<< Предыдущая

стр. 35
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

pyj > max y j


gj(yj) > 0.
При дифференцируемости функции gj(?) решение этой задачи также можно охарактеризо-
вать при помощи теоремы Куна—Таккера в дифференциальной форме. Функция Лагран-
жа для задачи производителя равна

L = ¤ pkyjk + ?j gj(yj),
k?K

где ?j — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
По теореме Куна—Таккера (при выполнении условий регулярности, которые в данном
случае эквивалентны тому, ?gj(yj) ? 0) существует множитель Лагранжа ?j > 0, такой что в
оптимуме
?L(yj, ?j)
-
= 0, ?k ? K,
?yjk
или
?gj(yj)
-
?j = pk, ?k?K.
?yjk
Другими словами,
?j?gj(yj) = p,
-
то есть градиент неявной производственной функции коллинеарен вектору цен. Если не
все цены равны нулю (p ? 0), то ?j > 0. Исключая множитель Лагранжа ?j, для любых двух
благ k, s ? K, таких что pk ? 0, получаем, что
ps ?gj(yj)/?yjs
-
pk ?gj(yj)/?yjk.
=
-
Следовательно, решение задачи производителя характеризуется равенством предельной
нормы трансформации любых двух благ отношению цен этих благ. Таким образом, мы
получили классическую дифференциальную характеристику решения задачи производи-
теля.



159
160
Условия первого порядка задают систему уравнений, любое решение которой по обратной
теореме Куна—Таккера является решением задачи потребителя, если выполнено допол-
нительное условие, что функция gj(?) вогнута.

Модели общего равновесия
Теперь модели отдельных экономических субъектов, потребителей и производителей,
объединим в модели рынка (экономики) в целом. Такие модели называются моделями об-
щего равновесия .


МОДЕЛЬ ОБМЕНА
В случае, если экономика не содержит производства, то она называется экономикой обме-
на. Таким образом, экономика обмена характеризуется множеством потребителей, множе-
ствами допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и на-
чальными запасами, т.е.
EE = {I, (Xi, }i, ?i)i?I}.
_
В экономике обмена потребитель получает доход только от начальных запасов.
Введем теперь определение равновесия для экономики обмена.

Определение 2.
Равновесием по Вальрасу в экономике обмена EE называется --
набор (p, x), такой, что:
' каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i = p
- - -
?i;
' x — допустимое состояние экономики EE, следовательно, для всякого блага k выпол-
-
нено

¤xik = ¤?ik.
-
i?I i?I



x21
x12

?
++
-
L1 (x1)
-
x
++
-
L2 (x2)
x11

x22

?enoiie 33. Eee?no?aoey ?aaiiaaney ia yueea Ya?ai?oa
Удобным инструментом для иллюстрации экономики обмена является диаграмма Эд-
жворта (ящик Эджворта). Эта диаграмма позволяет наглядно представить экономику с 2
потребителями и 2 благами. Обычно предполагается, что множества допустимых потре-
бительских наборов в такой экономике имеют вид x1 > 0 и x2 > 0. На диаграмме Эджворта
потребление 1-го потребителя (x11, x12) представляется в обычной системе координат, а
потребление 2-го потребителя (x21, x22) — в перевернутой с центром в точке (??1, ??2), ес-
ли смотреть из системы координат 1-го участника. Точка (x11, x12) в первой системе коор-
160
161
динат совпадет с точкой (x21, x22) во второй системе координат, что позволяет изобразить
состояние x одной точкой на данной диаграмме.
Рис. 33 иллюстрирует на ящике Эджворта концепцию равновесия. Общая бюджетная пря-
мая в равновесии проходит через точку начальных запасов ? и равновесный вектор x. На-
-
--
клон бюджетной прямой соответствует отношению равновесных цен p 1/p 2. У каждого
++
- -
потребителя множество Li (xi) наборов, которые лучше, чем равновесный набор xi, лежит
по соответствующую сторону от бюджетной прямой, так что это множество не имеет об-
щих точек с бюджетным треугольником данного потребителя.

МОДЕЛЬ ЭРРОУ—ДЕБРЕ
Модель Эрроу—Дебре является развитием модели обмена и включает в себя, помимо по-
требителей, производственный сектор.
Особенностью модели является и то, что в ней специфицированы права собственности
потребителей на владение фирмами, производящими продукцию. Таким образом, в моде-
ли предполагается, что все предприятия кому-то принадлежат, то есть каждый потреби-
тель i владеет долей ?ij предприятия j, причем ¤i?I?ij = 1, ?ij > 0.
Наличие производственного сектора влияет и на постановку задачи потребителя, посколь-
ку доход потребителя складывается из того, что он может выручить от продажи началь-
ных запасов и из его дохода от участия в прибыли. Поэтому доход потребителя при ценах
p и величинах прибыли ?j равен

?i = ¤ pk?ik + ¤?ij?j.
k?K j?J

В целом экономика Эрроу—Дебре характеризуется множеством потребителей, множествами
допустимых потребительских наборов потребителей, их предпочтениями и начальными
запасами, множеством производителей, их производственными множествами и долями
потребителей в прибыли фирм, т.е.
EAD = {I, (Xi, }i, ?i)i?I, J, (Yj)j?J, (?ij)i?I, j?J}.
_

Определение 3.
EAD называется набор (p, x, y), та-
---
Равновесием по Вальрасу в экономике Эрроу—Дебре
кой что:
' каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i = p
- - -
?i + ¤ ?ijpyj ;
--
j?J

- -
' каждый вектор yj является решением задачи производителя j при ценах p ;
' (x, y) — допустимое состояние экономики EAD, следовательно, для всякого блага k
--
выполнено

¤xik = ¤?ik + ¤ y jk.
- -
i?I i?I j?J




161
162
--
Заметим, что условие допустимости состояния (x, y) означает выполнение балансов, что в
контексте равновесия интерпретируется как равенство спроса и предложения54.
Ясно, что экономика обмена является частным случаем экономики Эрроу—Дебре при
отсутствии производства, а концепция равновесия в экономике обмена конкретизирует
концепцию равновесия для экономики Эрроу—Дебре.
Удобно иллюстрировать равновесие экономики с производством на диаграмме, аналогич-
ной ящику Эджворта (см. Рис. 34). Рассматривается экономика с одним потребителем,
одним предприятием и двумя благами. Множество ? + Y, состоящее из векторов ? + y,
таких что y ? Y, где ? — начальные запасы, Y — технологическое множество, — это так
называемое множество производственных возможностей экономики. Точка начальных запа-
сов ? лежит на границе производственных возможностей (в предположении, что 0 лежит
на границе технологического множества). Вектор x = ? + y, соответствующий равновесию,
- -
тоже лежит на границе производственных возможностей. Через этот вектор проходит
бюджетная прямая потребителя. Наклон бюджетной прямой соответствует отношению
-
равновесных цен. Множество лучших, чем x, точек лежит по противоположную сторону
бюджетной прямой. Оно не имеет общих точек с бюджетным треугольником.
x2 = ?2 + y2


++
-
L (x)

x= ?+ y
- -
?+Y
x1 = ?1 + y1
?

?enoiie 34. Eee?no?aoey ?aaiiaaney a yeiiiieea n i?iecaianoaii

ЭКОНОМИКА С ТРАНСФЕРТАМИ
Если в экономике есть трансферты (перераспределение доходов между потребителями), то
доход потребителя складывается из доходов от продажи начальных запасов, долях в при-
были фирм и трансфертов Si:

?i = ¤ pk?ik + ¤?ij?j + Si.
k?K j?J

Величина трансферта Si может быть как положительной так и отрицательной. Предпола-
гается, что Si не зависит от выбора потребителя. Сумма трансфертов по всем потребите-
лям должна быть равна нулю:

¤Si = 0.
i?I




54
Если бы мы использовали вариант модели, о которой упоминалось выше — включающий балансы в виде
неравенств (полубалансы), то в равновесии спрос мог бы быть ниже предложения. В таком случае определе-
ние равновесия потребовалось бы дополнить условием, что цены таких благ равны нулю. Более точно, по-
требовалось бы включить в определение равновесия закон Вальраса: p¤xi = p?¤?i + ¤ yj?. В противном
- - -? -?
?i?I ?
i?I j?J
случае «потери денег» в экономике приводили бы к существованию нереалистичных равновесий.

162
163
Дадим определение общего равновесия для общей модели за-
экономики с трансфертами,
даваемой параметрами
ET = {I, (Xi, }i, ?i, Si)i?I, J, (Yj)j?J, (?ij)i?I, j?J}.
_

Определение 4.
ET называется набор (p, x, y), та-
---
Равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами
кой что:
' каждый вектор xi является решением задачи потребителя i при ценах p и доходе ?i = p
- - -
?i + ¤ ?ijpyj + Si ;
--
j?J

- -
' каждый вектор yj является решением задачи производителя j при ценах p ;
' (x, y) — допустимое состояние экономики ET, следовательно, для всякого блага k
--
выполнено

¤xik = ¤?ik + ¤ y jk.
- -
i?I i?I j?J



Экономика обмена и экономика Эрроу—Дебре являются частными случаями описанной
здесь экономики с трансфертами.

Некоторые свойства общего равновесия
Установим некоторые свойства равновесия, которые нам понадобятся в дальнейшем. При
этом речь пойдет об общей модели экономики с производством и с трансфертами.
Простейшим свойством общего равновесия является то, что бюджетные ограничения всех
потребителей выполняются как равенства. Действительно, сумма доходов потребителей
равна

<< Предыдущая

стр. 35
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>