<< Предыдущая

стр. 45
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

и L2 (x2). Приведем еще несколько примеров.
Пример 3.
Пусть потребители имеют функции полезности u1 = x11 + x12 и u2 = x22.
^
Правый нижний угол ящика Эджворта (x) представляет собой оптимум Парето, но не мо-
жет быть реализован как равновесие ни при каких ценах (см. Рис. 42). Эта экономика
представляет собой контрпример ко второй теореме благосостояния с не внутренним оп-
++ ++
^ ^
тимумом Парето. Прямая, разделяющая L1 (x1) и L2 (x2), существует — она проходит
горизонтально. Однако это разделение нестрогое, поскольку частично эта прямая лежит в
++
^ ^
L1 (x1). Действительно, несложно проверить, что при ценах p1 = 0 и p2 > 0 набор x1 не явля-
ется решением задачи первого потребителя, так как полезность не ограничена сверху.
(


197
198
В следующем примере вместо ящика Эджворта используется диаграмма, аналогичная той,
что изображена на Рис. 34.
Пример 4.
Пусть экономика состоит из одного потребителя с локально насыщаемыми предпочте-
ниями и одного производителя (см. Рис. 43). Точка Парето-оптимума x = ? + y лежит на
^ ^
границе производственных возможностей и находится внутри «толстой» кривой безразли-
чия. Поскольку множество производственных возможностей и множество лучших набо-
++
^
ров L (x) не имеют на диаграмме общих точек, то это действительно оптимум.


x12

x21
++
^
L1 (x1)


^
x x11
++
^
L2 (x2)
x22


?enoiie 42. Eiio?i?eia? ei aoi?ie oai?aia aeaaininoiyiey: ia aioo?aiiee
Ia?aoi-iioeioiii
Чтобы точка x = ? + y была равновесной, нужно, чтобы отношение цен было равно накло-
^ ^
ну границы производственных возможностей в этой точке. Однако в условиях бюджетно-
^
го ограничения, соответствующего такому наклону бюджетной прямой, точка x не будет
решением задачи потребителя, так как гипотетический бюджетный треугольник имеет
++
^
общие точки с множеством L (x).
Аналогичный пример можно построить, если взять Парето-оптимум внутри множества
производственных возможностей и внутри «толстой» кривой безразличия. Из такого оп-
тимума нельзя сконструировать равновесие, поскольку (при ненулевых ценах) решение
задачи производителя должно лежать на границе технологического множества. На этом
примере видно, что рыночное равновесие, в отличие от концепции оптимальности по Па-
рето, предполагает самостоятельную роль предприятий и технологическую эффектив-
ность. В равновесии достигается технологическая эффективность даже тогда, когда с об-
щественной точки зрения она бесполезна.




198
199
x2 = ?2 + y2


++
^
L (x)


x= ?+ y
^ ^

?+Y x1 = ?1 + y1


?enoiie 43. Eiio?i?eia? ei aoi?ie oai?aia aeaaininoiyiey: i?aaii?oaiey
iio?aaeoaey ia yaey?ony eieaeuii iaianuuaaiuie
Оба эти примера демонстрируют некоторую содержательную недостаточность второй
теоремы благосостояния. Дело в том, что в обеих экономиках имеются Парето-оптимумы,
эквивалентные рассматриваемым Парето-оптимумам с точки зрения потребителей (в дан-
ном случае — единственного потребителя), на основе которых уже можно сконструиро-
вать равновесие. (

Задачи
32. Привести пример равновесия в экономике обмена с двумя потребителями и двумя бла-
гами, в котором первая теорема благосостояния была бы не применима из-за нарушения
предположений, и равновесие нарушало бы ее утверждение. Можно привести графиче-
ский пример, либо указать конкретные начальные запасы, ?1, ?2, функции полезности u1(?
), u2(?) и равновесие (p, x).


33. Привести пример равновесия в экономике обмена с двумя потребителями и двумя бла-
гами, в котором первая теорема благосостояния была бы не применима из-за нарушения
предположений, но утверждение первой теоремы благосостояния оставалось бы справед-
ливым.


34. Привести пример экономики обмена с двумя потребителями и двумя благами, графи-
ческий или с конкретными начальными запасами ?, функциями полезности u1(?), u2(?), и
состоянием этой экономики x, для которой вторая теорема благосостояния не применима
и
(А) утверждение второй теоремы благосостояния остается справедливым.
(В) утверждение второй теоремы благосостояния неверно.


35. Сформулируйте предположения первой теоремы благосостояния для экономики обме-
на.


36. Сформулируйте предположения второй теоремы благосостояния для экономики обме-
на.


37. Сформулируйте и докажите теоремы благосостояния в модели обмена в условиях
строгой монотонности, строгой выпуклости предпочтений и положительности совокуп-
ных начальных запасов.

199
200


38. Для каждого из предположений второй теоремы благосостояния покажите (приведя
соответствующий пример), что отказ от этого предположения приводит к тому, что ут-
верждение теоремы оказывается неверным.


39. Что можно сказать о соотношениях предельных норм замены товаров в потреблении и
производстве в точке равновесия? Связано ли это соотношение с отсутствием Парето-
улучшающего изменения состояния? Если данное соотношение нарушается, как следует
строить Парето-улучшение данного состояния экономики?


40. Пусть допустимые потребительские наборы задаются неравенствами xi > 0. Какие из
функций полезности представляют предпочтения, удовлетворяющие условиям первой и
(или) второй теоремы благосостояния?
1) u(x1, x2) = x1,
2) u(x1, x2) = –x1,
3) u(x1, x2) = const,
2 2
4) u(x1, x2) = x1 + x2,
5) u(x1, x2) = x1 + x2 ,
6) u(x1, x2) = min{x1, x2},
7) u(x1, x2) = exp(x1)x2,
8) u(x1, x2) = x1x2,
9) u(x1, x2) = x1 – 3x2,
10) u(x1, x2) = x1 + 2x2.


41. Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. Какие допол-
нительные условия гарантируют, что на основе точки начальных запасов можно постро-
ить равновесие?


42. Пусть в экономике обмена с двумя потребителями их функции полезности равны
2 2
u1(x1) = x11 + x12,
и
2 2
u2(x2) = x21 + x22.
Найти Парето-границу. Какие из точек Парето-границы можно реализовать как равнове-
сие подбором цен и распределения собственности? Решите эту задачу в случае, когда
(1) суммарные начальные запасы двух благ одинаковы,
(2) суммарные начальные запасы двух благ различаются.


43. В классической экономике обмена с двумя потребителями, функции полезности по-
следних, заданные на  +, равны
2




200
201
(а) u1 = x1 – x2, u2 = 6 + x1 – x2,
(b) u1 = min{x1, x2}, u2 = 6 – x1 + x2,
(c) u1 = x1 x2, u2 = 6 – x1 – x2.
В каких из трех экономик окажется, что...
1) любое равновесие Парето-оптимально (почему именно в этих, а в других — нет?),
2) любое Парето-оптимальное состояние x > 0 можно превратить в равновесие подбором распре-
деления собственности (почему именно в этих, а в других — нет?).


44. Сформулируйте и докажите вариант первой теоремы благосостояния (о Парето-
оптимальности равновесий) на основе сопоставления дифференциальных характеристик
Парето-оптимальных и равновесных состояний. Какие дополнительные предположения о
свойствах функций полезности (помимо дифференцируемости) необходимо сделать?


45. Первая теорема благосостояния (о Парето-оптимальности равновесий) доказывается от
противного: предполагаем, что существует альтернативное к равновесному состояние
(x, y), более желательный для некоторого потребителя i. Условие локальной ненасыщае-
мости (сформулировать) используется для того, чтобы проверить, что:
А) альтернативный вариант дороже чем равновесный для потребителя i;
Б) спрос сбалансирован с предложением в равновесии;
В) ……………….
Укажите словами верный вариант взамен приведенных и запишите его формулой.


46. В доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптимума),
не использующем дифференцируемость, условие выпуклости используется для того, что-
бы применить теорему ……... ...... .... .….. к множествам .... .... .... ...... ......... ......... .........
......... ....… ………. Сформулируйте применяемую теорему и определение соответствую-
щих множеств.


47. В доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-оптимума),
использующем дифференцируемость, условие выпуклости используется для того чтобы с
помощью теоремы …. .... .... ….. ..... доказать, что соответствующие компоненты постро-
енного состояния экономики являются решениями задач .…… … … …… … …… … .
Сформулируйте применяемую теорему, соответствующие задачи и способ применения
теоремы.


48. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-
оптимума как равновесия), использующем дифференцируемость, условия на градиенты
функций нужны для того, чтобы применить Теорему ……….. к задаче ………………


49. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-
оптимума как равновесия) при отсутствии свойства локальной ненасыщаемости не удает-
ся показать, что .................................... , так как может оказаться что.....................................
(сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное рисунком).

201
202


50. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-
оптимума как равновесия) при невыполнении условия выпуклости предпочтений не уда-
ется показать, что ......................................, так как может оказаться
что........................................ (сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказан-
ное рисунком).


51. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о реализуемости Парето-
оптимума как равновесия) при невыполнении условия, что рассматриваемая точка —
внутренняя, не удается показать, что ......................................, так как может оказаться что
........................................ (сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное
рисунком).


52. При доказательстве второй теоремы благосостояния (о Парето-оптимальности равно-
весных распределений) при невыполнении условия локальной ненасыщаемости, не удает-
ся показать, что ......................................, так как может оказаться что
........................................ (сформулируйте ответ в трех-пяти фразах и поясните, сказанное
рисунком).


53. Пусть два потребителя (потребление первого обозначим x, потребление второго обо-
значим z) в классической ситуации обмена имеют функции полезности
a b
uz(z) = cz1 + dz2,
ux(x) = x1 + x2,
где x > 0, z > 0, и обладают начальными запасами ?x и ?z.
а) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ?) можно гарантировать, что состояние эко-
номики, не улучшаемое по Парето, можно реализовать как равновесие?

<< Предыдущая

стр. 45
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>