<< Предыдущая

стр. 40
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

На основе данного утверждения можно устанавливать существование равновесий при до-
полнительных предположениях, гарантирующих, что найденное квазиравновесие являет-
ся равновесием, т.е. удовлетворяет следующим двум условиям:
- -
1) каждый вектор xi является решением задачи потребителя при ценах p и доходе

?i = p?i + ¤?ijpyj + Si ;
- --
j?J

2) для всякого блага k выполнены балансы

¤xik = ¤?ik + ¤ y jk.
- -
i?I i?I j?J




178
179
Мы сформулируем соответствующие утверждения, предоставив их доказательство чита-
телю.
---
Во-первых, заметим, что при определенных условиях если (p, x, y) — квазиравновесие, то
-
каждый потребительский набор xi является самым дешевым из тех, которые не хуже для
-
этого потребителя, чем xi. Следующая теорема описывает такие условия.

Теорема 7.
-
Предположим, что предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, и xi является ре-
шением задачи ? при ценах p и доходе ?i.
Тогда
-
(1) потребительский набор xi минимизирует затраты в ценах p на достижение уровня
-
благосостояния, определяемого вектором xi, т.е. решает следующую задачу
pxi > min
xi }i xi;
_-
-
(2) потребительский набор xi удовлетворяет соотношению:
pxi = ?i;
-
(3) если множество Xi выпукло, предпочтения потребителя непрерывны, и существует55
xi?Xi: pxi < ?i, то xi является решением задачи потребителя.
-


Доказательство:
Доказательство Теоремы 7 оставляется в качестве упражнения.
*
Следствием Теоремы 7 являются следующие результаты, которые позволяют получать
различные теоремы существования в модели Эрроу—Дебре на основе Теоремы ???.

Теорема 8.
Предположим, что (p, x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p > 0, p ? 0,
--- - -
0 ? Xi ?  + — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы,
l

m
непрерывны и строго монотонны. Пусть также 0 ? Yj, ?i > 0, ¤?i > 0.
i=1

---
Тогда (p, x, y) — равновесие по Вальрасу.


Теорема 9.
Предположим, что (p, x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p > 0, p ? 0,
--- - -
0 ? Xi — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, не-
прерывны и монотонны. Пусть также 0 ? Yj, ?i > 0.
˜˜ -˜ ˜
Тогда существует такое состояние экономики, (x, y), что (p, x, y) — равновесие по
Вальрасу.


Теорема 10.

55
Такой xi?Xi существует, например, при условии, что xi ? int Xi и p ? 0.
-

179
180
Предположим, что (p, x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p > 0, p ? 0,
--- - -
Xi — выпуклое множество, предпочтения потребителей локально ненасыщаемы и не-
прерывны, и совокупное технологическое множество ¤jYj удовлетворяет свойству сво-
боды расходования56. Пусть также 0 ? Yj, ?i > 0.
˜˜ -˜ ˜
Тогда существует такое состояние экономики, (x, y), что (p, x, y) — равновесие по
Вальрасу.



Задачи
7. В экономике распределения (в отличие от экономики обмена) задается вектор совокуп-
ных начальных запасов ?? и доход Ri каждого потребителя, т.е.

ED = {(Xi, ui(?))i? I; ??, (R i) i? I}
Под (общим) равновесием в экономике распределения мы будем понимать пару
- -
{p, x }={p, {x i} i? I}, такую, что:
l
— p ? +,
-
— каждый вектор x i является решением задачи потребителя при ценах p и доходах Ri, т.е.

x i? argmaxx ? B (p, ? ) ui(xi),
- i i i



где Bi(p, Ri) = {xi?Xi | p xi < Ri}.
— состояние x является допустимым, в частности, выполнены балансы по благам, т.е. ?k
-
k k
¤ x i = ¤?i .
-
i i


— p ?? = ¤ R i
i

Показать, что в экономике распределения с двумя благами и двумя потребителями, пред-
почтения которых описываются следующими функциями полезности
u1(x11, x12) = min{x11, x12}, u2(x21, x22) = x22

не существует равновесия при R1 =1, R2 =0, и ?? = (2, 1).
8. Предположим, что (p, x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p > 0, p ? 0,
--- - -
Xi =  +. Пусть также 0 ? Yj, ?i > 0. Покажите, что если предпочтения потребителей описы-
l

ваются леонтьевскими функциями полезности, то существует такое состояние экономики,
˜˜ -˜˜
(x, y), что (p, x, y) — равновесие по Вальрасу.


9. Предположим, что (p, x, y) — квазиравновесие в экономике Эрроу—Дебре, p > 0, p ? 0,
--- - -
Xi =  +, предпочтения потребителей строго выпуклы, непрерывны и монотонны. Пусть
l




56
Для выполнения этого условия достаточно, чтобы технологическое множество хотя бы одного производи-
теля удовлетворяло условию свободы расходования.

180
181
m
также 0 ? Yj, ?i > 0, ¤?i > 0. Покажите, что это квазиравновесие является равновесием по
i=1
Вальрасу.


10. Предположим, что все продукты производятся на основе первичных факторов, кото-
рые принадлежат потребителям и совокупные запасы которых положительны. Предполо-
жим также, что каждая фирма является однопродуктовой, ее технология описывается про-
изводственной функцией Кобба-Дугласа, а также что каждый продукт производится ка-
m
кой-то фирмой. Покажите, что если ¤?i > 0, то для этой экономики выполняется условие,
i=1

l
что множество Z = (¤jYj + ¤?i) ]  + непусто, замкнуто и ограничено.
i

Какие дополнительные условия гарантируют существование квазиравновесия (равнове-
сия) в такой экономике?


11. Показать, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями,
описываемыми следующими функциями полезности
u1(x11, x12) = x11, u2(x21, x22) = x22,
не существует равновесия при ?1 =(1, 1), ?2 =(0, 1).


12. Рассмотрим экономику обмена с двумя благами и тремя потребителями, которые име-
ют следующиОшибка! Закладка не определена.е функции полезносОшибка! Закладка
не определена.ти и положительные начальные запасы.
x11
u1(x11, x12) = e x12
u2(x21, x22) = x21 + x22
u3(x31, x32) = min{x31, x32}
(1) Найдите функции спроса потребителей, опишите их свойства.
(2) Найдите функции избыточного спроса и проверьте, что они являются положительно
однородными нулевой степени и удовлетворяют закону Вальраса.
(3) При каких начальных запасах известные вам утверждения гарантируют существование
равновесия в этой экономике?
(4) Вычислите равновесие при следующих начальных запасах:
?1 = (2, 3) ?2 = (1, 4) ?3 = (2, 1)


13. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, функции полезности которых
имеют вид
l
ui(xi) =¤?ik xik , ?ik > 0.
k=1

При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют сущест-
вование равновесия в этой экономике?


181
182
14. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, предпочтения которых пред-
ставляются функции полезности Кобба—Дугласа.
При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют сущест-
вование равновесия в этой экономике?


15. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями. Предпочтения первых m – 1
потребителей представляются функциями полезности Кобба—Дугласа. Предпочтения m-
го потребителя представляется линейной функцией полезности: um(xm) =¤k=1?kxmk, ?k > 0.
l


Совокупные начальные запасы всех благ положительны.
(1) При каких значениях ?k можно гарантировать существование равновесия в этой эко-
номике при любых начальных запасах?
(2) Пусть ?k = 0 при k ? l и ?l = 1, и начальные запасы имеют вид первых m – 1 потребителей
не содержат благо l. Найдите равновесие в этой экономике.


16. Вычислите квазиравновесия в следующей модели обмена:
В экономике есть только два блага (l=2), функции полезности потребителей ?i имеют вид
1 2 1 2
ui(xi , xi ) = xi + xi ,
а начальные запасы равны ?i = (0, 1).


17. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими, строго выпук-
лыми предпочтениями и совпадающими начальными запасами, равновесное распределе-
ние, если существует, единственно. Можно ли гарантировать при этом единственность
равновесия
Каким будем такое распределение?


18. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго вы-
пуклыми предпочтениями потребителей, представимыми непрерывно дифференцируемы-
ми функциями полезности, и совпадающими начальными запасами, равновесие, если су-
ществует, единственно.
Какими будут при этом равновесные цены и равновесное распределение?
Какие дополнительные предположения относительно модели гарантируют существование
равновесия? Аргументируйте свой ответ.


19. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте
свой ответ.


20. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы
совпадают.
Гарантирует ли выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно сущест-
вует)? Аргументируйте свой ответ.
182
183


<< Предыдущая

стр. 40
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>