<< Предыдущая

стр. 37
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Тогда существует вектор цен p ?  +, p ? 0 такой, что E(p) < 0.
l
- - -


Доказательство:
Определим на множестве S следующую систему функций:
l–1


pk + max{0, Ek(p)}
, k ? K.
gk(p) =
1 + ¤s?Kmax{0, Es(p)}

167
168
Функция g(?) удовлетворяет всем условиям теоремы Брауэра: она отображает компактное
множество S в себя по построению и является непрерывной, так как построено путем
l–1


-
операций, сохраняющих непрерывность. Поэтому существует вектор цен p, являющийся
неподвижной точкой функции g(?):
- -
g(p) = p,
т.е.
- -
pk + max{0, Ek(p)}
, ?k ? K.
- -
pk = gk(p) =
1 + ¤s?Kmax{0, Es(p)}
-
Преобразуя это выражение, получим

pk ¤ max{0, Es(p)} = max{0, Ek(p)} ?k ? K.
- - -
s?K

-
Умножим каждое из этих равенств на Ek(p) и сложим:

¤ pk Ek(p) ¤ max{0, Es(p)} = ¤ Ek(p) max{0, Ek(p)}.
- - - - -
k?K s?K k?K

В соответствии с законом Вальраса первый сомножитель левой части данного соотноше-
ния равен нулю, поэтому

¤ Ek(p) max{0, Ek(p)} = 0.
- -
k?K
2
- - -
Величина Ek(p) max{0, Ek(p)} равна либо 0, либо (Ek(p)) . Поскольку каждое из слагае-
мых неотрицательно, то сумма может быть равна нулю, только если каждое слагаемое
равно нулю. Отсюда следует, что Ek(p) < 0 ?k ? K.
-
$
Правило «пересчета» структуры цен, используемое в приведенном доказательстве,
g(p) > p,
имитирует возможную реакцию органа, ответственного за ценообразование, на неравно-
весия на рынках благ. В соответствии с ним цена дефицитного блага увеличивается на
величину, пропорциональную дефициту. Коэффициент пропорциональности выбирается
так, чтобы новый вектор цен был элементом множества S .
l–1


Рассмотрим теперь, какие условия на предпочтения гарантируют нам выполнение предпо-
ложений вышеприведенного утверждения. Предположим, что Xi =  +. Тогда непрерыв-
l

ность предпочтений гарантирует существование решений задач потребителя, по крайней
мере, на множестве строго положительных цен (p ?  ++). Локальная ненасыщаемость
l


предпочтений гарантирует выполнение закона Вальраса (pE(p) = 0). Строгая выпуклость
предпочтений обеспечивает единственность решения задачи потребителя.
Непрерывность и строгая выпуклость предпочтений в случае экономики обмена гаранти-
рует непрерывность функции совокупного спроса на множестве цен и позволяет говорить
о том, что система функций {Ek(p)} для этой экономики является непрерывной на множе-
стве цен p ?  ++ при ?i > 0. Более того, если p ?  ++, то по закону Вальраса E(p) = 0.
l l
-
Правда, указанными свойствами функции совокупного спроса и, следовательно, функции
избыточного спроса обладают только на множестве положительных цен, тогда как в дока-
зательстве утверждения требуется выполнение аналогичных свойств на множестве всех

168
169
неотрицательных цен. Описанный ниже прием позволяет в ряде случаев обойти это за-
труднение.
Модифицируем задачу потребителя, введя дополнительно к бюджетному ограничению
количественное ограничение (квоту на потребление) по каждому продукту следующего
типа:
xik < ??k + ?, i ? I, k ? K.
где ??k — совокупные запасы благ в экономике, ? — произвольная положительная кон-
станта.
Модифицированное таким образом бюджетное множество каждого потребителя оказыва-
ется компактным при любом векторе цен p ?  +, и поэтому в случае непрерывных пред-
l

почтений всегда существует наиболее предпочитаемый потребительский набор. В случае,
когда предпочтения строго выпуклы, этот набор единственный, и таким образом, оказы-
ваются определенными модифицированные функции спроса x*(p) и, следовательно, мо-
i
дифицированная функция избыточного спроса E (?). В случае, когда функция E*(?) ока-
*

-
зывается непрерывной, Теорема 1 гарантирует существование вектора цен p, при котором
выполняется соотношение
E*(p) < 0.
-
Выполнение соотношения E*(p) = E(p), p ?  ++, гарантирует тогда существование рав-
l
- --
новесия в исходной модели.
Непрерывность функции E*(?) на p ?  + можно гарантировать, например, в случае, когда
l


предпочтения потребителей непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы потреби-
телей строго положительны (?i > 0). Показать это можно способом, аналогичным доказа-
тельству непрерывности функции спроса на множестве цен p ?  ++ (см. главу, посвящен-
l

ную поведению потребителя).
Покажем теперь, что при E*(p) < 0 определен избыточный спрос исходной задачи E(p), и
- -
- -
выполнено E (p) = E(p).
*


Пусть E*(p) < 0. Тогда (p, x*(p)) — равновесие в модифицированной модели. Поскольку
- - -

xik(p) < ??k – ¤xis(p) < ??k < ??k + ?,
- -
* *

s?k

- - -
то дополнительно введенные нами ограничения несущественны, т.е. (p, x*(p)) и E*(p) =
E(p). (Аналогичным образом можно показать, что если E(p) < 0, то E*(p) = E(p)).
- - - -
Покажем теперь, что если существует потребитель, предпочтения которого монотонны, то
p ?  ++, т.е. цена любого блага окажется положительной. Действительно, предположение о
l

том, что существует благо k, цена которого равна нулю, противоречит тому факту, что
i- -
x*(p) является выбором потребителя при ценах p.
На основе этих рассуждений получаем следующую теорему существования равновесия в
модели обмена.

Теорема 2.
Рассмотрим экономику обмена. Предположим, что Xi =  + ?i, предпочтения потребите-
l

лей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы, а начальные запасы всех
потребителей положительны (?i > 0 ?i). Предположим также, что существует потреби-


169
170
тель, предпочтения которого монотонны. Тогда существует равновесие такое, что p ?  ++
l

.


Заметим, что мы, вообще говоря, не можем использовать прием, состоящий во введении
количественных ограничений, в ситуации, когда начальные запасы хотя бы одного из по-
требителей не содержат хотя бы одного блага. Как показывает приведенный ниже пример,
в этом случае функция избыточного спроса может не быть непрерывной на границе мно-
жества цен.
Пример 1. (Контрпример к теореме в случае нулевых начальных запасов одного из благ).
Пусть в экономике обмена есть только два блага (l = 2), функции полезности потребителя
?i имеют вид
ui(xi1, xi2) = xi1 + xi2,
а начальные запасы равны ?i = (0; 1). Очевидно, что предпочтения рассматриваемых по-
требителей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы.
Задача потребителя состоит в том, чтобы максимизировать ui(xi1, xi2) при следующих ог-
раничениях:
p1xi1 + p2xi2 < p2,
xi1 > 0, xi2 > 0.
При p1, p2 ? 0 спрос потребителя на второе благо равен
p1
xi2(p1, p2) = p +p .
1 2

Таким образом, xi2(p1, p2) > 1, когда p2 > 0. Но если p2 = 0, то полезность можно сделать
неограниченно большой, увеличивая xi2 (спрос на второе благо бесконечен). Таким обра-
зом, спрос на 2-е благо не является непрерывным при p2 = 0.
Покажем, что в этой экономике равновесие не существует.
При p1, p2 ? 0 спрос потребителя на первое благо равен
2
p2
xi1(p1, p2) = p (p +p ),
1 1 2

т.е. положителен. Значит, при положительных ценах равновесия быть не может, так как в
экономике первое благо отсутствует. Если же цена на одно из благ равна нулю, то соот-
ветствующий спрос бесконечен, и равновесия при этих ценах тоже нет.
Заметим, что модифицированная функция избыточного спроса не является непрерывной.
При p1, p2 ? 0 спрос потребителя такой же, как в исходной модели, и xi2(p1, p2) > 1 при
p2 > 0. Но при p2 = 0, спрос на второе благо равен 1 + ?. Таким образом, спрос на 2-е благо
не является непрерывным при p2 = 0, и приведенное доказательство существования «не
работает».
(
Если в приведенном примере дать хотя бы одному из потребителей ненулевой запас пер-
вого блага, то, хотя избыточный спрос по прежнему не будет непрерывным, но равновесие
существует. (Доказательство этого оставляем читателю в качестве упражнения). Таким
образом, вышеприведенные условия на избыточный спрос являются довольно ограничи-
тельными.


170
171
Ниже приводится другой вариант теоремы существования с более слабыми условиями на
избыточный спрос. Доказательство этого утверждения состоит в указании правила про-
цесса ценообразования (отличного от описанного выше), имитирующего поведение цено-
образующего органа, которое порождает отображение множества цен S в себя, удовле-
l–1

творяющее теореме Какутани (о существовании неподвижной точки выпуклозначного
замкнутого отображения компактного множества в себя).

Теорема 3.
Предположим, что функция E(p) удовлетворяет следующим условиям:

• E(p) непрерывна на S+ = {p > 0 | ¤ pk = 1}.
l–1

k?K

• E(p) положительно однородна нулевой степени на S+ .
l–1


• Выполнено тождество pE(p) = 0 ?p ? S+ (закон Вальраса).
l–1


• Функции избыточного спроса ограничены снизу, т.е. существует число t, такое что
Ek(p) > t ?k, ?p ? S .
l–1


• Если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избыточный спрос хотя бы на одно бла-
го стремится к бесконечности, т.е. если {pn} ? S и pn > p0 при n > ?, причем сущест-
l–1

0
вует благо k?, такое что pk? = 0, то
maxk (Ek(pn)) > ? при n > ?.
Тогда существует вектор p ?  ++, такой что E(p) = 0.
l
- -


Доказательство:
Доказательство условно разобьем на три этапа:
1. Построение отображения единичного симплекса S в себя.

<< Предыдущая

стр. 37
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>