<< Предыдущая

стр. 41
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

21. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений единственность равновесия (если оно
существует)? Аргументируйте свой ответ.


22. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают.
Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргумен-
тируйте свой ответ.


23. Предположим, что предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают, а
совокупное производственное множество содержит нулевой вектор чистых выпусков.
Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений тот факт, что равновесные распределе-
ния (если существуют) совпадают с начальными запасами? Аргументируйте свой ответ.


24. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают
и содержат все блага в положительном количестве. Будет ли равновесное распределение
(если существует) совпадать с начальными запасами? Аргументируйте свой ответ.

Парето-оптимальные состояния экономики и их
характеристики
Вопрос о том, является ли данное состояние экономики, например равновесие, экономи-
чески эффективным, можно решать на основе того, принадлежит ли данное состояние
границе Парето.

Определение 8.
˜˜
Допустимое состояние экономики (x, y) является Парето-улучшением для допустимого
состояния (x, y) или, другими словами, доминирует его по Парето, если для каждого по-
требителя i?I выполнено xi }i xi и существует хотя бы один потребитель i0 для которого
˜_
xi }i xi .
˜ 0 0 0




Определение 9.
^^
Допустимое состояние экономики (x, y) называется Парето-оптимальным, если для него
57
не существует Парето-улучшений .


Множество оптимальных по Парето состояний образует границу Парето, P, экономики.
Проиллюстрируем понятие оптимальности по Парето с помощью диаграммы Эджворта
+
^ ^
(см. Рис. 36). Парето-оптимальность состояния x равносильна тому, что множества L1 (x1)
++ ++ +
^ ^ ^
и L2 (x2) не имеют общих точек и множества L1 (x1) и L2 (x2) не имеют общих точек на
+
^
ящике Эджворта. Здесь Li (xi) — множество потребительских наборов, которые не хуже
++
^ ^
для потребителя i, чем набор xi, а Li (xi) — множество потребительских наборов, кото-


57
Эта концепция оптимальности была предложена итальянским экономистом Вильфредо Парето в 1906 г. в
книге Manuale di economia politica.

183
184
+ +
^ ^ ^
рые лучше, чем набор xi. Для оптимальности достаточно, чтобы множества L1 (x1) и L2 (xi)
^
имели только одну общую точку — x.
x21
x12



+
^
L1 (x1)
^
x
+
^
L2 (x2)
x11

x22

?enoiie 36. Eee?no?aoey Ia?aoi-iioeiaeuiinoe ia yueea Ya?ai?oa




Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной
суммы полезностей
Чтобы находить границу Парето удобно пользоваться вспомогательной задачей. Сопоста-
вим каждому из потребителей число ?i > 0, такое что ¤i?I?i = 1, и рассмотрим следующую
задачу максимизации взвешенной суммы полезностей на множестве допустимых состоя-
ний экономики:
Задача поиска оптимума Парето

¤?iui(xi) > max (x,y)
i?I
(P?)
(x, y) ? E.
Здесь (x, y) ? E означает, что (x, y) — допустимое состояние экономики E.
Чтобы показать связь этой задачи с Парето-границей, введем также вспомогательное по-
нятие слабой Парето-границы.

Определение 10.
˜˜
Допустимое состояние экономики (x, y) является строгим Парето-улучшением для до-
пустимого состояния (x, y) или, другими словами, строго доминирует его по Парето, ес-
ли для каждого потребителя i?I выполнено xi }i xi.
˜


Определение 11.
Допустимое состояние экономики (x, y) принадлежит слабой границе Парето, WP, если
^^
не существует другого допустимого состояния, которое строго доминирует его по Паре-
то.


Очевидно, что по определению обычная (сильная) граница Парето P всегда содержится в
слабой границе Парето WP, т.е. P ? WP.

Теорема 11.
(1) Если (x, y) — решение задачи (P?), то (x, y) принадлежит слабой границе Парето, а
^^ ^^
если, кроме того, ?i > 0 ?i ? I, то (x, y) принадлежит (сильной) границе Парето.
^^
184
185
(2) Пусть множества Xi выпуклы, функции полезности ui(?) непрерывны и вогнуты, тех-
^^
нологические множества Yj выпуклы. Тогда если (x, y) принадлежит слабой границе
Парето, то найдутся такие неотрицательные ?i (¤i?I?i = 1), что (x, y) является решением
^^
задачи (P?).


Доказательство:
(1) Предположим, что существует решение задачи (P?), (x, y), которое не принадлежит
^^
˜˜ ˜
слабой границе Парето. Тогда найдется такое допустимое состояние (x, y), что ui(xi) >
?
ui(xi) ?i ? I. При этом значение целевой функции задачи (P ) будет выше в точке x, чем
^ ˜
?
^ ^^
в точке x, а это противоречит тому, что (x, y) — решение задачи (P ). Доказательство для
случая положительных коэффициентов и обычной (сильной) границы Парето полностью
аналогично.
^^
(2) Пусть (x, y) принадлежит слабой границе Парето. Введем обозначение
u(x) = (u1(x1), ..., un(xn))
и рассмотрим следующее множество:
U = {v ?   | ? (x, y) ? E: v < u(x)}.
– n


Множество U непусто, так как u(x) ? U . Покажем, что U — выпуклое множество. Пусть
– – –
^
v? ? U и v? ? U . Это означает, что существуют состояния экономики (x?, y?) ? E и
– –


(x?, y?) ? E, такие что v? < u(x?) и v? < u(x?). Покажем, что
?v? + (1 – ?)v? ? U , если ? ? (0; 1).



Несложно показать, что
(?x? + (1 – ?)x?, ?y? + (1 – ?)y?) ? E.
Так как ui(?) — вогнутые функции, то
u(?x? + (1 – ?)x?) > ?u(x?) + (1 – ?)u(x?).
Это означает, что ?v? + (1 – ?)v? < u(?x? + (1 – ?)x?), т.е. ?v? + (1 – ?)v? ? U .




Множество u(x) +  ++ = {v ?   | vi > ui(xi) ?i ? I} также является непустым и выпуклым.
n n
^ ^
^^
Поскольку (x, y) принадлежит слабой границе Парето, то рассмотренные множества не
имеют общих точек:
U ](u(x) +  ++) = ?,
– n
^
в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый
^^
потребитель имел бы большую полезность, чем в (x, y).
По теореме об отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость,
т.е. существуют вектор a ?   , a ? 0 и число b, такие что
n


av < b при v ? U



и
av > b при v ? u(x) +  ++.
n
^
Покажем, что a > 0. Предположим, что существует потребитель i, для которого ai < 0. То-
гда если v ? u(x) +  ++, то v + tei ? u(x) +  ++, где t — положительное число, ei — i-й орт.
n n
^ ^

185
186
Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v + tei) < b, а это
противоречит тому, что v + tei ? u(x) +  ++.
n
^
^
Рассмотрим последовательность vN = u(x) + 1/n?1, где 1 — вектор, состоящий из единиц.
Поскольку v ? u(x) +  ++ ?N, то av > b. Переходя к пределу, получим au(x) > b. С дру-
n
^ ^
N N


гой стороны, u(x)? U и au(x) < b. Следовательно, au(x) = b.

^ ^ ^
v2

2
u(x) +  ++
^


^
u(x)

U
v1


?enoiie 37
Таким образом, мы доказали существование гиперплоскости в   , с коэффициентами a >
n


? 0, которая проходит через u(x) и разделяет множества U и u(x) +  ++ (см. Рис. 37). Возь-
– n
^ ^
мем в качестве коэффициентов ?i нормированные коэффициенты ai:
ai
?i = .
¤aj
Не существует состояния (x, y) ? E, такого что

¤?iui(xi) > ¤?iui(xi).
^
i?I i?I

Действительно, для такого состояния выполнено u(x)? U , откуда au(x) < au(x). Разде-

^
лив это неравенство на ¤ai, получим ?u(x) < ?u(x). Это означает, что (x, y) является
^ ^^
решением задачи (P?).

<< Предыдущая

стр. 41
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>