<< Предыдущая

стр. 42
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

*
Из этой теоремы следует, что множество решений задачи (P?) при неотрицательных ко-
эффициентах совпадает со слабой границей Парето и, следовательно, содержит в себе
границу Парето. С другой стороны, множество решений задачи (P?) при положительных
коэффициентах содержится в границе Парето. Другими словами, эта задача позволяет по-
лучить для границы Парето оценки сверху и снизу. Кроме того, если сильная и слабая
границы Парето совпадают, то задача (P?) полностью характеризует границу Парето.
Следующая теорема предлагает возможные условия, при которых такое совпадение имеет
место.

Теорема 12.
(1) Если у каждого потребителя Xi =  +, предпочтения строго монотонны и непрерывны,
l

то сильная граница Парето совпадает со слабой: P = WP.
(2) Если предпочтения каждого потребителя полустрого монотонны58 и непрерывны, то
все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также
принадлежат и слабой границе Парето.


58
Предпочтения называются полустрого монотонными, если они монотонны и из x > y следует, что x } y.
186
187


Доказательство:
(1) Поскольку P ? WP, то достаточно доказать только, что WP ? P. Пусть это не так, т.е.
``
существует допустимое состояние (x, y), принадлежащее слабой границе Парето, но не
сильной.
``
Поскольку (x, y) не принадлежит границе Парето, то существует другое допустимое со-
стояние (x, y), такое что xi } xi ?i ? I и ? i0?I: xi }i xi .
˜˜ ˜_` ˜ ` 0 0 0




Из строгой монотонности следует, что xi } 0, поэтому xi не может быть нулевым векто-
`_ ˜
0 0


ром. Следовательно, потребитель i0 потребляет хотя бы одно благо k в положительном
˜
количестве: xi k > 0. Пусть ek — k-й орт (вектор, где на k-м месте стоит 1, а на остальных
0


местах — 0). Рассмотрим последовательность перераспределений (N = 1, 2, ...)
1
' ˜
xi (N) = xi – N ek,
0 0




1
xi(N) = xi + N(N – 1) ek ?i ? i0.
' ˜

По свойству строгой монотонности, имеем xi(N) }i xi(N) ?i ? i0 ?N. Кроме того, для по-
' ˜
- '-
требителя i0 найдется достаточно большой номер N, такой что набор xi (N) допустим и 0



'-
(по свойству непрерывности предпочтений) xi (N) }i xi .
` 0 0 0




'-˜
Таким образом, мы нашли допустимое распределение (xi (N), y) которое строго домини-
0


`` ``
рует допустимое распределение (x, y), чего быть не может, так (x, y) принадлежит слабой
границе Парето.
(2) Доказательство второй части теоремы оставляется в качестве упражнения.
*

Дифференциальная характеристика границы Парето
^^
Переформулируя определение, (x, y) является Парето-оптимумом, если полезность ни
одного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребите-
лей (при том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния). Такая
формулировка подсказывает следующую характеристику Парето-оптимальных состояний:
^^
для того, чтобы состояние (x, y) было Парето-оптимальным, необходимо и достаточно,
чтобы оно являлось решением следующих оптимизационных задач для всех i0 ? {1,...,m}:
ui (xi ) > max(x, y) (Pi )
0 0 0



ui(xi) > ui = ui(xi), ?i ? I, i ? i0,
^ ^
xi ? Xi, ?i ? I,
gj(yj) > 0, ?j ? J,

¤(xik – ?ik) = ¤ yjk, ?k ? K.
i?I j?J

Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя i0 и в предположении,
что состояние экономики (x, y) внутреннее в том смысле, что xi ? int(Xi) ?i ? I, приме-
^^ ^
ним к ней теорему Куна—Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезно-


187
188
сти и производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан име-
ет вид (с точностью до постоянных слагаемых)

L = ¤ ?iui(xi) + ¤ µj gj(yj) + ¤ ?k (¤ yjk – ¤(xik – ?ik)).
i?I j?J k?K j?J i?I

По теореме Джона найдутся множители Лагранжа ?i > 0 (i ? I), µj > 0 (j ? J) и ?k (k ? K),
^^
такие что в точке (x, y) производные функции Лагранжа по всем xik и yjk равны нулю:
?ui(xi)
^
?L
= ?i – ?k = 0, ?i, k,
?xik ?xik
?gj(yj)
^
?L
= µj + ?k = 0, ?j, k.
?yjk ?yjk
^^
Предположим, что в рассматриваемом состоянии (x, y) градиенты всех функций полезно-
сти и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что
для каждого потребителя i найдется благо k, такое что ?ui(xi)/?xik ? 0, и что для каждого
^
производителя j найдется благо k, такое что ?gj(yj)/?yjk ? 0. Это предположение гаранти-
^
рует выполнение условий регулярности теоремы Куна—Таккера.
Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех
активных ограничений (т.е. выполняющихся в рассматриваемом Парето-оптимальном
состоянии как равенства) линейно независимы. Для этого достаточно доказать, что гради-
енты всех, а не только активных, ограничений линейно независимы. Это проводится про-
веркой ранга матрицы градиентов ограничений: записав структуру матрицы, следует убе-
диться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты линей-
ной комбинации нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку.
Теорема Куна—Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа ?i рав- 0

ным 1.
Из ?i = 1, и из того, что существует благо k0, такое что ?ui (xi )/?xi k ? 0, следует что ?k > 0.
^
0 0 0 00 0


Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все
?i > 0 (i ? I) и µj > 0 (j ? J).
Отсюда, исключая коэффициенты ?i и µj, получим дифференциальную характеристику
внутренних (xi ? int(Xi) ?i ? I) Парето-оптимальных состояний:
^
?ui(xi)/?xik ?k
^
=,
?ui(xi)/?xik ?k
^ 0 0




?gj(yj)/?yjk ?k
^
=.
?gj(yj)/?yjk ?k
^ 0 0




Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух то-
варов k, k0 (?k > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 36 кривые безразличия
0

двух потребителей касаются друг друга.

Задачи
25. Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми
функциями полезности, заданными на  +, и строго положительными общесистемными
l

запасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два
угла ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит
ровно одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка: вос-
188
189
пользоваться представлением Парето-границы через оптимизационную задачу с парамет-
ром задающим «вес» полезности одного из потребителей, и теоремой о непрерывности по
параметру решения задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве).


26. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго вы-
пуклыми предпочтениями потребителей и совпадающими начальными запасами вектора
начальных запасов потребителей составляют Парето-оптимальное распределение.


27. Найдите ядро в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпоч-
тения которых описываются функциями Кобба—Дугласа, а начальные запасы равны (1, a)
и (b, 1) соответственно при разных значениях a, b > 0.


28. Приведите пример экономики обмена, ядро которой...
(1) совпадает с границей Парето;
(2) содержит границу Парето как собственное подмножество;
(3) содержит только одно состояние экономики.


29. В модели обмена распределение x называется справедливым, если xi }i xj ?i, j (никто
_
никому не завидует).
(1) Покажите, что множество справедливых распределений непусто.
(2) Покажите, что если предпочтения строго выпуклы, непрерывны и строго монотонны, а
совокупные начальные запасы положительны, то множество справедливых распределе-
ний, которые являются Парето-оптимальными, непусто.
(3) Как выглядит множество Парето-оптимальных справедливых распределений, если
предпочтения потребителей одинаковы?


30. Найдите равновесие и Парето-границу в экономике обмена с двумя благами и двумя
потребителя:
u1(x1) = ln(x11) + ln(x12),
u2(x2) = ln(x21) + ln(x22),
?1 = (1; 3), ?2 = (3; 1).
Проиллюстрируйте этот анализ на диаграмме Эджворта и проинтерпретируйте графиче-
ски обе теоремы благосостояния.


31. Рассмотрим модель обмена с m одинаковыми потребителями со строго выпуклыми
предпочтениями.
Покажите, что эгалитарное распределение xi = ??i/m принадлежит границе Парето.
Принадлежит ли это распределение ядру данной экономики?
При каких дополнительных предположениях это эгалитарное распределение можно реа-
лизовать как равновесие? При каких ценах?

189
190
Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго моно-
тонной дифференцируемой функцией полезности?
Остается ли это утверждение справедливым при отказе от предположения о выпуклости
предпочтений?



Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы
благосостояния
Сопоставляя дифференциальные характеристики оптимума Парето и равновесия, видим,
что они совпадают. Это совпадение дифференциальных характеристик показывает, что
выполняются так называемые теоремы благосостояния59 (или, как их еще называют, фун-
даментальные теоремы экономики благосостояния). Первая теорема благосостояния ут-
верждает, что равновесие Парето-оптимально. Вторая теорема благосостояния утвержда-
ет, что на основе Парето-оптимума можно построить равновесие.
Для доказательства первой теоремы благосостояния нам потребуется определение локаль-
ной ненасыщаемости предпочтений60.

Определение 12.
Предпочтения потребителя (}i, }i, ˜i) называются локально ненасыщаемыми, если для
_

<< Предыдущая

стр. 42
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>