<< Предыдущая

стр. 4
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

стью.
$
Пример 1. (Продолжение)
Нам осталось проверить свойство отрицательной транзитивности. Для его проверки вос-
пользуемся представлением этого свойства из только что доказанного утверждения. Для
этого из множества X возьмем трех произвольных студентов x, y, z, чей рост составляет a,
b и c соответственно, причем выполнено a > b. В принципе, очевидно, что какой бы мы c
ни взяли справедливо, что либо a > c, либо c > b. Таким образом, мы имеем, что для дан-
ного отношения ? выполнено свойство отрицательной транзитивности.
?
Теперь, вооружившись понятием бинарного отношения, мы можем перейти к обсуждению
концепции отношения предпочтения.

Задачи
1. Предположим, условно, что существует всего два города, в каждом из которых прода-
ются по три товара. Какова размерность пространства благ, исходя из определения блага
по Дебре?


2. Пусть X — множество всех ныне живущих людей на планете Земля. Проверьте выпол-
нение следующих свойств
— полнота,
— рефлексивность,
— симметричность,
— транзитивность,
— отрицательная транзитивность
для следующих бинарных отношений, заданных на X:
a) "является потомком";
b) "является внуком";
c) "является родителем такого же числа детей, что и";
d) "состоит в браке с" (допуская полигамию);
e) "состоит в браке с" (предполагая моногамные отношения);
f) "состоит в родстве с";


19
20

g) "хотя бы раз в жизни думал о".
Пусть X — множество населенных пунктов на планете Земля. Какими свойствами
обладают следующие отношения:
a) "расположен восточнее" (в случае, если Земля круглая);
b) "расположен восточнее" (в случае если, Земля плоская и стоит на черепахах);
c) "имеет ту же численность, что и";
d) "имеет то же число безработных, что и".


3. Какими из свойств (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность,
асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) обладает отношения R,
заданное на  ++ (в случае, если отношение обладает свойством, предоставьте формальное
2

доказательство, если же не обладает, то приведите пример показывающий это):
xy
a) (x1,x2) R (y1, y2) ? x1 > y1;
2 2

xx
b) (x1,x2) R (y1, y2) ? y1 > y2;
1 2

c) (x1,x2) R (y1, y2) ? (x1 – x2)(y1 – y2) > 0;
d) (x1,x2) R (y1, y2) ? x1x2 > y1 y2;
e) (x1,x2) R (y1, y2) ? min{x1 + x2, y1 + y2} >0;
f) (x1,x2) R (y1, y2) ? min{x1, x2} > min{ y1, y2}.


4. Определим отношение лексикографического упорядочения заданного на  ++ следую-
2

щим образом:
? x, y ?  ++ (xRLy) ? ( (x1 > y1) или ( x1 = y1, x2 > y2) ).
2


Каким свойствам (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асим-
метричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) удовлетворяет данное от-
ношение лексикографического упорядочения?


5. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлек-
сивности, ни свойству иррефлексивности.


6. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству симмет-
ричности, ни свойству асимметричности.


7. Покажите, что каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.


8. Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения.


9. Покажите, что каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.


20
21



10. Несложно понять, что для любых высказываний A и B имеет место эквивалентность
(!A ? !B) ? (B ?A). Используя этот факт, докажите, что отношение ? является отри-
цательно транзитивным тогда и только тогда, когда ? x, y, z ?X x?y ? (x?z) или
(z?y).


11. Не прибегая к исчислению высказываний (т.е. рассуждениям вида (!A ? !B) ? (B
?A)), докажите, что для любого бинарного отношения R свойство
? x, y, z ? X: x R y ? (x R z или z R y)
эквивалентно свойству отрицательной транзитивности.

Неоклассические отношения предпочтения
Отношение предпочтения является примером бинарного отношения заданного на множе-
стве допустимых альтернатив X. В экономической теории предпочтение потребителя —
единственная его характеристика, которая принимается во внимание при объяснении его
поведения. Поэтому в дальнейшем в теории потребления мы отождествляем потребителя
с его предпочтениями12.
Будем строить теорию потребительского поведения на основе строгого отношения предпоч-
тения } — бинарного отношения, заданного на множестве допустимых альтернатив. Тот
факт, что в случае двух альтернатив x и y из X для некоторого потребителя альтернатива
x лучше, чем альтернатива y будет обозначаться как x } y. Традиционным для экономи-
ческой теории является предположение о том, что строгое отношение предпочтения, на
основе которого потребители упорядочивают альтернативы, асимметрично и отрица-
тельно транзитивно. Эти предположения о свойствах отношения } тесно связаны с по-
нятиями рациональности потребителя, непротиворечивости вкусов, их внутренней со-
стоятельности. В данном контексте свойство асимметричности предпочтения позволяет
говорить о непротиворечивости вкусов потребителя. Свойство отрицательной транзитив-
ности, в свою очередь, означает, что если некоторые две альтернативы сравнимы по от-
ношению } , то любая третья альтернатива сравнима, по крайней мере, с одной из них по
этому отношению. Как мы увидим далее, это свойство тоже тесно связано с непротиворе-
чивостью выбора и полнотой предпочтений. Пока же на основе строгого отношения оп-
ределим нестрогое отношение предпочтения и отношение эквивалентности.
} заданное на X определяется следующим образом:
_
Нестрогое отношение предпочтения

? x, y ? X x } y ? ! (y } x).
_

Выражение x } y, с учетом интерпретации отношения } как отношения «лучше» на
_
множестве допустимых альтернатив, может быть проинтерпретировано как отношение
«не хуже».
˜ заданное на X определяется следующим обра-
Отношение эквивалентности (безразличия)
зом:
? x, y ? X x ˜ y ? ! (x } y) и ! (y } x).


12
Судя по всему, строгое аксиоматическое описание концепции отношения предпочтения впервые появи-
лось в работе Frish, R., Sur un probleme d`economie pure, Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Serie 1, 16, 1926.

21
22

Естественно его интерпретировать, как следует из названия, как эквивалентность двух
альтернатив, или, другими словами, безразличие потребителя между выборами любой из
двух альтернатив при условии, что x ˜ y.

I(x), соответствующим точке x?X, называется множество точек
Множеством безразличия
эквивалентных x: I(x) = {y ? X | y ˜ x}. Надеемся, что читатель узнал в этом математи-
ческом объекте кривую безразличия, известную ему из вводного курса микроэкономики.
Рассмотрим теперь, каким свойствам удовлетворяют введенные выше бинарные отноше-
ния.

Теорема 2.
Пусть } – строгое (асимметричное и отрицательно транзитивное) отношение предпочте-
ния заданное на X, тогда
(1) } – транзитивно и иррефлексивно.
(2) } – полно, рефлексивно и транзитивно.
_
(3) ˜ – рефлексивно, симметрично и транзитивно.
(4) Для любых x, y ? X выполняется ровно одно из следующих соотношений:
x } y или y } x или x ˜ y.
(5) Для любых x, y, z ? X
(x } y, y ˜ z)? x } z и (x ˜ y, y } z)? x } z.
(6) Для любых x, y, z ? X
(x } y, y ˜ z)? x } z и (x ˜ y, y } z)? x } z.
_ _ _ _
(7) Для любых x, y, z ? X
(x } y, y } z)? x } z и (x } y, y } z)? x } z.
_ _
(8) Любые два множества безразличия либо не имеют общих точек, либо совпадают.


Доказательство:
Докажем свойства (1), (3) и (5). Остальные свойства доказываются подобно и оставляются
читателю в качестве упражнения.
(1) Покажем транзитивность } . Предположим противное. Пусть существуют x, y ? X
такие, что x } y, y } z, но при этом !(x } z). Из асимметричности отношения } из y } z
следует !(z } y). Из !(x } z) и !(z } y) по свойству отрицательной транзитивности сле-
дует, что !(x} y). Противоречие.
Иррефлексивность следует из асимметричности.
(3A) Покажем, что отношение ˜ симметрично. Это следует непосредственно из определе-
ния ˜: ? x, y ? X
x ˜ y ? ! (x } y) и ! (y } x) ? ! (y } x) и ! (x } y) ? y ˜ x.

(3B) Покажем, что отношение ˜ рефлексивно. Пусть это не так, то есть существует ? x ?
X, такой, что ! (x˜x). Из определения ˜ имеем ! (x˜x)? (x } x) или (x } x) ?(x } x).
Но это противоречит иррефлексивности отношения } .



22
23

(3C) Покажем, что отношение ˜ транзитивно. Рассмотрим такие x, y, z ? X, что x ˜ y и y
˜ z. По определения ˜ имеем:
x ˜ y ? ! (x } y) и ! (y } x),

y ˜ z ? ! (y } z) и ! (z } y).
По свойству отрицательной транзитивности из ! (x } y) и ! (y } z) следует, что ! (x } z),
а из ! (z } y) и ! (y } x) следует ! (z } x). Итак, мы имеем, что ! (x } z) и ! (z } x), что
и означает, что x ˜ z .

(5) Так как техника доказательства свойств (x } y, y ˜ z)? x } z и (x ˜ y, y } z)? x }
z одинакова, докажем только первое. Итак, пусть x } y, y ˜ z. По определению отноше-
ния ˜ из этого следует: x } y и ! (y } z) и ! (z } y). Предположим противное, т.е. что !
(x } z). Тогда из ! (x } z) и ! (z } y) по свойству отрицательной транзитивности имеем: !
(x } y). Пришли к противоречию.
$
Из приведенной Теоремы видно, что система предпочтений {}, }, ˜} удовлетворяет всем
_
свойствам, которым, исходя из экономической и житейской интуиции, должны удовле-
творять предпочтения потребителя. В связи с особым местом, занимаемым этой системой
отношений в микроэкономической теории, введем следующее определение.

Определение 3.
Систему предпочтений {} , }, ˜} заданную на X назовем неоклассической если:
_
(1) отношение } – асимметрично и отрицательно транзитивно;
(2) отношение } – полно и транзитивно;
_
(3) отношение ˜ – рефлексивно, симметрично, транзитивно
(4) ? x, y ? X x } y ? ! (y } x)
_

(5) ? x, y ? X x ˜ y ? ! (x } y) и ! (y } x).


Существует две традиции построения теории поведения потребителя, различающиеся
способом построения предпочтений индивидуума. Первая, которой мы и придерживаемся,
берет за первичное – строгое отношение предпочтения (асимметричное и отрицательно
транзитивное). Вторая же традиция исходит из нестрогого отношения предпочтения, ко-
торое по исходным предположениям удовлетворяет свойствам полноты и транзитивности.
Обе эти традиции приводят к одной и той же неоклассической системе предпочтений, ес-
ли строгое и нестрогое отношения предпочтения строятся на основе друг друга вышеука-
занным способом (x } y ? ! (y } x)). Это непосредственно следует из следующей тео-
_
ремы:

Теорема 3.
(1) Пусть даны два отношения } и } заданные на X, связанные соотношением: x } y ?
_ _
! (y } x). Определим отношения }} , } }, ˜} и ˜} как,
_
_ _



x }} y ? ! (y } x),
_

(x } } y) ?! (y } x),
_
_

<< Предыдущая

стр. 4
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>