<< Предыдущая

стр. 39
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

^
l




174
175
nl nl
Так как p > p0 и x(p )> x, то
-
nl nl
lim p (x(p ) –x) = p0(x – x) > 0.
^ -^
Из определения предела следует, что найдется число M такое, что для каждого l большего
n n
^
M справедливо, что p (x(p ) – x) > 0, т.е.
l l




nl nl nl
^
p x(p ) > p x
nl
^
Таким образом, мы получили, что при l > max{M, N} набор x строго лучше набора x(p ) и
при этом стоит дешевле. Тем самым мы получили противоречие с оптимальностью набора
n
x(p ). Таким образом, не существует K такого, что 0 <x(p) < K, т.е. maxk (xk(p n)) > ? при
l



n>?.
$
Резюмируя проделанные выше рассуждения, сформулируем утверждение о существова-
нии равновесия в экономике обмена при более слабых, чем ранее, предположениях.

Теорема 5.
Рассмотрим экономику обмена и предположим, что Xi =  + ?i, предпочтения потребите-
l

лей локально ненасыщаемы, непрерывны и строго выпуклы и монотонны, а совокупные
начальные запасы положительны (???0). Тогда в этой экономике существует равнове-
l
сие такое, что p ?† ++.
-



Существование равновесия в экономике Эрроу—Дебре
Аналогичным образом определяется избыточный спрос в модели Эрроу—Дебре. Кроме
начальных запасов и спроса следует учитывать также предложение благ, yj(p).
По аналогии с моделью обмена для экономики Эрроу—Дебре называют
законом Вальраса
следующее равенство:
k k k
p¤xi = p¤ yj + p¤?i ,
i j i

которое выполняется для некоторого множества цен.

Определение 6.
в модели Эрроу—Дебре называется
Функцией (отображением) избыточного спроса
функция (отображение)

E(p) = ¤(xi(p) – ?i) – ¤ yj(p).
i?I j?J



Вообще говоря, избыточный спрос является точечно-множественным отображением, но в
ситуации, когда предпочтения строго выпуклы. Выше мы установили условия, когда со-
вокупный спрос потребителя является непрерывной функцией. Если, в дополнение к этим
условиям, технологическое множество каждого производителя является строго выпуклым,
как предложение, так и совокупный избыточный спрос также являются непрерывными
функциями. В этом случае мы можем для доказательства существования равновесия ис-
пользовать аналоги утверждений предыдущего пункта. Так, в случае, когда технологиче-
ские множества представляются производственными функциями, последние должны быть
строго вогнутыми. Наиболее простой и часто рассматриваемый в экономической теории
175
176
тип производственной функций, гарантирующий существование и непрерывность функ-
ции предложения на множестве неотрицательных цен, — неоклассическая производст-
венная функция, «первичных» факторов производства, предложение которых ограничено.
Характерным примером этого типа функций является функция Кобба-Дугласа, зависящая
от труда и капитала.
Для ситуаций, когда предпочтения не являются строго выпуклыми, а технологические
множества — строго выпуклыми, ниже будет предложено утверждение (о существовании
квазиравновесия), на основе которого могут быть установлены различные условия суще-
ствования равновесия (доказаны теоремы о существовании равновесия) в модели Эрроу—
Дебре.
Предваряя это утверждение, сформулируем вспомогательную задачу, решение которой
существует при более слабых предположениях, чем решение задачи потребителя, но при
определенных условиях совпадает с ним.
Задача ? (модифицированная задача потребителя)
-
Найти xi, такой что
- pxi < ?i ,
-
- xi не хуже, чем любой другой набор xi? Xi, который стоит в ценах p де-
-
шевле, чем ?i .
Введем сначала следующее вспомогательное понятие.

Определение 7.
---
Набор (p, x, y) называется квазиравновесием экономики Эрроу-Дебре, если выполняют-
ся следующие условия:
) Для каждого потребителя xi удовлетворяет условиям Задачи ? при ценах p и доходах
- -
?i = p?i + ¤ ?ijpyj.
- --
j?J

) -j является решением задачи j-го производителя при ценах p.
-
y
) Выполнены полубалансы по каждому благу:
k k k
¤ x i < ¤ -j + ¤?i ?k.
- y
i j i



Условия существования квазиравновесия оказываются особенно простыми и описывают-
ся в приведенной ниже Теореме 6. С другой стороны состояние квазиравновесия является
при некоторых предположениях о предпочтениях состоянием равновесия. Поэтому пред-
ставляется удобным вначале установить условия существования квазиравновесия, а затем
использовать их вместе с дополнительными предположениями, для доказательства суще-
ствования равновесия в конкретных моделях экономики.

Теорема 6.
Предположим, что:
l
1) Множество Z = (¤jYj + ¤?i) ]  + непусто, замкнуто и ограничено, (т.е. существует N
i
такое, что если z ? Z, то zk < N, k = 1, ..., l).



176
177
2) Предпочтения }i выпуклы и непрерывны, Xi — выпуклое замкнутое множество, огра-
_
ниченное снизу, 0 ? Xi, начальные запасы неотрицательны, ?i > 0, i = 1, ..., n.
3) Yj — выпуклое замкнутое множество и 0 ? Yj, j = 1, ..., m.
Тогда в этой экономике существует квазиравновесие (p, x, y), такое что p > 0, p ? 0.
--- - -


Доказательство:
Как и в предыдущих доказательствах, мы будем искать квазиравновесие как неподвиж-
ную точку некоторого специальным образом сконструированного отображения из множе-
m n
^ ^
ства ? = «Xi ? «Yj ? S в себя. Здесь
l–1

i=1 j=1

^
Xi = {xi ? Xi | xi < N + ?},
^
Yj = {yj ? Yj | |yj| < N + ?},
S = {p > 0 | ¤k pk =1}.
l–1


Заметим, что каждое из этих множеств непусто, замкнуто и ограничено, поэтому их про-
изведение ? тоже непусто, замкнуто и ограничено.
Определим отображение g(?): ? > ? следующим образом:
m n
g(?) = «gxi(?) ? «gyj(?) ? gp(?).
i=1 j=1

Где компоненты отображения g(.) определяются следующим образом:
^ ^
gxi(?) = {xi? ? Xi | pxi? < ?i(p, y), xi?} xi?? ? xi?? ? Xi: pxi?? < ?i(p, y)},
_
где
?i(p, y) = max{0, ¤j ?ijpy j} + p?i,
^ ^
gyj(?) = {yj? ? Yj | pyj? > pyj?? ? yj?? ? Yj},

gp(?) = {p? ? S | (p? – p??)(¤xi – ¤ y j – ¤?i) > 0 ? p?? ? S }.
l–1 l–1

i j i

Заметим, что такое определение бюджета гарантирует непустоту бюджетного множества
^
{xi? ? Xi | pxi? < ?i(p, y)} при любых ценах p и производственных планах y.
- -y-
Пусть ? = {x, -, p} — неподвижная точка отображения g(.), т.е.
- -
? ? g(? ).
-
Докажем, что ? является квазиравновесием рассматриваемой экономики.
Поскольку каждый производственный план -j максимизирует прибыль при ценах p и
-
y
^
0 ? Yj , то p- j > 0 и поэтому ?i(p, -) = ¤j ?ijp -j + p?i.
-y -y -y -
Сложив неравенства
p xi < ?i(p,y ) = ¤j ?ijpyj + p?i
-- --
по всем потребителям, получим, что для экономики в целом выполнено соотношение:

p¤xi < p¤ -j + p¤?i.
---y-
i j i

177
178
Покажем теперь, что выполняются балансовые соотношения

¤xi – ¤ -j – ¤?i < 0
- y
i j i

Действительно, если хотя бы одна из компонент данного вектора была положительна, то
положительной была бы и стоимость дефицита — величина p (¤xi – ¤y j – ¤?i) (по-
- - -
-
скольку цены p, выбраны ценообразующим органом так, чтобы максимизировать эту ве-
личину). Но мы только что доказали, что данная величина не положительна.
Остается показать, что количественные ограничения в условиях, определяющих отобра-
жения gxi(?) и gyj(?) несущественны, в то смысле, что решения соответствующих задач по-
требителя и производителя одни и те же, как при наличии ограничений
xi < N + ?, |yj| < N + ?,
так и при их отсутствии.
Пусть это не так, и существует, например, такой набор xi ? Xi, что pxi < ?i(p,y ) и xi }i xi .
^ -^ -- ^ _-
Поскольку выполняются соотношения

¤xi < ¤ -j + ¤?i < N,
- y
i j i
k
-
то дополнительное количественное ограничение в точке x i должно быть выполнено как
строгое неравенство:
k
x i < N + ?.
-
На отрезке, соединяющем xi и xi, найдется набор xi? (достаточно близкий к xi), такой что p
-^ - -
xi? < ?i(p,y) и xi?< N + ?. Поскольку отношение }i выпукло, то xi? }i xi, а это противоречит
-- _-
_
-
тому, что -i ?gxi(? ).
x
Похожим образом доказывается, что -j при ценах p максимизирует прибыль на всем мно-
-
y
жестве Yj.
-
Таким образом, ? действительно является квазиравновесием.
Для доказательства теоремы осталось проверить, что построенное отображение множест-
ва ? в себя имеет замкнутый график, что устанавливается рассуждениями, аналогичными
уже проделанным ранее (в Частях 1, 2).
*

<< Предыдущая

стр. 39
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>