<< Предыдущая

стр. 43
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

любого допустимого набора xi ? Xi в любой окрестности этого набора V(xi) найдется
`
другой лучший для него допустимый набор xi, т.е. такой набор, что
xi ? Xi, xi ? V(xi) и xi } xi.
` ` `


Для локальной ненасыщаемости, в частности, достаточно, чтобы функция полезности в
каждой точке множества Xi строго возрастала хотя бы по одному из благ и Xi =  +. (Для
l

внутренних потребительских наборов (xi > 0) строгое возрастание по одному из благ здесь
можно заменить на строгое убывание по одному из благ).

Теорема 13 (первая теорема благосостояния)
---
Пусть (p, x, y) — общее равновесие экономики, и функции полезности всех потребите-
--
лей локально ненасыщаемы, тогда состояние (x, y) Парето-оптимально.


Доказательство.
˜˜
Доказательство проводится от противного: пусть есть другое допустимое состояние, (x, y
--
), доминирующее состояние (x, y) в смысле Парето, то есть такое, что
xi }i xi ?i?I,
˜_-
и потребитель i0 для которого xi }i xi .
˜ -
0 0 0




59
Идею этих теорем можно найти в книге Парето. Несколько известных экономистов (А. Лернер,
Х. Хотеллинг, О. Ланге, М. Алле) занимались этими вопросами в 1930-1940 гг. и дали наброски доказа-
тельств. Формальные доказательства теорем разработали Кеннет Эрроу (1951) и Жерар Дебрё (1951, 1954).
60
Отметим, что локальная ненасыщаемость предпочтений потребителя влечет за собой то, что решение
задачи потребителя выводит бюджетное ограничение на равенство. Однако этот факт не добавляет ничего
нового к характеристикам равновесия, поскольку, как показано выше, в любом равновесии бюджетное огра-
ничение выполнено как равенство.

190
191
˜
1) Набор xi дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению при рав-
0


новесных ценах и доходах, т.е.
pxi > ?i .
-˜ 0 0




˜ -
Если бы это было не так, то набор xi , более предпочтительный для него, чем xi , являлся
0 0


бы допустимым в задаче потребителя, что противоречит определению равновесия.
Аналогично для прочих потребителей pxi > ?i (?i?I). Действительно, в противном случае

(при pxi < ?i) существовала бы окрестность набора xi, все точки которой удовлетворяли
-˜ ˜
бы бюджетному ограничению, и по условию локальной ненасыщаемости в этой окрестно-
сти нашелся бы альтернативный допустимый набор xi?Xi, который лучше для потребите-
`
˜
ля, чем xi и удовлетворяет бюджетному ограничению (см. Рис. 38). Этот набор лучше для
-
потребителя, чем равновесный набор xi, что невозможно.
xi2




`
xi
˜
xi
xi1


?enoiie 38. Eee?no?aoey e aieacaoaeunoao ia?aie oai?aiu aeaaininoiyiey
Суммируя полученные неравенства по всем потребителям, получаем

p¤xi > ¤?i.

i?I i?I

2) С другой стороны, вычислим сумму доходов потребителей в равновесии:

¤?i = ¤[ ¤ p k?ik + ¤?ij ¤ p kyjk + Si] =
- --
i?I i?I k?K j?J k?K


= ¤ p k [¤?ik + ¤yjk¤?ij + ¤Si] = ¤ p k(¤?ik + ¤yjk)
- - - -
k?K i?I j?J i?I i?I k?K i?I j?J

или
¤?i = p¤?i + p ¤yj.
- --
i?I i?I j?J

- -
3) Поскольку yj — оптимальная технология для j-го предприятия при ценах p, то
pyj > pyj.
-- -˜
Суммируя по всем предприятиям, получим

p¤yj > p¤yj.
---˜
j?J j?J

4) Сопоставим три полученные выше соотношения:

p¤xi > ¤?i = p¤?i + p ¤yj > p¤?i + p¤yj
-˜ - --- -˜
i?I i?I i?I j?J i?I j?J

или

191
192

p¤xi > p¤?i + p¤yj.
-˜- -˜
i?I i?I j?J

˜˜
Это неравенство противоречит тому, что (x, y) — допустимое состояние, поскольку в до-
пустимом состоянии должны выполняться балансы

¤xi = ¤?i + ¤yj.
˜ ˜
i?I i?I j?J

--
Получено противоречие, поэтому для (x, y) нельзя найти Парето-улучшение. Это означа-
--
ет, что (x, y) — Парето-оптимум.
*
Рассмотрим пример экономики с потребителями, характеризующимися локальным насы-
щением, и проиллюстрируем его с помощью ящика Эджворта.
Пример 2.
Первый потребитель имеет функцию полезности с «толстой» кривой безразличия
?x11x12, x11x12 < 2
u1 = ? 2, 2 < x11x12 < 3
? x11x12 – 1, x11x12 > 3
У второго же потребителя функция полезности линейна
u2 = x21 + x22.
Начальные запасы в экономике достаточно большие.
x21
x12



P

WP

x11

x22

?enoiie 39. Eiio?i?eia? e ia?aie oai?aia aeaaininoiyiey
Данная ситуация представляет собой контрпример к первой теореме благосостояния и
показывает важность условия локальной ненасыщаемости. Точки в заштрихованной об-
ласти Рис. 39 принадлежат слабой границе Парето, но не сильной. Их можно реализовать
как равновесие при ценах p1 = p2 = 1, но они не являются Парето-оптимальными.
(
Перейдем к доказательству того, что всякое Парето-оптимальное состояние можно реали-
зовать как равновесие (вторая теорема благосостояния). Мы докажем здесь эту теорему в
предположении дифференцируемости функций с использованием теоремы Куна—Такке-
ра.

Теорема 14 (вторая теорема благосостояния)
^^
Пусть (x, y) — Парето-оптимальное состояние экономики, причем
# функции полезности и производственные функции дифференцируемы,

192
193
# множества Xi выпуклы, а функции полезности и производственные функции вогну-
ты61,
# для всех потребителей xi ? int(Xi) (т.е. рассматриваемый Парето-оптимум внутренний),
^
# в рассматриваемом состоянии градиенты всех функций полезности и производствен-
ных функций не равны нулю:
?ui(xi) ? 0, ?i ? I,
^
?gj(yj) ? 0, ?j ? J.
^
^^
Тогда найдется вектор цен p и трансферты Si, i = 1, ..., m, такие что (p, x, y) — общее
равновесие.


Доказательство.
Выше мы доказали, что в условиях теоремы найдутся множители Лагранжа ?i > 0 (i ? I),
µj > 0 (j ? J) и ?k (k ? K), такие что в состоянии (x, y) выполняются следующие условия
^^
первого порядка:
?ui(xi)
^
?i = ?k, ?i, k,
?xik
?gj(yj)
^
µj + ?k = 0, ?j, k.
?yjk
Возьмем в качестве равновесных цен множители Лагранжа для балансовых ограничений,
т.е. pk = ?k , ?k ? K и выберем такие трансферты Si, чтобы доход каждого потребителя
^ ^
совпадал с расходами, требуемыми на покупку набора xi при ценах p (?i = pxi), т.е.

Si = ?i – p?i – ¤?ijpyj = p(xi – ?i – ¤?ijyj).
^ ^ ^
j?J j?J

Несложно проверить, что сумма этих трансфертов равна нулю.
^^
Для того, чтобы доказать, что (p, x, y) является равновесием, нам достаточно доказать, (i)
^
что для всех потребителей xi является решением задачи потребителя при ценах p и дохо-
^ ^
дах pxi, и (ii) что для всех производителей yj является решением задачи производителя
при ценах p.
^
(i) Очевидно, что набор xi является допустимым в задаче потребителя. Докажем, что он
является оптимальным. Для этого воспользуемся обратной теоремой Куна—Таккера.
Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа ?i для бюджетного ограничения,
такой что выполнено условие первого порядка (выведенное ранее)
?ui(xi)
^
= ?ipk, ?k?K.
?xik
Этому требованию удовлетворяет ?i = 1/?i, поскольку выполнено ?i ?ui(xi)/?xik = ?k и
^
?i > 0.
Условие дополняющей нежесткости для бюджетного ограничения выполнено, поскольку
^
в точке xi бюджетное ограничение активно. Поскольку функция полезности вогнута, а


61
Здесь достаточно потребовать «приводимость к вогнутости».

193
194
множество Xi выпукло, то выполнены все требования обратной теоремы Куна—Таккера.
^
Т.е. xi — решение задачи потребителя.
^
(ii) Докажем теперь, что технология yj является оптимальной для j-го производителя.
Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа ?j для технологического ограни-
чения, такой что выполнено условие первого порядка
?gj(yj)
^
?j = pk, ?k?K.
?yjk
Этому требованию удовлетворяет ?j = µj. Условие дополняющей нежесткости для техно-
логического ограничения выполнено, поскольку соответствующее условие с точностью до

<< Предыдущая

стр. 43
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>