<< Предыдущая

стр. 46
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Предположим, что в этой экономике осуществилось равновесие.
б) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ?) можно гарантировать, что оно не улуч-
шаемо по Парето?
в) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ?) можно утверждать, что для обоих потре-
бителей оно не лучше, чем начальное состояние?
г) При каких значениях параметров (a, b, c, d, ?) можно утверждать, что для одного из по-
требителей оно не лучше, чем начальное состояние? О каком из потребителей идет речь?


54. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2) =
ln x1 + ln x2, а другой — uz(z1, z2) (x1, x2, z1, z2 > 0). Начальные запасы равны ?x = (1; 1) и ?z =
(2; 1).
Укажите функцию uz(?) и равновесие Вальраса такие, что равновесное состояние не явля-
ется Парето-оптимальным состоянием данной экономики.
Какое условие теоремы (какой?) при этом будет нарушаться?
Объяснить, почему это равновесие не Парето-оптимально.




202
203
55. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2), а другой
— uz(z1, z2) = z1 + z2 (x1, x2, z1, z2 > 0). Начальные запасы равны ?x = (4; 1) и ?z = (2; 2).
Укажите функцию ux(?) и равновесие Вальраса в соответствующей экономике такие, что
равновесное состояние этой экономики не является Парето-оптимальным. Объяснить, по-
чему это равновесие не Парето-оптимально.
Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается?


56. В экономике обмена один потребитель имеет функцию полезности ux(x1, x2) = 2x1 + x2,
а другой — uz(z1, z2) (x1, x2, z1, z2 > 0). Начальные запасы равны ?x = (3; 2) и ?z = (2; 1).
Укажите функцию uz(?) такую, что не каждый Парето-оптимум можно реализовать как
равновесие. Какое условие теоремы (какой?) при этом нарушается?
Какие именно Парето-оптимальные состояния нельзя реализовать как равновесие. Объяс-
нить, почему.


57. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной произ-
водственной функцией g(y) = –y1 – y2 и один потребитель с функцией полезности
u(x1, x2). Начальные запасы равны (?1, ?2) = (2; 0). Известно, что функция полезности мо-
жет быть одного из трех видов: u = min(Ax1, Bx2), u = max(Ax1, Bx2) или же u = Ax1 + Bx2.
Выберите функцию и подберите параметры A и B так, чтобы точка (x1, x2) = (1; 1) соот-
ветствовала оптимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равнове-
сие. Объясните, почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать
равновесие. Какие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте
анализ на графике с помощью множества производственных возможностей и кривых без-
различия.


58. В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности ui(xiA, xiB), где
xiA, xiB > 0. Суммарные начальные запасы равны (??A, ??B) = (2; 2). Известно, что
u2 = x2A + x2B, а функция полезности 1-го может быть одного из трех видов:
u1 = ? ln(1 + x1A) + ? ln(1 + x1B), u1 = ? x1A + ?x1B или же u1 = ? (x1A)2 + ? (x1B)2. Выберите функ-
цию и подберите параметры ? и ? так, чтобы точка (x1A, x1B) = (2; 0) соответствовала оп-
тимуму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните,
почему это будет оптимум. Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие
условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме
Эджворта.


59. В экономике имеется один производитель с технологией, задаваемой неявной произ-
водственной функцией g(y) = – y1 – y2 и один потребитель с функцией полезности u(x1, x2).
Начальные запасы равны (?1, ?2) = (1; 3). Известно, что функция полезности может быть
одного из трех видов: u = min(Ax1, x2), u = Ax1 + x2 или же u = max(x1x2, A). Выберите
функцию и подберите параметр A так, чтобы точка (x1, x2) = (1; 1) соответствовала опти-
муму Парето, но на ее основе нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните,
почему это будет оптимум. Объясните, почему ее нельзя реализовать как равновесие. Ка-
кие условия теоремы (какой?) при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на графике
с помощью множества производственных возможностей и кривых безразличия.


203
204
60. В экономике имеются потребители i = 1, 2 с функциями полезности ui(xiA, xiB), где
xiA, xiB > 0. Суммарные начальные запасы равны (??A, ??B) = (2; 2). Известно, что u1 =
(x1A)2 + (x1B)2, а функция полезности 2-го может быть одного из трех видов: u2 =
?
max(x2A, ? + x2B), u2 = ?x2A + x2B или же u2 = x2A x2B. Выберите функцию и подберите пара-
метр ? так, чтобы точка (x1A, x1B) = (1; 2) соответствовала оптимуму Парето, но на ее осно-
ве нельзя было бы сконструировать равновесие. Объясните, почему это будет оптимум.
Объясните, почему нельзя сконструировать равновесие. Какие условия теоремы (какой?)
при этом нарушены? Проиллюстрируйте анализ на диаграмме Эджворта.


61. Какие из нижеприведенных функций полезности соответствуют условиям 1-й теоремы
благосостояния?
I. u(x1, x2) = – 1/x1 – 1/x2, II. u(x1, x2) = x1 – x2, III. u(x1, x2) = 100,
а) I и II.
б) I и III.
в) II и III.
г) только I.


62. Для выполнения первой теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезно-
сти удовлетворяла свойствам...
а) только локальной ненасыщаемости,
б) локальной ненасыщаемости и вогнутости,
в) дифференцируемости и вогнутости,
г) только вогнутости.


63. Для выполнения второй теоремы благосостояния требуется, чтобы функция полезно-
сти удовлетворяла свойствам...
а) локальной ненасыщаемости,
б) локальной ненасыщаемости и вогнутости,
в) вогнутости,
г) вогнутости и дифференцируемости.


64. Если функция полезности одного из потребителей является локально ненасыщаемой,
то...
а) первая теорема благосостояния несправедлива;
б) бюджетное ограничение выполняется как равенство;
в) точка равновесия не является внутренней;
г) вторая теорема благосостояния несправедлива.


65. Вторая теорема благосостояния может не выполняться, если...


204
205
а) у одного из потребителей в его множестве потребительских наборов есть наилучший
набор;
б) технологические множества выпуклы;
в) функция полезности хотя бы одного из потребителей недифференцируема;
г) функция полезности хотя бы одного из потребителей локально ненасыщаема.


66. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид
u1 = x11 + 2 x12 и u2 = 2 x21 + x22.
Начальные запасы 1-го потребителя равны (1; 3), а 2-го — (2; 1).
Пусть x11 = 2, x12 = 1, x21 = 1, x22 = 3, p1 = 1, p2 = 1, T1 = –1, T2 = 1.
(а) Покажите формально, что (p, x, T) является равновесием с трансфертами.
(б) Является ли это равновесие оптимальным по Парето? Обоснуйте свой ответ.


67. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет
вид
u = 2 x1 + x2,
а его начальные запасы равны (3; 1). Технология единственного предприятия задана неяв-
ной производственной функцией
g = – y1 + 2 –y2.
Пусть x1 = 4, x2 = 3/4, y1 = 1, y2 = –1/4.
(а) Покажите формально, что (x, y) является Парето-оптимальным состоянием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равнове-
сие? Обоснуйте свой ответ.


68. В экономике двух потребителей с двумя благами функции полезности имеют вид
u1 = x11 + 4 x12 и u2 = 2 x21 + x22.
Начальные запасы 1-го потребителя равны (2; 4), а 2-го — (1; 1).
Пусть x11 = 1, x12 = 2, x21 = 2, x22 = 3.
(а) Покажите формально, что x является Парето-оптимальным состоянием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равнове-
сие? Обоснуйте свой ответ.


69. В экономике с двумя благами функция полезности единственного потребителя имеет
вид
u = x1 + 2 x2,
а его начальные запасы равны (3; 0). Технология единственного предприятия задана неяв-
ной производственной функцией
g = 4 –y1 – y2.

205
206
Пусть x1 = 2, x2 = 4, y1 = –1, y2 = 4, p1 = 2, p2 = 1.
(а) Покажите формально, что (p, x, y) является равновесием.
(б) Можно ли на основе этого Парето-оптимального состояния сконструировать равнове-
сие? Обоснуйте свой ответ.


70. При каких дополнительных предположениях относительно параметров модели обмена
(с m потребителями) и совпадающими, выпуклыми и строго монотонными предпочтения-
ми, представимыми непрерывно дифференцируемыми функциями полезности, распреде-
ление, состоящее из векторов начальных запасов, можно реализовать как равновесие? При
каких ценах?


71. Пусть начальные запасы в экономике обмена лежат на Парето-границе. При каких до-
полнительных условиях можно гарантировать существование и единственность равнове-
сия в этой экономике?


72. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями по-
1 1
лезности u1 = x1, u2 = x2, совокупные начальные запасы которых положительны ???0. По-
кажите формально, что:
1 2
а) Любая точка ящика Эджворта (x1?[0, ??]?[0, ??]) принадлежит слабой и сильной гра-
нице Парето.
б) Каждую из точек ящика Эджворта можно реализовать как равновесие, и при этом p2=0.


73. Рассмотрим модель обмена в двумя благами и двумя потребителями с функциями по-
1 2
лезностиu1 = x1, u2 = x2 совокупные начальные запасы экономики положительны (???0).
Покажите формально, что:
1 2 1
1 2 1 2
а) Правая (x1=??, x1?[0, ??]) и нижняя (x1?[0, ??], x1=0) стороны ящика Эджворта состав-
1 2
ляют слабую границу Парето, а правый нижний угол (x1 = (??, ??)) — сильную Парето-
границу.
б) Сильную границу Парето можно реализовать как равновесие при любых неотрицатель-
ных ценах.


74. Пусть, как и в Примере 3, потребители имеют линейные функции полезности с поло-
жительными коэффициентами,
1 2 1 2
u1 = ?1x1 + ?1x1 u2 = ?2x2 + ?2x2,
и

совокупные начальные запасы экономики положительны (???0). Продемонстрируйте
формально, что сильная и слабая граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их
в зависимости от значений коэффициентов.




206
207
1 2 1 2
75. Пусть в ситуации Примера 4 (u1 = lnx1 + lnx1, u2 = x2 + x2) совокупные начальные запасы
экономики положительны (???0). Продемонстрируйте формально, что сильная и слабая
граница Парето совпадают в этой экономике. Найдите их в зависимости от величины на-
чальных запасов.


76. Первый потребитель имеет функцию полезности с "толстой" кривой безразличия
12 12
?x1x1 x1x1 < 2
u1 = ? 2
12
2 < x1x1 < 3
? x11x21 – 1 12
x1 x1 > 3
и
1 2
u2 = x2 + x2.
В ситуации Примера 5 при достаточно больших совокупных начальных запасах найдите
формально сильную и слабую границы Парето и множество точек, которые можно реали-
зовать как равновесие. Как соотносятся между собой эти три множества?

1 2 1 2
77. В ситуации Примера 6 (u1 = – (x1 – 1)2 – (x1 – 1)2, u2 = 2 x2 + x2) при достаточно больших
совокупных начальных запасах найдите формально границу Парето и множество точек,
которые можно реализовать как равновесие.


1 2 2
78. В ситуации Примера 7 (u1 = x1 + x1, u2 = x2) при положительных совокупных началь-
ных запасах найдите формально границу Парето и множество точек, которые можно реа-
лизовать как равновесие.



Задачи к главе
79. Покажите, что в экономике обмена с двумя потребителями и двумя благами, если
предпочтения гомотетичны и одинаковы, то граница Парето совпадает с диагональю ящи-
ка Эджворта. Как найти равновесие в такой экономике, используя свойства границы Паре-
то?


80. В моделях общего равновесия часто рассматривают альтернативную концепцию до-
пустимого состояния экономики, заменяя балансы благ
m m n

<< Предыдущая

стр. 46
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>