<< Предыдущая

стр. 36
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

¤?i = ¤p?i + ¤¤?ijpyj + ¤Si =
i?I i?I i?I j?J i?I

? ?? ?
= p?¤?i + ¤yj¤?ij? = p?¤?i + ¤yj? = p¤xi ,
? i?I ? ? i?I ?
j?J i?I j?J i?I

где последнее равенство («закон Вальраса») является следствием выполнения балансов по
благам. Таким образом, сумма доходов всех потребителей равна совокупным потреби-
тельским расходам. Это тождество выполняется для любого допустимого состояния эко-
номики при любом векторе цен. Если бы хоть один потребитель не полностью израсходо-
вал свой доход, то, сложив бюджетные ограничения, мы получили бы

p¤xi < ¤?i,
--
i?I i?I

и пришли бы к противоречию. Поэтому в равновесии pxi = ?i для любого потребителя
--
i ? I.
В дальнейшем мы будем использовать также дифференциальные свойства равновесия.
Пусть функции полезности и производственные функции дифференцируемы, равновесие
является внутренним, и в точке равновесия выполнено
?ui(xi) ? 0 ?i ? I.
-

163
164
Тогда существуют блага, цена которых не равна нулю. Поскольку потребительский набор
- -
xi — решение задачи потребителя, а технология yj — решение задачи производителя, то
выполняются следующие соотношения, называемые дифференциальной характеристикой
равновесия:
p s ?ui(xi)/?xis
- -
, ?i ? I,
=
p k ?ui(xi)/?xik
- -
p s ?gj(yj)/?yjs
- -
, ?j ? J,
=
p k ?gj(yj)/?yjk
- -
где k — благо с ненулевой ценой.
Это необходимое условие равновесия. Из него следует, что в равновесии предельные нор-
мы замещения (трансформации) любых двух благ s, k для всех экономических субъектов
совпадают. Так, на Рис. 33 в точке равновесия кривые безразличия касаются общей бюд-
жетной прямой, а на Рис. 34 бюджетной прямой касаются граница производственных воз-
можностей и кривая безразличия.
Другое необходимое условие равновесия, о котором говорилось выше, состоит в том, что
бюджетные ограничения всех потребителей выполняются как равенства.
--- --
Выполнение этих двух условий для набора (p, x, y), где (x, y) — допустимое состояние
-
экономики, p — вектор цен, не гарантирует, что этот набор представляет собой равнове-
сие. Необходимые условия требуется дополнить условиями второго порядка — например,
предположением о вогнутости функций полезности и производственных функций, чтобы
превратить их в достаточные. Более подробно эти условия анализируются ниже при дока-
зательстве второй теоремы благосостояния для дифференцируемых функций.

Задачи
1. Назвать наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или клас-
сическим: 1) от чего зависят предпочтения и потребительские множества, 2) влияние эко-
номических субъектов на цены, 3) определенность информации, 4) влияние издержек сде-
лок, 5) существование рынков.


2. Рассмотрим экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые
имеют следующие функции полезности и начальные запасы.
3
1 ?12? 1
u1(x1, y1) = – x 2 – ?37? y 2, ?1 = (1, 0),
??1
1
3
?12? 1 1
u2(x2, y2) = – ?37? x 2 – y 2, ?2 = (0, 1).
??2 2

Найдите равновесие в этой экономике. Единственно ли оно?


3. Пусть функция избыточного спроса имеет вид
p2 p1
E1(p1, p2) = – p + p E2(p1, p2) = – p + p
1 2 1 2

Является ли она однородной?
Является ли она непрерывной?
Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?
164
165


4. Пусть функция избыточного спроса имеет вид
p?
E(p) = pa a – ?,

где a ?  ++. Является ли она однородной? Является ли она непрерывной? Выполняется ли
l

для нее закон Вальраса? Может ли она быть функцией избыточного спроса для некоторой
экономики?


5. Пусть функции избыточного спроса на первые два товара в экономике с тремя благами
имеют вид
E1(p) = – p1/p3 + p2/p3 +1 и E2(p) = p1/p3 – 2p2/p3 +2.
Найдите избыточный спрос на третий товар.
Может ли быть функцией избыточного спроса для некоторой экономики?


6. Пусть экономика состоит из двух потребителей, и в ней обращаются два товара. Функ-
ции полезности потребителей имеют вид
? ?
1-? 1-?
u1(x1,y1) =x1 y1 и u2(x2,y2) =x2 y2 .
Потребители обладают начальными запасами в размере
?1 = (a,b) ?2 = (c,d).
и
Найдите равновесные цены и спрос потребителей как функции параметров a, b, c, d.



Теоремы существования общего равновесия
Одним из наиболее важных вопросов, изучаемых при рассмотрении моделей общего рав-
новесия, является вопрос существования равновесного распределения (более точно, рав-
новесных распределений). В этом параграфе мы проиллюстрируем ряд стандартных спо-
собов доказательства существования равновесия в двух типах экономик: экономиках об-
мена и экономиках Эрроу—Дебре.
Способы доказательства существования равновесия основаны на демонстрации того фак-
та, что некоторое, подходящим образом построенное, отображение имеет неподвижную
точку, соответствующую состоянию равновесия, что, в свою очередь, опирается на вари-
анты теоремы Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывного отображения
некоторого компактного множества (обычно, множества цен) в себя, или на ее непосред-
ственное обобщение — теорему Какутани о неподвижной точке точечно-множественного
выпуклозначного отображения компактного множества в себя.
В наиболее простой версии доказательства построение такого отображения опирается на
функцию (отображение) избыточного спроса E(p), то есть превышение спроса над пред-
ложением. Формальное определение избыточного спроса для различных типов экономик
приводится ниже. Можно переформулировать определение равновесия в терминах избы-
точного спроса, поскольку, как нетрудно понять, равновесие существует тогда и только
тогда, когда существует вектор цен p, такой что 0 ? E(p), то есть такой набор цен, кото-
- -
рый уравновешивает спрос и предложение на всех рынках. В ситуации же, когда избыточ-


165
166
ный спрос определяется однозначно, равновесные цены удовлетворяют системе уравне-
-
ний E(p) = 0.
Доказательство существования равновесия проводится в два этапа. Сначала доказывается,
что определенные свойства функции избыточного спроса гарантируют существование
равновесия. Далее, для экономик различных типов указываются условия (свойства пред-
почтений и т.д.), которые гарантируют выполнение данных свойств избыточного спроса.

Существование общего равновесия в экономике обмена
Рассмотрим сначала экономику обмена. Для модели обмена функция избыточного спроса
строится следующим образом. Пусть при ценах p функция спроса (или, в общем случае,
отображение спроса) i-го потребителя есть xi(p, ?i). Поскольку ?i = p?i, то будем рассмат-
ривать спрос как функцию только цен, т.е. xi(p) (в прежних обозначениях xi(p, p?i)). То-
гда значение функции избыточного спроса при этих ценах показывает превышение спроса
каждого товара при ценах p над начальными запасами потребителя. Значение избыточно-
го спроса экономики при данных ценах есть сумма значений избыточного спроса для всех
потребителей.

Определение 5.
в модели обмена называется функция
Функцией (отображением) избыточного спроса
(отображение)

E(p) = ¤(xi(p) – ?i).
i?I



Покажем, что равновесными цены могут быть тогда и только тогда, когда они удовлетво-
ряют условию 0 ? E(p).
-
Действительно, пусть 0 ? E(p). Это означает, что существуют потребительские наборы xi,
- -
такие что xi ? xi(p) ?i ? I, другими словами для всех i, набор xi является решением зада-
- - -
чи i-го потребителя при ценах p и доходе p?i, и выполнено
- -

¤(xi – ?i) = 0.
-
i?I

--
Значит, пара (p, x) по определению является равновесием.
С другой стороны, если (p, x) — равновесие, то xi ? xi(p) ?i ? I и
-- - -

0 = ¤(xi – ?i) ? E(p).
- -
i?I

Рассмотрим другие свойства избыточного спроса.
Поскольку функции (отображения) спроса положительно однородны нулевой степени, т.е.
xi(?p, ??) = xi(p, ?) ?? > 0,
то, как несложно проверить, функции (отображения) избыточного спроса также положи-
тельно однородны нулевой степени:
E(?p) = E(p) ?? > 0,
Напомним, что в теории потребителя мы называли законом Вальраса соотношение
pxi(p, ?) = ? для функции спроса. Аналогично для экономики в целом законом Вальраса
называют равенство (являющееся следствием указанного соотношения)
166
167
pE(p) = 0,
которое выполняется на некотором множестве цен.

Пусть xi ? xi(p, p?i) ?i ? I, и, следовательно ¤(xi – ?i) ? E(p). Тогда в соответствии с
i?I
законом Вальраса


p¤(xi – ?i) = 0.
i?I

Закон Вальраса, вообще говоря, выполняется не в любой экономике и не при любых це-
нах. Однако, если предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то можно гаранти-
ровать его выполнение при любых ценах, для которых определена величина избыточного
спроса. Действительно, если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то его
спрос удовлетворяет закону Вальраса, т.е. он полностью израсходует свой доход:
xi ? xi(p, p?i) ? pxi = p?i ?p.
Складывая эти равенства по всем потребителям, получаем закон Вальраса для экономики
в целом.
Перейдем теперь к вопросу существования равновесия. Сначала мы рассмотрим условия
существования равновесия в экономике, в которой решение задачи каждого потребителя
единственно при любых ценах, и, следовательно, E(p) является функцией.
Поскольку функции избыточного спроса положительно однородны нулевой степени, то
если p — равновесный вектор цен, то ?p — также равновесный вектор цен при любом
- -
? > 0 и наоборот. Т.е. равновесный вектор цен определяется с точностью до нормировки
цен. Ниже будут рассмотрены ситуации, в которых гарантируется существование равно-
весия с положительными ценами. Поэтому равновесный вектор цен будем искать в сле-
дующем множестве цен (симплексе цен):

S = {p > 0 | ¤ pk = 1}.
l–1

k?K

При этом каждому вектору цен p из  + (за исключением нулевого вектора) можно одно-
l


значно сопоставить вектор ?p из S при некотором ? > 0. Этот способ нормировки цен
l–1


удобен тем, что множество S компактно (что, как мы увидим ниже, позволяет непосред-
l–1

ственно использовать теорему Брауэра).
Следующее утверждение указывает свойства функции избыточного спроса, которые га-
рантируют существование равновесия.

Теорема 1.
Предположим, что функция E(p) = 0 является непрерывной на множестве цен p ?  +,
l

p ? 0, положительно однородна нулевой степени и удовлетворяет закону Вальраса
pE(p) = 0.

<< Предыдущая

стр. 36
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>