. 34
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тантом: Xi =  +. Но мы не вводим такой априорной предпосылки, рассматривая и ситуа-
l


ции, когда Xi не совпадает с  +. Например, в ситуации, когда одним из благ является до-
l

суг, его потребление ограничено бюджетом времени потребителя. Другое ограничение
может состоять в том, что потребление тех или иных благ не может быть ниже некоторой
положительной пороговой величины («прожиточного минимума»). В ситуации, когда по-
требители сами создают некоторые блага, их можно моделировать отрицательными ком-
понентами потребительских наборов.
Кроме того, пусть в экономике есть n производителей (фирм), каждый из которых харак-
теризуется производственным множеством Yj (множеством векторов чистого выпуска); k-

51
Если неоклассические предпочтения непрерывны, то, в соответствии с теоремой Дебре, существует пред-
ставляющая данные предпочтения непрерывная функция полезности ui(?).

154
155
я компонента вектора yj?Yj показывает, сколько k-го блага выпускается j-м производите-
лем. Технологические множества Yj в дальнейшем мы будем часто задавать в виде неяв-
ных производственных функций gj(?). Напомним, что по определению gj(?) называется
неявной производственной функцией, если технология yj принадлежит технологическому
множеству Yj тогда и только тогда, когда gj(yj) > 0. Как и ранее, с целью упрощения из-
ложения мы будем рассматривать только скалярные неявные производственные функции.
Переформулировка рассматриваемых ниже теорем для случая векторных неявных произ-
водственных функций (т.е. технологических множеств, задаваемых несколькими ограни-
чениями) не связана с какими-либо концептуальными трудностями.
Таким образом, классическая модель экономики задается следующими компонентами:
# I = {1, ..., m} — множество потребителей,
# J = {1, ..., n} — множество производителей (фирм),
# K = {1, ..., l} — множество товаров (благ),
# Xi ?   — множество допустимых наборов i-го потребителя,
l


# {}i , }i , ˜i} — предпочтения потребителя или ui(?) — функция полезности i-го потреби-
_
теля (ui: Xi &  ),
# ?ik — начальный (до обмена) запас k-го блага у i-го потребителя,
# Yj ?   — технологическое множество (множество допустимых технологий) j-го произ-
l


водителя, gj(?) — неявная производственная функция (gj:  l &  ).
Для описания состояния экономики используются следующие переменные:
# xik — потребление i-м потребителем k-го блага (k?K),
# xi = (xi1, ..., xil) — потребительский набор i-го потребителя,
# x = (x1, ..., xm) — потребительские наборы всех потребителей,
# yjk — производство j-м производителем k-го блага (это чистый выпуск, т.е. отрицатель-
ные компоненты соответствуют затратам),
# yj = (yj1, ..., yjl) — технология j-го производителя,
# y = (y1, ..., yn) — набор технологий всех производителей.
Набор (x, y) = ({xi}i?I, {yj}j?J) называют состоянием экономики. Естественно рассматри-
вать не все такие наборы, а только (физически) допустимые состояния экономики.

Определение 1.
Под допустимым состоянием экономики принято понимать такую пару (x, y), что
& при всех i ? I вектор xi является допустимым набором для i-го потребителя (т.е.
xi ? Xi),
& при всех j ? J вектор yj является допустимой технологией для j-го производителя (т.е.
yj ? Yj),
& для экономики в целом выполнены балансы (общий объем потребления в экономике
по каждому благу равен сумме общего объема производства и суммарных начальных за-
пасов):

¤xik = ¤?ik + ¤ yjk , ?k ? K.
i?I i?I j?J



155
156
Отметим, что часто в моделях общего равновесия используются полубалансы:

¤xik < ¤?ik + ¤yjk , ?k ? K.
i?I i?I j?J

При этом строгое неравенство должно означать, что в экономике осталось непотребленное
благо. В рамках моделей с балансами в виде равенств возможность «выбрасывать» блага
можно моделировать с помощью технологических множеств со свободой расходования по
данным благам. В определенном смысле используемый здесь подход является более об-
щим, поскольку позволяет моделировать блага, утилизация которых требует затрат ресур-
сов.
Любой механизм координации решений экономических субъектов должен приводить к
допустимому состоянию экономики. Анализ экономического механизма включает описа-
ние условий, при которых он «работоспособен», и свойств тех допустимых состояний, к
которым он может привести. Ниже мы проведем такое исследование для механизма цено-
вой координации совершенных рынков.

Общее равновесие (равновесие по Вальрасу)52
В этом параграфе мы вводим понятие равновесия и обсуждаем ту роль, которую играет
это понятие в неоклассическом анализе.

Субъекты экономики в моделях общего равновесия

МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЯ
Ниже через pk будем обозначать цену k-го блага, а через p вектор всех цен (p1, ..., pl).
Пусть потребитель i ? I, предпочтения }i которого зависят только от собственного по-
_
требления xi = {xik}k?K, сталкивается с рыночными ценами p приобретаемых им благ. Как
и ранее, мы предполагаем, что потребитель выбирает наилучший потребительский набор
из тех, которые ему доступны, т.е. потребительских наборов, принадлежащих бюджетно-
му множеству. Под бюджетным множеством подразумевается множество допустимых
потребительских наборов, xi ? Xi, удовлетворяющих бюджетному ограничению:

pxi = ¤ pkxik < ?i,
k?K

т.е. бюджетное множество имеет вид
Bi(p, ?i) = {xi ? Xi | pxi < ?i}
Здесь ?i = ?i(?), где ?i(?) — функция, задающая доход потребителя. Способ формирования
дохода зависит от конкретного варианта экономики. Например, в экономике обмена доход
потребителя формируется за счет продажи по рыночным ценам его начальных запасов:

?i(p, ?i) = p?i = ¤ pk?ik.
k?K

В модели классических рынков предполагается, что начальные запасы ?i, цены, а также
доходы из других источников не зависят от выбора потребителя (определяются экзоген-
но). Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до



52
Развитие этой модели связано с такими именами как Адам Смит (1776), Давид Рикардо (1817), Леон Валь-
рас (1874,1883), Кеннет Эрроу и Жерар Дебрё (1950-е гг.).

156
157
торговли) собственность, принимая их как данные. Поэтому при описании выбора потре-
бителя при заданных ценах будем считать, что доходы фиксированы.
-
Таким образом, набор xi является выбором потребителя, сталкивающегося с ценами p и
имеющего доход ?i, если
1) набор xi принадлежит бюджетному множеству, xi ? Bi(p, ?i);
- -
2) любой потребительский набор xi ? Xi лучший, чем xi, не принадлежит бюджетному
-
множеству, т.е. xi }i xi ? xi ? Bi(p, ?i).
-
Если предпочтения потребителя описываются функцией полезности ui(?), то его выбор
моделируется как решение задачи максимизации функции полезности по xi ? Xi при
бюджетном ограничении. Таким образом, задача потребителя имеет вид
ui(xi) > max x i


xi ? Bi(p, ?i).
При дифференцируемости функций полезности можно охарактеризовать решение задачи
-
потребителя, т.е. оптимальный для данного потребителя набор xi, при помощи теоремы
Куна—Таккера в дифференциальной форме (см. Приложение).
Будем считать, что решение задачи потребителя внутреннее, т.е.53
xi ? int(Xi).
-
Это позволяет не учитывать ограничение xi ? Xi.
Функция Лагранжа для задачи потребителя равна

L = ui(xi) + ?i(?i – ¤ pkxik),
k?K

где ?i — множитель Лагранжа для бюджетного ограничения.
По теореме Куна—Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, что не все цены равны нулю) существует множитель Лагранжа
?i > 0, такой что в оптимуме
?L(xi, ?i)
-
= 0, ?k ? K,
?xik
или
?ui(xi)
-
= ?ipk, ?k?K.
?xik
Другими словами,
?ui(xi) = ?ip,
-
то есть градиент функции полезности коллинеарен вектору цен. Если предположить, что в
-
решении задачи потребителя xi не все производные функции полезности равны нулю,
?ui(xi) ? 0, то ?i > 0. Такое решение задачи потребителя может иметь место только если
-
цены, с которыми он сталкивается, не все равны нулю. Исключая множитель Лагранжа,
для любых двух благ k, s ? K, таких что pk ? 0, получаем, что



53
-
Напомним, что это означает, что xi принадлежит Xi вместе с некоторой своей окрестностью.

157
158
ps ?ui(xi)/?xis
-
pk ?ui(xi)/?xik.
=
-
Следовательно, решение задачи потребителя характеризуется равенством предельной
нормы замещения любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы полу-
чили классическую дифференциальную характеристику решения задачи потребителя.
Это одно из условий первого порядка, т.е. необходимое условие максимума. Поскольку,
как мы предположили, градиент не равен нулю, то ?i > 0, и по условию дополняющей не-
жесткости теоремы Куна—Таккера получаем, что бюджетное ограничение выходит на
равенство:
pxi = ?i.
Это еще одно условие первого порядка.
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое (внутреннее) решение кото-
рой по обратной теореме Куна—Таккера является решением задачи потребителя, если
выполнено дополнительное условие, состоящее в том, что множество Xi выпукло, а функ-
ция полезности ui(?) вогнута.
Напомним, что ui(?) называется вогнутой, если
ui(?x + (1 – ?)y) > ?ui(x) + (1 – ?)ui(y)
для любого ? ? [0,1] и любых x и y.
Замечание: На самом деле достаточно, чтобы данная функция полезности могла быть пре-
образована в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием.
Монотонное преобразование функции полезности не меняет предпочтений потребителя.
Так, например, функция u(x, y) = xy и ее логарифм ln(u(x, y)) = ln(x) + ln(y) задают одни и
те же потребительские предпочтения, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допуска-
ет поэтому применение теоремы Куна—Таккера. Следовательно, допускает его и первая,
приводимая к вогнутой.
Существуют и более слабые наборы условий, гарантирующие тот факт, что условие пер-
вого порядка приводят к решению задачи потребителя. Обычно они включают выпуклость
предпочтений (или квазивогнутость представляющих их функций полезности) (см. зада-
чу???). Мы приводим здесь более сильные, чем это необходимо, достаточные условия оп-
тимальности, чтобы использовать в анализе хорошо известный читателям аппарат теории
экстремальных задач — эффективное средство их анализа.
Отдельного рассмотрения требует случай, когда решение задачи потребителя не является
внутренним. Пусть, например, Xi =  + и потребление некоторых благ в решении задачи
l

потребителя может быть равно нулю. Для получения дифференциальной характеристики
такого решения опять можно воспользоваться теоремой Куна—Таккера. Получаем, что
оптимальный набор должен удовлетворять условиям
?L(xi) ?L(xi)
- -
< 0, причем = 0, если xik > 0, ?k ? K.
-
?xik ?xik
или
?ui(xi) ?ui(xi)
- -
< ?ipk, причем -
=?ipk, если xik > 0, k?K.
?xik ?xik




158
159
МОДЕЛЬ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ
При выборе объемов производства yj = {yjk}k?K каждая фирма j ? J ограничена своим тех-
нологическим множеством Yj.
В качестве целевой функции «классического» производителя берется его прибыль

?j = pyj = ¤ pkyjk.
k?K

В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает,
что не может влиять на цены. Таким образом, задачей производителя является максимиза-
ции прибыли при технологических ограничениях:
pyj > max y j


yj ? Yj.
Если технологическое множество задано неявной производственной функцией gj(?), то
задача производителя записывается как

<< Предыдущая

стр. 34
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>