<< Предыдущая

стр. 47
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

¤xik = ¤?ik + ¤yjk , ?k ? K
i=1 i=1 j=1

на полубалансы
m m n
¤xik < ¤?ik + ¤yjk , ?k ? K.
i=1 i=1 j=1

Обозначим такую экономику EA.
---
Равновесием в этом случае называют набор (p, x, y), такой, что:
-
— цены p неотрицательны;

207
208

— каждый вектор xi является решением задачи потребителя при ценах p и доходе ?i = ¤ p
- - -
k?K


?ik + ¤?ij?j ;
k
j?J

- -
— каждый вектор yj является решением задачи производителя при ценах p ;
--
— состояние (x, y) является допустимым;
— выполнен закон Вальраса, т.е.
m m n
p¤xi = p¤?i + p¤yj.
--- --
i=1 i=1 j=1

Рассмотрите экономику с одним дополнительным производителем, технологическое мно-
жество которого имеет вид Yn+1 = –  + (технология утилизации благ без издержек), и ба-
l


лансами в виде равенств. Обозначим такую экономику EU. Рассмотрите равновесие в этой
экономике и продемонстрируйте его эквивалентность равновесию в экономике EA, а
именно:
(1) Покажите, что в любом равновесии экономики EU цены благ неотрицательны.
(2) Покажите, что если (p, x, y) — равновесие в экономике EA, то (p, x, (y, yn+1)) — рав-
--- -- --
новесие в экономике EU, где
m m n
yn+1 = ¤xi – ¤?i – ¤yj.
- - -
i=1 i=1 j=1

(3) Покажите, что если (p, x, (y, yn+1)) — равновесие в экономике EU, тогда (p, x, y) —
-- -- ---
равновесие в экономике EA.


81. Рассмотрим модель обмена с m потребителями. Коалицией называется любое подмно-
жество множества потребителей. Говорят, что коалиция S блокирует данное состояние
экономики x = (x1, ..., xm), если существует состояние экономики y = (y1, ..., ym), такое что
ys }s xs и ¤s?Sys < ¤s?S?s, где ?i — начальные запасы потребителя i, а }i — его предпоч-
тения (другими словами, участники коалиции могут, обмениваясь только друг с другом,
улучшить свое положение, по сравнению с рассматриваемым состоянием x). Наконец,
ядро данной экономики состоит из распределений x, которые не блокируются ни одной из
коалиций.
Предположим, что допустимые потребительские наборы задаются неравенствами xi > 0.
(1) Докажите, что если предпочтения потребителей строго монотонны и непрерывны, то
каждое распределение из ядра Парето-оптимально.
(2) Покажите, приведя соответствующий контрпример, что отказ от условия строгой мо-
нотонности делает утверждение, вообще говоря, неверным.
(3) Докажите следующий аналог первой теоремы благосостояния: если предпочтения по-
требителей локально ненасыщаемы, то равновесное распределение принадлежит ядру
экономики.


82. Найти в соответствующей модели обмена с двумя потребителями и двумя благами (и
потребительским множеством, удовлетворяющим ограничениям xi > 0) и с начальными
запасами ?1 = (1; 1), ?2 = (1; 1)
208
209
- равновесие,
- границу Парето,
- ядро.
Функции полезностей обоих потребителей одинаковы и имеют вид
(A) u(x1, x2) = x? x? ;
1 2
12

(B) u(x1, x2) = ?1 x1 + ?2 x2 ;
(C) u(x1, x2) = ?1 x1 + ?2x2;
(D) u(x1, x2) = x? exp(?2x2).
1
1




83. Какими свойствами обладает равновесие в модели Эрроу-Дебре с
локально ненасыщаемыми предпочтениями и строго положительными
начальными запасами потребителей в случае, если технологические
множества Yj производителей, вообще говоря, не выпуклы (Предполо-
жите, что 0 ? Yj). Аргументируйте свой ответ.


84. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с моно-
тонными (но, вообще говоря, не строго монотонными) предпочтениями.
Аргументируйте свой ответ.




85. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с моно-
тонными и строго выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой
ответ.



86. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными и строго
выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.


87. Предположим, что предпочтения потребителей в модели обмена до-
пускают представление линейными функциями полезности. Какие свой-
ства этих функций гарантируют, что каждое равновесие этой модели ...
209
210
(1) принадлежит слабой границе Парето;
(2) принадлежит сильной границе Парето.


88. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми предпочтениями потребителей и одина-
ковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных обменов?


89. Могут ли в экономике обмена с одинаковыми выпуклыми предпочтениями потребите-
лей и одинаковыми начальными запасами существовать возможности для взаимовыгодных
обменов?


90. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и положи-
тельность начальных запасов не гарантирует, что начальное распределение является рав-
новесным. Приведите соответствующий контрпример.


91. Покажите, что совпадение предпочтений потребителей, начальных запасов и выпук-
лость предпочтений не гарантирует, что начальное распределение является равновесным.
Приведите соответствующий контрпример.


92. Покажите, что выпуклость предпочтений потребителей и Парето-эффективность со-
стояния экономики с начальными запасами в качестве потребительских наборов не гаран-
тирует, что начальное распределение является равновесным. Приведите соответствующий
контрпример.


93. Покажите, что в экономике обмена прирост начальных запасов потребителя может
привести к падению его полезности в точке равновесия.
Указание. Рассмотрите экономику с двумя товарами и двумя потребителями с одинако-
выми предпочтениями, описываемыми следующей квазилинейной функцией полезности
u(x) = x1 + x2,
рассмотрите сравнительную статику потребителя 1 в зависимости от изменения началь-
ных запасов ?1 и ?2.


94. (1) Предположим, что в экономике обмена с непрерывными, строго выпуклыми и
строго монотонными квазилинейными сепарабельными предпочтениями происходит пе-
рераспределение начальных запасов. Покажите, что если начальные запасы потребителя
возрастают, то его полезность не может упасть.
(2) Рассмотрим передачу ресурсов от первого потребителя ко второму, как и выше, но на
этот раз предпочтения не квазилинейные. Предположите, что передаваемое количество
мало и что изменение (относительное) равновесной цены мало. Покажите, что полезность
потребителя 1 может упасть. Проинтерпретируйте с точки зрения соотношения между
эффектом замены и эффектом дохода.
(3) Покажите, что в экономике с двумя товарами и двумя потребителями этот парадокс
может произойти только в случае единственности равновесия. (Подсказка: Покажите, что
если передача начальных запасов потребителя 1 ведет к уменьшению его полезности то-
210
211
гда в первоначальной ситуации должно существовать еще одно равновесие с еще более
низким уровнем полезности у потребителя 1).




211
212


4. Квазилинейная экономика и частное
равновесие
В этой главе мы рассмотрим теоретическое основание моделей частного равновесия, то
есть таких моделей, в которых рассматривается равновесие на рынке одного товара в
предположении, что цены всех остальных товаров остаются фиксированными.
Как известно, спрос и предложение каждого блага в моделях общего равновесия зависят,
вообще говоря, от цен всех рассматриваемых благ. Такая зависимость не позволяет анали-
зировать рынки благ по отдельности, поскольку изменения на одном рынке влияют на
ситуацию на других рынках, приводя к сдвигу кривых спроса и предложения на этих рын-
ках. Это, в свою очередь, приводит к сдвигам кривых спроса и предложения на данном
рынке и т.д. Поэтому частный равновесный анализ оказывается корректным только в си-
туациях, когда указанные зависимости отсутствуют. Это случай так называемых квазили-
нейных предпочтений. Если предпочтения потребителей квазилинейны, то функция спро-
са, соответствующая этим предпочтениям характеризуется отсутствием эффекта дохода.
Если к тому же предпочтения и технологии сепарабельны, то рынки оказываются полно-
стью независимыми и при изменениях на одном из них состояния прочих рынков остают-
ся неизменными. В данной главе нам предстоит проиллюстрировать сказанное. Таким
образом, экономика с квазилинейными сепарабельными предпочтениями годится для мо-
делирования ситуаций, в которых в первом приближении можно пренебречь эффектом
дохода и взаимозависимостью рынков.
Приведем соответствующие обозначения и определения. Рассмотрим экономику с l + 1
благом, m потребителями и n производителями. Будем обозначать через I = {1, ..., m}
множество потребителей, а через J = {1, ..., n} множество производителей.
Предположим, что предпочтения i-го потребителя описываются функцией полезности
следующего вида: ui(xi1,..., xil, zi) = vi(xi1,..., xil) + zi. Эту функцию полезности принято на-
зывать квазилинейной. Последнее благо будем интерпретировать как деньги.63 В дальней-
шем, если не оговорено противное, будем предполагать, что величина zi может принимать
и отрицательные значения.64 Будем предполагать, что множество физически допустимых
потребительских наборов потребителя i задано ограничениями xik > 0.
Каждый потребитель сталкивается с бюджетным ограничением, формируемым его на-
чальными запасами и доходами, получаемыми от владения финансовыми активами. Пусть
каждый потребитель обладает начальными запасами только (l+1)-го блага. Другими сло-
вами, начальный запас потребителя i имеет вид (0, 0, ..., 0, ?i), причем ?i > 0. Предполага-
ется также, что потребитель i?I получает доход от владения активами в виде долей от
прибыли фирм. Числа ?ij > 0, i ? I, j ? J задают распределение прав на получение прибыли,
т.е. ?ij обозначает долю потребителя i в прибыли фирмы j.
Производители в модели представлены технологиями вида (y1,..., yl, –r), где yk >0 для всех
k = 1, ..., l — объемы выпуска первых l благ, а r > 0 — затраты последнего l + 1-го блага на
производства первых l благ. Таким образом, предполагается, что единственным затрачи-



63
Тем самым мы имеем в виду следующую интерпретацию: рассматриваемая нами экономика является ма-
лой частью некоторой большей экономики, в которой эти деньги можно потратить на покупку производя-
щихся там товаров.
64
Это предположение введено для упрощения анализа. В дальнейшем предлагаются условия, которые га-
рантируют неотрицательность значений zi в рассматриваемых состояниях равновесия.

212
213
ваемым благом в каждом технологическом процессе является (l + 1)-ое благо — деньги.65
В анализе удобно описывать технологии с помощью функции издержек cj(y1,..., yl) (которая
каждому вектору объемов первых l благ сопоставляет необходимые для производства этих
объемов затраты (l + 1)-го блага). Для того чтобы формально установить связь функции
издержек с технологическим множеством предприятия j (Yj), рассмотрим следующую
задачу:
r > min r
(y1,..., yl, –r) ? Yj.
Функция cj(y) сопоставляет каждому вектору выпусков y = (y1,..., yl) значение целевой
функции этой задачи. В предположении замкнутости технологического множества опти-
мальное решение существует, если существует хотя бы одно допустимое решение. В
дальнейшем мы будем предполагать, что множество значений выпусков y, при которых
существует допустимое решение рассматриваемой задачи, совпадает с  +. Это означает,
l


что функция издержек cj(?) определена на множестве  +, т.е. все неотрицательные выпус-
l


ки возможны. Заметим, что выпуклость множества Yj гарантирует выпуклость функции
cj(?).
Заметим, что функция издержек однозначно описывает технологическое множество в том
случае, если выполнения для y и r неравенств
r > cj(y),
y > 0,
эквивалентно принадлежности множеству допустимых технологий Yj соответствующего
вектора (y, –r). Для этого можно дополнительно потребовать, чтобы технологическое
множество Yj удовлетворяло свойству свободы расходования (можно «выбрасывать» бла-

<< Предыдущая

стр. 47
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>