<< Предыдущая

стр. 38
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

l–1


2. Проверка замкнутости графика и выпуклозначности построенного отображения и при-
менение к нему теоремы о неподвижной точке.
3. Демонстрация того, что найденная неподвижная точка является вектором равновесных
цен, рассматриваемой экономики.
Этап 1. Каждой цене p ? S+ сопоставим множество
l–1


g(p) = {q ? S | qE(p) > q?E(p) ?q? ? S },
l–1 l–1


и тем самым построим отображение g(?) из S+ в S . Другими словами, значение отобра-
l–1 l–1


жения g(p) (p ? S+ ) — множество всех векторов цен, максимизирующих стоимость избы-
l–1

точного спроса, вычисленного при старых ценах p. Можно заметить, что любому нерав-
новесному вектору цен p ? S+ (т.е. в данном случае вектору p такому, что E(p) ? 0) дан-
l–1

ное отображение ставить в соответствие подмножество (грань меньшей размерности)
симплекса цен, а любому равновесному вектору — весь симплекс цен.
На границе симплекса цен S \S+ определим g(p) по правилу:
l–1 l–1


g(p) = {q ? S | qp = 0} = {q ? S | qk = 0, если pk > 0}.
l–1 l–1


Отметим, что множество g(p) непусто при любом p ? S .
l–1


Этап 2. Выпуклозначность построенного отображения очевидна в силу того, что условия,
определяющие множества g(p), линейны. Таким образом, для доказательства существо-

171
172
вания неподвижной точки остается показать, что отображение g(?) имеет замкнутый гра-
фик.
Предположим, что последовательности {pn} ? S и {qn} ? S с пределами p0 и q0 соот-
l–1 l–1


ветственно таковы, что qn ? g(pn). Покажем, что q0 ? g(p0). Возможны две ситуации: (1)
p0 ? S+ , (2) p0 ? S \S+ .
l–1 l–1 l–1


В случае p0 ? S+ существует N, такое, что при n > N выполнено pn ? S+ . При n > N вы-
l–1 l–1

полнено
qnE(pn) > q?E(pn) ?q? ? S .
l–1


Переходя к пределу, получим, что q0E(p0) > q?E(p0). Тем самым мы показали, что в этом
случае q0 ? g(p0).
0
Рассмотрим теперь случай, когда p0 ? S \S+ . Пусть k — благо, для которого pk > 0. Пока-
l–1 l–1

n 0
жем, что при достаточно больших n выполнено qk = 0. Тем самым мы покажем, что qk = lim
n
qk = 0, и, следовательно, q0?g(p0).
n
Если pn ? S \S+ , то по определению отображения g(?) имеем qk = 0. Таким образом, нам
l–1 l–1

0
осталось доказать в случае pn ? S+ , что если pk > 0, то при достаточно больших n выпол-
l–1

n
нено qk = 0. По закону Вальраса имеем
n
n k k?
pk E (pn) = – ¤ pk? E (pn)
k??k

Используя ограниченность снизу функции избыточного спроса, имеем
n n n
k?
– ¤ pk? E (pn) < – t ¤ pk? = – t (1– pk ).
k??k k??k

Отсюда
n
t(1– pk )
k
E (pn) < – .
n
pk
n k
Поскольку pk сходится к положительному пределу, это означает, что значение E (pn) огра-
ничено сверху. С другой стороны, величина maxs{Es(pn)} стремится к бесконечности. По-
этому при достаточно больших n выполнено неравенство
Ek(pn) < maxs{Es(pn)}.
Отсюда следует, что при достаточно больших n вектор q?g(pn) должен иметь qk=0. Дей-
ствительно, согласно определению g(?) для любого вектора q? из S должно быть выпол-
l–1


нено q?E(pn) < qE(pn). Однако, если бы qk>0, то при Ek(pn) < maxs{Es(pn)} мы могли бы
построить на основе вектора q вектор q? для которого q?E(pn) < qE(pn).
Тем самым мы полностью доказали, что отображение g(?) имеет замкнутый график.
Поскольку отображение g(?) имеет замкнутый график, выпуклозначно и отображает не-
пустое компактное выпуклое множество S в себя, то к нему применима теорема Какута-
l–1


ни, и существует неподвижная точка p ? S :
l–1
-
p ? g(p).
- -
Этап 3.
Покажем, что неподвижная точка отображения g(?) является вектором цен равновесия.

172
173
-
Неподвижная точка p отображения g(?) не может принадлежать границе симплекса цен
l–1 l–1 l–1 l–1
(S \S+ ). Этот факт следует из того, что согласно определению g(p) для p?S \S+ при
всех q ? g(p) должно быть выполнено равенство q ? p = 0. Если бы p ? g(p), где p?S \S+ ,
l–1 l–1
- - -
2
то мы имели бы p ? p = || p || = 0. Этому условию удовлетворяет только точка p = 0, не при-
-- - -
надлежащая симплексу цен.
Таким образом, p ? 0 и поэтому, как было отмечено при определении отображения, E(p
- -
) = 0. Покажем это формально.
Предположим противное. В силу закона Вальраса, если E(p) ? 0 и p ? 0, то существуют s
- -
s s?
и s? такие, что E (p) > 0 и E (p) < 0. Поскольку p ? g(p) и p ? 0, то по определению g(p)
- - - - - -
для любого q ? S должно быть выполнено pE(p) > qE(p). Однако, так как Es(p) > Es?(p
l–1
-- - - -
), то достаточно взять следующий вектор q: qs = ps + ps?, qs? = 0, qk = pk, k ? s, s?, чтобы полу-
-- -
-- -
чить pE(p) < qE(p). Мы пришли к противоречию.
-
Тем самым мы доказали существование цен p, при которых избыточный спрос равен ну-
лю.
$
Данное доказательство можно проиллюстрировать графически.

E1(p1,1 – p1)




p1
-1 1
p



p2
1A


B


p1
C
1

?enoiie 35. Eee?no?aoey aieacaoaeunoaa oai?aiu nouanoaiaaiey
На данном рисунке B — неподвижная точка отображения g(?). Данное отображение опре-
делено на симплексе AC, и отображает точки отрезка AB, за исключением точки B, в
точку C, точки отрезка BC, за исключением точки B, — в точку A, а точку B — во весь
симплекс (отрезок AC).
Опираясь на доказанную Теорему 3, можно показать, что в моделях обмена при непре-
рывности, строгой выпуклости и строгой монотонности предпочтений потребителей рав-
новесие существует, если совокупные начальные запасы строго положительны, т.е. ???0.
Это утверждение очевидно, в силу того, что функция избыточного спроса в модели обме-
на при данных условиях на предпочтения потребителей является непрерывной, однород-
173
174
ной первой степени и удовлетворяет закону Вальраса на S+ . Ограниченность избыточно-
l–1

го спроса снизу следует из того факта, что спрос потребителей неотрицателен и выполне-
k
ны балансы (в качестве константы t можно взять t = – maxk{??}).
Для того, чтобы продемонстрировать выполнение условий Теоремы 3 для случая непре-
рывных, строго выпуклых и строго монотонных предпочтений, осталось показать выпол-
нение последнего условия теоремы: если хотя бы одна из цен стремится к нулю, то избы-
точный спрос хотя бы на одно благо стремится к бесконечности. Покажем это формально.

В силу того, что p0? S и ???0, имеем, что p0 ?? > 0. Таким образом, существует потре-
l–1


битель i, такой, что p0 ?i > 0. Следующее утверждение показывает, что спрос этого по-
требителя, по крайней мере, на одно из благ стремится к бесконечности по мере того, как
pn стремиться к p0, т.е.
maxk (xik(p n)) > ? при n>?,
что и доказывает, что
maxk (Ek(p n)) > ? при n>?.

Теорема 4.
Пусть {pn} ? S — последовательность цен, причем pn> p0 при n>?, и существует
l–1

0
благо k, такое что pk = 0.
Предположим, что:
• Потребитель имеет строго монотонные непрерывные предпочтения.
• Начальные запасы потребителя ? таковы, что p0? > 0.
Тогда
maxk (xk(p n)) > ? при n>?.


Доказательство:
Предположим противное. Пусть спрос потребителя на все товары, ограничен, т.е. сущест-
вует некоторое число K, такое, что 0 < x(p) < K. В силу того, что бесконечная последова-
тельность на компакте имеет точки сгущения, найдется некоторая подпоследовательность
n
{p }, такая, что:
l



nl
x(p ) > x.
-
nl
Так как x(p ) — оптимальное решение задачи потребителя, а предпочтения строго моно-
n
тонны, то при ценах p выполняется закон Вальраса, т.е.
l



nl nl nl
p x(p ) = p ?.
0
Переходя в этом тождестве к пределу, получим, p0x = p0?. Пусть pk = 0. Тогда в силу стро-
-
k
гой монотонности предпочтений x + ?e } x, где ? — некоторое строго положительное
- -
число. В силу того, что предпочтения потребителей непрерывны, найдется такое ?>0, что
0
x } x, где x = x + ?ek – ?es, а s — номер товара, для которого ps > 0. Очевидно также, что
^- ^-
0 0 0
p0x = p0x + ?pk – ?ps = p0x – ?ps < p0x.
^ - - -
В силу непрерывности отношения предпочтения имеем, что существует N такое, что для
n
каждого l > N x } x(p ).

<< Предыдущая

стр. 38
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>