<< Предыдущая

стр. 44
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

замены µj на ?j выполнено в Парето-оптимуме. Таким образом, выполнены условия Ку-
^
на—Таккера, и поскольку производственная функция вогнута, то yj — решение задачи
производителя.
*

Замечание.
В экономике без трансфертов, чтобы доходы ?i равнялись требуемым расходам pxi, сле-
^
дует соответствующим образом распределить собственность, то есть указать начальные
запасы ?i и доли в прибылях ?ij. Для этого достаточно найти долю ?i каждого потребите-
ля в совокупных расходах потребителей,
^
pxi
?i = ,
¤spxs
^
и поделить собственность в соответствующих пропорциях, т.е. взять ?ij = ?i ?i, ?j и ?i
= ?i?? ?i, где ?? — совокупные начальные запасы.
В экономике чистого обмена достаточно выбрать ?i = xi.
^


Использование теоремы Куна—Таккера в дифференциальной форме — только один из
возможных путей доказательства. Мы воспользовались им здесь, поскольку этот подход
понадобится нам в дальнейшем для проверки противоположных утверждений — о неоп-
тимальности несовершенных рынков. Условие дифференцируемости функций во второй
теореме благосостояния на самом деле избыточны.

Теорема 15 (вторая теорема благосостояния без дифференцируемости)
Пусть
# множества допустимых потребительских наборов Xi выпуклы, предпочтения потреби-
телей }i выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы,
_
# технологические множества Yi каждого производителя выпуклы.
Тогда если (x, y) — оптимальное по Парето состояние и xi ? int(Xi) ?i (т.е. данное Па-
^^ ^
рето-оптимальное состояние является внутренним), то существуют цены p и трансферты
^^
Si, i = 1, ..., m, такие что (p, x, y) является общим равновесием.


Доказательство.
Введем ряд обозначений которые нам понадобятся в дальнейшем для доказательства этого
утверждения.
^
Обозначим множество наборов лучших для потребителя i, чем xi, через

194
195
Li (xi) = {xi ? Xi | xi }i xi}.
++
^ ^
Поскольку предпочтения потребителей выпуклы, и множества допустимых потребитель-
++
^
ских наборов Xi выпуклы, то, как несложно показать, Li (xi) также выпуклы и, значит, их
сумма
L (x) = ¤i Li (xi) = {¤i xi | xi ? Xi, xi }i xi}
++ ++
^ ^ ^
++ ++
^ ^
выпукла. Кроме того, Li (xi) непусты по локальной ненасыщаемости, значит и L (x) не-
пусто.
Множество производственных возможностей,
Y? + ?? = ¤j Yj + ?? = {¤j yj + ?? | yj ? Yj},
тоже является выпуклым в силу выпуклости технологических множеств и непустым, так
как ему принадлежит точка ¤jyj + ??.
^
Поскольку (x, y) — оптимум Парето, то множества L (x) и Y? + ?? не имеют общих то-
++
^^ ^
чек:
L (x) ] (Y? + ??) = ?.
++
^
Предположим, что существует общая точка z ? L (x) и z ? Y? + ??. Это означало бы, что
++
^
существует состояние экономики (x, y), такое что xi ? Xi, xi }i xi ?i, yj ? Yj ?j, ¤i xi = z и
^
¤j yj + ?? = z. Тем самым мы нашли бы допустимое состояние экономики, которое доми-
нирует62 оптимальное по Парето состояние (x, y), чего быть не может.
^^
Поскольку множества L (x) и Y? + ?? выпуклы, непусты и не пересекаются, к ним при-
++
^
менима теорема об отделимости. Поэтому существует вектор p ?   , p ? 0 и число r ?  ,
l

такие что
pz > r, если z ? L (x)
++
^
и
pz < r, если z ? Y? + ??.
Пусть x = {xi} — такой набор допустимых потребительских наборов, что xi }i xi ?i, что
_^
можно по аналогии записать как x ? L (x). Покажем, что p¤i xi > r. Из локальной нена-
+
^
сыщаемости предпочтений }i следует, что для любого натурального числа N в окрестно-
_
сти V1/N(xi) набора xi существует набор xi , такой, что xi }i xi, где V1/N(xi) — шар с цен-
N N


тром xi и радиусом 1/N. Поскольку xi }i xi }i xi, то ¤i xi ? L (x), откуда p¤i xi > r. За-
N N ++ N
_^ ^
N
метим, что последовательность xi сходится к xi. Переходя к пределу по N, получим тре-
буемое неравенство.
Введем обозначение
z = ¤i xi = ¤jyj + ??.
^ ^ ^
(Второе равенство здесь является следствием балансов по благам).




62
Причем строго доминирует.

195
196
Поскольку z ? L (x) (по рефлексивности отношения }i — каждый из наборов xi не хуже
+
^ ^ ^
_
себя самого), то pz > r. С другой стороны, так как Парето-оптимум технологически допус-
^
тим, то z ? Y? + ??, и pz < r. Следовательно, r = pz.
^ ^ ^
^
Таким образом, мы нашли гиперплоскость, проходящую через z и разделяющую множе-
ства Y? + ?? и L (x) (см. Рис. 40). Возьмем коэффициенты этой гиперплоскости p в каче-
+
^
^^
стве цен и покажем, что (p, x, y) является равновесием при соответствующем подборе
трансфертов.
z2



+
^
^ L (x)
z


Y? + ??
z1


?enoiie 40. Eee?no?aoey e aieacaoaeunoao aoi?ie oai?aiu aeaaininoiyiey
Покажем сначала, что при этих ценах прибыль каждого предприятия j максимальна в точ-
ке yj. Пусть yj ? Yj. Тогда
^

yj + ¤s?jys + ?? ? Y? + ??
^
и выполнено
p(yj + ¤s?jys + ??) < pz = p(¤sys + ??).
^ ^ ^
Отсюда pyj < pyj. Другими словами, производитель не может при ценах p увеличить свою
^
^ ^
прибыль, выбрав yj вместо yj, то есть yj — решение задачи производителя.
Аналогичным образом доказывается, что любой набор xi ? Xi, который не хуже xi (xi }i x
^ _^
^ ^ ^
i), не может стоить дешевле, чем xi в ценах p. Действительно, так как (x1, ..., xi, ..., xn) не

^
хуже для каждого потребителя, чем x, то

p(xi + ¤s?ixs) > pz = p¤sxs.
^ ^ ^
Таким образом, из xi }i xi следует pxi > pxi.
_^ ^
Докажем, что при ценах p и доходе ?i = pxi полезность каждого потребителя i максималь-
^
^
на в точке xi. Для этого требуется усилить доказанный только что факт и доказать, что из
xi }i xi следует pxi > pxi. Другими словами, требуется доказать, что лучший набор xi
^ ^
(xi ? Xi и xi }i xi) должен стоить дороже, чем xi в ценах p. Мы уже доказали, что pxi > pxi,
^ ^ ^
поэтому осталось показать, что равенство здесь достигаться не может.
^
Предположим, что это не так и pxi = pxi.
Условие xi ? int(Xi) означает, что xi принадлежит множеству Xi вместе с некоторой своей
^ ^
окрестностью. Поскольку не все цены равны нулю (p ? 0), то в этой окрестности найдется
набор x?, который в ценах p стоит дешевле xi и, следовательно, дешевле xi. Действитель-
^
i

но, пусть pk ? 0 для некоторого блага k. Если pk > 0, то можно немного уменьшить потреб-
^
ление этого блага по сравнению с xik, а если pk < 0, то немного увеличить. Таким образом,
существует допустимый набор x?, такой что px? < pxi.
i i
196
197
Рассмотрим выпуклые комбинации ?x? + (1 – ?)xi, ? ? [0, 1]. Поскольку множество допус-
i
тимых потребительских наборов Xi выпукло, то все такие наборы допустимы. По непре-
рывности предпочтений найдется достаточно малое положительное ?, такое что набор
x? = ?x? + (1 – ?)xi.
i i

лучше, чем xi. Кроме того, поскольку px? < pxi = pxi, то px? < pxi.
^ ^
i i


Но, с другой стороны, из x? }i xi следует, что px? > pxi. Получили противоречие.
^ ^
i i

^
Таким образом, pxi > pxi. Значит, невозможно найти допустимый набор, который был бы
^ ^ ^
лучше xi, но стоил бы не дороже, чем xi. Таким образом, xi — решение задачи потребите-
ля при ценах p и доходе ?i = pxi.
^
xi2


xi

x?
i

^
xi
x?
i
xi1


?enoiie 41. Eee?no?aoey e aieacaoaeunoao aoi?ie oai?aiu aeaaininoiyiey
^^
Для того, чтобы доказать, что (p, x, y) — равновесие Вальраса, нам осталось найти такие
трансферты, равные в сумме нулю, чтобы с учетом трансфертов ?i = pxi. Рассуждения
^
здесь повторяют рассуждения предыдущей теоремы.
*
Рассмотрим примеры того, что отказ от предположений второй теоремы благосостояния
приводит к тому, что она перестает быть верной. При этом удобно воспользоваться для
иллюстрации ящиком Эджворта. Для того, чтобы на основе Парето-оптимума можно было
++
^
построить равновесие, требуется найти прямую, которая бы разделяла множества L1 (x1)
++
^
и L2 (x2) на диаграмме Эджворта. Например, на Рис. 33 такая гиперплоскость имеется,
-
поэтому точка x является одновременно Парето-оптимальной и равновесной. На Рис. 36
^
первый потребитель имеет невыпуклые предпочтения и Парето-оптимальную точку x
++
^
нельзя реализовать как равновесие — не существует прямой, которая бы разделяла L1 (x1)
++
^

<< Предыдущая

стр. 44
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>